(完整版)初二数学因式分解技巧

2024年4月3日发(作者：石首2022中考数学试卷)

因式分解技巧方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法

灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需

的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独

特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组

分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解

的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

式分解中常用的公式，例如：

2222

（1）(a+b)(a-b) = a-b ---------a-b=(a+b)(a-b)；

222222

(2) (a±b) = a±2ab+b ——— a±2ab+b=(a±b)；

22333322

(3) (a+b)(a-ab+b) =a+b------ a+b=(a+b)(a-ab+b)；

22333322

(4) (a-b)(a+ab+b) = a-b ------a-b=(a-b)(a+ab+b)．

下面再补充两个常用的公式：

2222

(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；

333222

(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；

例.已知

a，b，c

是

ABC

的三边，且

abcabbcca

，

则

ABC

的形状是（ ）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：

abcabbcca2a2b2c2ab2bc2ca

222222

222

(ab)

2

(bc)

2

(ca)

2

0abc

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：

amanbmbn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用

公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有

b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考

1

虑两组之间的联系。

解：原式=

(aman)(bmbn)

=

a(mn)b(mn)

每组之间还有公因式！

=

(mn)(ab)

例2、分解因式：

2ax10ay5bybx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=

(2ax10ay)(5bybx)

原式=

(2axbx)(10ay5by)

=

2a(x5y)b(x5y)

=

x(2ab)5y(2ab)

=

(x5y)(2ab)

=

(2ab)(x5y)

2

练习：分解因式1、

aabacbc

2、

xyxy1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：

xyaxay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因

式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=

(xy)(axay)

=

(xy)(xy)a(xy)

=

(xy)(xya)

222

例4、分解因式：

a2abbc

解：原式=

(a2abb)c

=

(ab)c

=

(abc)(abc)

22222

练习：分解因式3、

xx9y3y

4、

xyz2yz

3223

22

综合练习：（1）

xxyxyy

（2）

axbxbxaxab

22

（3）

x6xy9y16a8a1

（4）

a6ab12b9b4a

432

（5）

a2aa9

（6）

4ax4aybxby

22

（7）

x2xyxzyzy

（8）

a2ab2b2ab1

22

2222

222

22

222

22

22

（9）

y(y2)(m1)(m1)

（10）

(ac)(ac)b(b2a)

a(bc)b(ac)c(ab)2abc

a

3

b

3

c

3

3abc

（11）（12）

2

222

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——

x(pq)xpq(xp)(xq)

进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

2

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜

a

≤5，且

a

为整数，若

2x3xa

能用十字相乘法分解因

式，求符合条件的

a

.

2

解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax

2

+bx+c，都要求

b

2

4ac

>0而且是一个完全平方数。

于是

98a

为完全平方数，

a1

2

例5、分解因式：

x5x6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3

的分解适合，即2+3=5。 1 2

2

解：

x5x6

=

x(23)x23

1 3

2

=

(x2)(x3)

1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数

的代数和要等于一次项的系数。

2

例6、分解因式：

x7x6

解：原式=

x[(1)(6)]x(1)(6)

1 -1

=

(x1)(x6)

1 -6

（-1）+（-6）= -7

222

练习5、分解因式(1)

x14x24

(2)

a15a36

(3)

x4x5

2

22

练习6、分解因式(1)

xx2

(2)

y2y15

(3)

x10x24

3

2