2024年3月25日发(作者：2023初三适应性数学试卷)

文科数学数列通项公式的求法

类型1

aaf(n)

n1n

解法：把原递推公式转化为

a

n1

a

n

f(n)

，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1:已知数列

a

n

满足

a

1

1

1

，

a

n1

a

n

2

，求

a

n

。

2

nn

解：由条件知：

a

n1

a

n

1111



2

n(n1)nn1

nn

分别令

n1,2,3,,(n1)

，代入上式得

(n1)

个等式累加之，即

(a

2

a

1

)(a

3

a

2

)(a

4

a

3

)(a

n

a

n1

)

1111111

(1)()()()

22334n1n

1

所以

a

n

a

1

1

n

1

1131

a

1

，

a

n

1

2

2n2n

类型2

a

n1

f(n)a

n

解法：把原递推公式转化为

a

n1

f(n)

，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

a

n

2

n

a

n

，求

a

n

。 ，

a

n1

3

n1

例2:已知数列

a

n

满足

a

1

解：由条件知

累乘之，即

a

n1

n

，分别令

n1,2,3,,(n1)

，代入上式得

(n1)

个等式

a

n

n1

aa

a

2

a

3

a

4

2

123n1

1

又

a

1

，



n



n

3

234n

a

1

a

2

a

3

a

n1

a

1

n

a

n

2

3n

（2004，全国I,理15．）已知数列{a

n

}，满足a

1

=1，

a

n

a

1

2a

2

3a

3

(n1)a

n1

(n

≥2)，则{a

n

}的通项

a

n

n1

1

___

n2

解：由已知，得

a

n1

a

1

2a

2

3a

3

(n1)a

n1

na

n

，用此式减去已知式，得

当

n2

时，

a

n1

a

n

na

n

，即

a

n1

(n1)a

n

，又

a

2

a

1

1

，

a

1

1,

aa

a

2

a

n!

将以上n个式子相乘，得

a

n

(n2)

1,

3

3,

4

4,,

n

n

，

2

a

1

a

2

a

3

a

n1

类型3

a

n1

pa

n

q

（其中p，q均为常数，

(pq(p1)0)

）。

q

，再利用

1p

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：

a

n1

tp(a

n

t)

，其中

t

换元法转化为等比数列求解。

例4:已知数列

a

n

中，

a

1

1

，

a

n1

2a

n

3

，求

a

n

.

解：设递推公式

a

n1

2a

n

3

可以转化为

a

n1

t2(a

n

t)

即

a

n1

2a

n

tt3

.

故递推公式为

a

n1

32(a

n

3)

,令

b

n

a

n

3

，则

b

1

a

1

34

,且

b

n1

a

n1

3

2

.所以

b

n

是以

b

1

4

为首项，2为公比的等比数列，则

b

n

a

n

3

b

n

42

n1

2

n1

,所以

a

n

2

n1

3

.

类型4

a

n1

pa

n

q

n

（其中p，q均为常数，

(pq(p1)(q1)0)

）。 （或

a

n1

pa

n

rq

n

,其中p，q, r均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以

q

n1

，得：

a

n1

p

a

n

1



n

引入辅助数列

n1

q

q

q

q

b

n

（其中

b

n

a

n

n

q

），得：

b

n1

p1

b

n

再待定系数法解决。

qq

例5:已知数列

a

n

中，

a

1

解：在

a

n1

5

11

n1

,

a

n1

a

n

()

，求

a

n

。

6

32

112

a

n

()

n1

两边乘以

2

n1

得：

2

n1

a

n1

(2

n

a

n

)1

323

22

n

n

令

b

n

2a

n

，则

b

n1

b

n

1

,解之得：

b

n

32()

所以

3

3

b

1

n

1

n

a

n

n

3()2()

23

2

n

类型5 递推公式为

S

n

与

a

n

的关系式。(或

S

n

f(a

n

)

)

解法：这种类型一般利用

S

1

(n1)

a

n

S

n

S

n1

(n2)

与

a

n

S

n

S

n1

f(a

n

)f(a

n1

)

消去

S

n

(n2)

或与

S

n

f(S

n

S

n1

)

(n2)

消去

a

n

进行求解。

例：已知数列

a

n

前n项和

S

n

4a

n

1

2

n2

.（1）求

a

n1

与

a

n

的关系；（2）求通项公式

a

n

.

解：（1）由

S

n

4a

n

1

2

n2

1

2

n2

得：

S

n1

4a

n1

1

2

n1

于是

S

n1

S

n

(a

n

a

n1

)(

1

2

n1

)

所以

a

n1

a

n

a

n1

111

aa

.

n1n

2

2

n1

2

n

（2）应用类型4（

a

n1

pa

n

q

n

（其中p，q均为常数，

(pq(p1)(q1)0)

））

的方法，上式两边同乘以

2

n1

得：

2

n1

a

n1

2

n

a

n

2

由

1

n

a1

.于是数列2为公差的等差数列，

2a

n

是以2为首项，

1

12

2

n

所以

2

n

a

n

22(n1)2n

a

n

n1

2

a

1

S

1

4a

1



类型6

a

n1

f(n)a

n

g(n)a

n

h(n)

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

a

n1

pa

n

q

。

例：已知数列｛a

n

｝满足：

a

n

a

n1

,a

1

1

，求数列｛a

n

｝的通项公式。

3a

n1

1

解：取倒数：

1

1

3a

n1

1

1

3



是等差数列，

a

n

a

n1

a

n1

a

n

1

11

(n1)3

1(n1)3

a

n

3n2

a

n

a

1

类型7周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例：若数列

a

n

满足

a

n1

1

2a,(0a)

n

6

n

2

，若

a

1

，则

a

20

的值为___________。

1

7

2a1,(a1)

nn

2

变式:（2005，湖南,文，5）

已知数列

{a

n

}

满足

a

1

0,a

n1

a

n

3

3a

n

1

(nN

*

)

，则

a

20

= （ ）

A．0 B．

3

C．

3

D．

3

2


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递推,公式,转化,类型,求解,适应性