数学中的转化方法

2024年3月22日发(作者：数学试卷要求签字怎么写)

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ｙ＝０时，山①得　：５／４，．　．Ｓ＝－５／４　

当ｙ≠０时，③可化成：　

（４ｓ一５）（　

一

一５ｓ（　Ｖ）十　

数学中的转化方法　

福建省晋汀市紫　中学　李同忠　

５＝０　

冈　、Ｙ均为实数，故　

△≥ｏ，即（一５Ｓ？一４（４Ｓ一５　≥０，　

解得：ｌ　ｏ／ｌ３≤　≤ｌＯ／３．　

数学问题往往不是孤立的，相互间存着　

各种各样的联系，它们可以相互渗透，相互转　

化．如果能善于利用它们的联系，应用转化的　

思想方法，解题的思路就会变得开阔，解题方　

法也将新颖巧妙．转化方法基本思想是：在解　

决数学问题时，将待解决的问题　，通过某种　

转化于段，化归为另一问题　，且通过对问题　

的解决可使问题　得到解决．在这里问题　

往往比较陌生、繁琐、未知的．而问题　则　

故最大值为ｌＯ／３，最小值为１０／１３．　

以上为本人求最值的一些心得，与大家　

一

起讨论．最值问题充分体现了数学的严谨　

而和谐的美感．通过对称性、同构性等特征　

的认识，使学生从中更深切地领悟数与形间　

的完美的结合及数学结构间的和谐统一，激　

发学生对探索美妙数学世界的向往与追求．　

练习：　

ｌ、在直角坐标系中，有四个点　（一８，　

３）、Ｂ（一４，５）、Ｃ（０，　）、Ｄ（ｍ，　

往往比较熟悉、简单、可知的．由于问题　

是比较熟悉、简单、可知的，因此问题　就　

容易解决，从而也导致了问题　的解决，转　

化的方法是被人们广泛使用的一种解决问题　

０）．　四边形　

（　）　

ＣＤ的周长最短时。ｍ／ｎ＝　

２、己￣，ａＡＢ／／直线三，试在三上作出一　

点Ｃ，使　Ｃ的周长最短．　

的重要方法．在解决问题中，要使转化能顺利　

地完成，必须掌握好基础知识、基本技能．除　

此之外，还要善于发现和利用问题的特征，应　

用知识间的联系，具有一定的求异思维能力，　

３、经两条相交的公路内的某村　修一　

条道路，使之与两相交公路构成的三角形的　

削长最短．　

并注意排除习惯性思维的干扰．在进行转化　

时，往往需要一定的方法，下面介绍几种具体　

的转化方法．　

４、如下图，有一边长为５ｃｍ的正方形　

ＡＢＣＤ和等腰△Ｐ　，ＰＱ＝　＝５ｃｍ，　＝　

８ｃｍ，点８ｃｏＲ在同一直线上，当Ｃ，Ｑ重合　

时，三角形以ｌｃｍ／秒的速度沿着线按箭头的　

方向前进，　秒后，两图　

形的重合部分的面　

积为Ｓｃｍ　．　

Ｐ　

１　直接转化　

例１　ｋ为何值时，关于　的二次方程　

２（ｍ＋１）ｘ２—４ｒｅｘ＋３（ｍ—１）＝０　①　

至少有一个正根？　

（１）　＝３时，Ｓ的值．　

（２）　＝５时，Ｓ的值．　

（３）５≤　≤８时。　

一

分析：至少有一个正根情况比较复杂，可　

以分为三种情况：（１）有两个正根：（２）有　

９　Ｃ　

—●｜＿—————一　

与　的函数关系式，并　

求　的最大值．　

Ｒ　

个正根和一个根为零；（３）有一个正根一　

个负根．由此可把原来比较复杂的问题的解　

决转化为几个比较简单的问题来解决．而仔　

５、己知：口、ｂ、Ｃ、ｄ、ｅ均为实数，且　

Ｑ七ｂ七Ｃ七ｄ七ｅ：８　七　七　七矗七ｅ２：１６　

试确定ｅ的最大值．　

细观察原方程①不难发现，方程①不可能有　

一

个负根和一个根为零，从而至少有一个正　

根的反面是有两负根，这样就可以去求有两　

个负根时ｋ的取值范Ｆ啊，而后解出原题．　

・１　４・　

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ｒ　，＋Ｘ，＝２ｍ／（ｍ＋１）＜０：　

｛　ｘ　２：　＞０；加；　

ｌ　ｍ＋１≠０：　

（一４ｍ）。一２４（ｍ—１）≥０　

不难知道上述不等式组无解，所以方程　

①　可能有两面个负根的情况，由上分析知，　

一

４３≤ｍ≤４３且ｍ≠一１时，方程　

①至少有一个正根．　

２　借助“换元”进行转化　

例２求函数ｙ＝一　一２）　＋３　Ｉ）ｃ一２Ｉ＋　

５的最大值．　

分析：函数的形式看上比较复杂，若把绝　

对值符号去掉，则必须分类讨论．但从整体上　

看与二次函数很相似，为此把　一２）　看成　

Ｉ　Ｘ一２１　，即　

Ｙ＝一Ｉ　ｘ一２　Ｉ　＋３　Ｉ　一２　Ｉ＋５．　

令ｔ＝｛ｘ－２　Ｉ，当，＝÷，函数Ｙ有最大值　

＝

等，函即ｘ＝１

叶　

／２或　＝７／２时，函数Ｙ取最　

大值２９／４．　

换元法在初中阶段是一种常用的数学方　

法．换元的作用是将复杂问题简单化、陌生　

问题熟悉化．其实，换元本身就是一种转化．　

３利用“数形结合”进行转化　

例３求函数　＝Ｉ　ｌＩ＋Ｉ　Ｘ一２　Ｉ的最小　

值．　

分析：当然可以通过分类讨论去掉绝对　

值符号，把原函数表达式写成分段函数，进而　

求出它的最小值．但若能考虑函数表达式的　

几何意义，它是表示数轴上一动点到两定点　

一

ｌ、２的距离之和．由此易知当Ｘ是区问　

［一ｌ、２】上的任意一点时，它们的距离之　

和最小，即一ｌ≤Ｘ≤２时，函数Ｙ取最小值　

３．　

例４已经菱形ＡＢＣＤ的边长为５，两条　

对角形相交于Ｄ点，且ＡＯ，ＢＯ的长分别是　

关于ｘ的方程　＋（　一ｌ　＋ｍ。＋３＝０的两　

个根，求ｍ的值．　

分析：奉题是代数、几何结合的综合题，　

山韦达定理易知Ａ０＋　０＝－－２（ｍ一１　，　０　

・ＢＯ＝ｍ。＋３

．

另～方面山菱形性质易知　

＋　∥＝Ａ∥，￣ＩＪＡＯ　＋ＢＯ　：５　．而有（　Ｄ＋　

ＢＯ）　一２，４０・ＢＯ＝２５．．‘．（２ｍ—ｌ１　一２（　

３）＝２５，．‘．ｍ，＝一３，ｍ２＝５．　

再根据△≥０　ＡＯ＞０　０＞０，不难知　

道ｍ？：５应舍去，所以ｍ＝一３．　

在上面求解过程中，关键是应用数形结　

合的思想，通过ＯＡ、ＯＢ将方程根与系数关　

系与菱形性质合起来进行转化求解．　

转化思想是一种重要的数学思想，掌握　

了这种思想方法，就等于掌握了一种强有力　

的数学Ｔ具，有利于我们去解决复杂、陌生　

的数学问题，对增强解决问题能力、改崔认　

识结构和提高数学素养都有极大的好处．　

借助完全平方式系数的特征解题　

福建泉州市洛江区河市中学初二ｌ２班刘翔文　

指导老师　刘丽胜　

常常有同学将　＋　及　＋　＋４写　

成　）２及　＋２　的形式，导致解题失误．　

如在一次测验中，竞有一半左右的学生计算　

ｘ２　

题目ｉ万一　＋　一４时，第一步就与成　

２　

万一　一２）２．究其原因，就是对完全平方　

式系数的特征不甚了解造成的．按某个字母　

降次排列的整系数的二次三次项式为完全平　

方式有下列特征：　

①项数必为三项，首尾两项为完全平方　

项且符号必相同：　

②系数的绝对值按顺序依次乘ｌ００，乘１０，　

乘１相加必为完全平方数．如　＋２ｘｙ＋　完　

全平方式，就符合上述两个特征，　及　的符　

号同正；系数顺序信次乘１００、１０、１可写成　

１２１＝ｌｌ　．再如下列各式皆为完全平方式：　＋　

・ｌ　５・