2024年1月6日发(作者：升初中的考试数学试卷)

多元函数偏导数的求解及应用

作 者

院 系 统计与数学学院

专 业 信息与计算科学

年 级

学 号

指导教师

导师职称

内容提要

偏导数在微积分中占很重要的位置，而计算多元函数偏导数也是我们常见到的问题之一 ，其中最基本的还是二元函数的偏导数问题。本文归纳总结了几种求解不同类型的多元函数偏导数的基本方法，同时简单说明多元函数偏导数在求极值，几何学，经济学等方面的广泛应用。

关键词：多元函数 偏导数

Abstract

Partial derivative occupies a very important position in calculus, and the calcul

-ation of partial derivative of multivariate function is our common problems, of which

two yuan and three yuan of partial derivatives of functions is the most typical, this

paper summarizes the basic method of multivariate function methods for solving

different types of partial derivative of multivariate function, and simple description of

partial derivative in geometry widely used in economics, etc..

Keywords: multivariate function partial derivative

目 录

一、

(一)

(二)

二、

(一)

(二)

(三)

(四)

三、

(一)

(二)

(三)

四、

定义 .............................................................................................................. 1

多元函数定义 .............................................................................................. 1

多元函数偏导数定义 .................................................................................... 1

各种类型多元（二元）函数求偏导数的方法 ................................................. 2

一般多元（二元）函数偏导数求解方法 ....................................................... 2

多元（二元）复合具体函数偏导数的求解方法 ............................................ 3

多元（二元）复合抽象函数偏导数求解的方法 ............................................ 6

多元（二元）隐函数偏导数的求解方法 ....................................................... 7

多元（二元）函数偏导数的应用 ................................................................... 9

求极值 ......................................................................................................... 9

空间几何中的应用 ..................................................................................... 12

经济学中的应用 ......................................................................................... 15

结论与展望 ................................................................................................. 17

参考文献 .................................................................................................................... 17

后 记 .................................................................................................................... 18

多元函数偏导数的求解及应用

一、 定义

(一) 多元函数定义

设D为一个非空的n元有序数组的集合，f为某一确定的对应规则。如果对于每一个有序数组(x1,x2,,xn)D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，那么,xn),(x1,x2,,xn)D。变称对应规则f为定义在D上的n元函数，记为yf(x1,x2,量x1,x2,,xn(xi,其中i是下标）称为自变量；y称为因变量。当n1时，为一元函数，记为yf(x),xD；当n2时，为二元函数，记为zf(x,y),x,yD。二元及二元以上的函数统称为多元函数。

(二) 多元函数偏导数定义

00设U(Po)D(f),若一元函数f(x1,x2,00xk1,xk,xk1,00处存在极限

,xn)在xkxkxk0lim0f(x10,x2,000xk1,xkxk,xk1,00,xn)f(x10,x2,xk000xk1,xk,xk1,0,xn)，

则称此极限为uf(P)其中P(x1,x2,记作

uxk,PP000xn)，在点P0(x1,x2,0xn)处对xk的偏导数，并fxk,uxkPP0PP0或fxk.

可以扩展到二元及二元以上的多元函数，如二元函数zf(x,y)在点P(xo,yo)的某一领域内有定义，将y固定为yo，给xo以改变量x，于是函数有相应改变量。如xzf(xox,y)xz称为函数zf(x,y)对x的偏增量（或改变量）o)f(xo,yo；果极限

xzf(xox,yo)f(xo,yo)lim

x0xx0xlim存在，则称此极限值为函数zf(x,y)在点P(xo,yo)处对x的偏导数，记作

1

f(xo,yo)zfx(xo,yo),或,或zx,或,

(xo,yo)xx(xo,yo)类似地，我们可以定义函数zf(x,y)在点P(xo,yo)处关于y的偏导数，并记作

fy(xo,yo),或f(xo,yo)z,或zy,或(xo,yo)yy,

(xo,yo)由定义可以看到，fx(x0,y0)实际上就是x的一元函数f(x,y0)在xo点的导数，fy(xo,yo)也是y的一元函数f(x0,y)在yo点的导数。

如果函数zf(x,y)在区域D中的每一点(x,y)对x的偏导数fx(x,y)都存在，则fx(x,y)同样也是x,y的函数，称为函数f(x,y)对x的偏导函数；类似地，可以定义f(x,y)对y的偏导函数fy(x,y)，则它们可以分别记为

fzfzzx,fx,或和zy,fy,或

xxyy偏导函数常简称为偏导数。

由上面定义可知，f(x,y)对x(或y)的偏导数fx(x,y)(或fy(x,y))就是把f(x,y)中的y(或x)看成常数，并对x(或y)求导，因而偏导数的计算就是一元函数的导数计算，求导公式，四则运算法则等都与一元函数一样。

二、 各种类型多元（二元）函数求偏导数的方法

对不同类型的函数进行分类，主要有以下四种求偏导数方法：①一般显函数偏导数求解方法；②复合具体函数偏导数的求解方法；③复合抽象函数偏导数求解的方法；④隐函数偏导数的求解方法。

(一) 一般多元（二元）函数偏导数求解方法

求函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数fx(a,b)及fy(a,b)的方法是：

1． 先求出偏导数的函数式，然后将(a,b)代入计算

例1 求函数

zx24xyy2在点(3,2)处的偏导数。

解：把y看成常量，得： 把x看作常量，得：

z2x4y

xz4x2y

y点(3,2)代入上面的结果，就得：

2

zz234214

432216

xy对于简单的函数，首先我们只需把不求偏导数的变量看作常量，然后根据一元函数的求导法则和求导公式就可以轻松解出。

2． 先求出g(x)f(x,b)和h(y)f(a,y),再求出g(b),h(a)便得到fx(a,b)和fy(a,b)

例2

fx,yx2y1arcsinx,求fx(2,1).

y如果该题运用例1的方法， 那么计算过程复杂，计算量很大，观察表达式中有(y1)这一项，而且y1可以消除这一项，所以采用简便算法。

解：将y1代入，得

g(x)f(x,1)x2fx(2,1)g(2)4

虽然本质与例1的方法是一样的，但是经过观察计算可以迅速算出，减少计算量，正确率提高。

3． 函数f(x,y)是分段函数，一般可以采用定义来计算

1ysin,x2y20,22xy例3

设f(x,y)=考察函数f(x,y)在原点(0,0)的偏导数。

0,x2y20,解：按偏导数的定义

fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0

x0xxf(0,y)f(0,0)1limsin不存在

y0y(y)2fy(0,0)limy0(二) 多元（二元）复合具体函数偏导数的求解方法

1. 直接法

对其中某一自变量求导时，只需把其他自变量看作常数，对方程直接求导。

例1 设方程zexy，求zz,.

xyzyexy

x解：对x求偏导数，把y看作常量，得： 对y求偏导数，把x看作常量，得：

zxexy

y3

2. 链式图法

引入中间变量，运用链式法则求解。

例2

z(x2y2)xy,求zz,

xy解：引入中间变量，则函数的复合关系为：z是u,v的函数，u,v设ux2y2,vxy，分别是x,y的函数，则zuv。

zzvuv1，uvlnu

uvuv2x ，y

xxuv2y ，x

yy由链式法则及链式图，有

zzuzvxuxvx

zzuzvyuyvy

u

z

x

v

yzvuu12xuvlnuyx

zvuu1(2y)uvlnuxy

3. 利用全微分不变性

2x2y(x2y2)xy1y(x2y2)xyln(x2y2)

2xy2(x2y2)xy1x(x2y2)xyln(x2y2)

设函数zf(u,v)在区域D内可微，当uu(x,y),vv(x,y)为可微函数时，则对复合函数zfu(x,y),v(x,y)在区域D内任意点的全微分，记作

dzfu(u,v)dufv(u,v)dv

或

dzzzdudv

uv其中，u,v为自变量和u,v为中间变量时的全微分形式是不变的。

4

例3 设zeusin(v),且uxy,vxy，求zz在(2,1)处的值。

xy解：利用全微分形式不变性，求全微分得：

zzdzdudv

uvdzd(eusinv)eusinvdueucosvdv

dud(xy)ydxxdy

dvd(xy)dxdy

代入后合并同类项得：

dzeusinv(ydxxdy)eucosv(dxdy)

exyysin(xy)cos(xy)dxexyxsin(xy)cos(xy)dy

由此得到

z

exyysin(xy)cos(xy)

xzexyxsin(xy)cos(xy)

y代入点(2,1)，得：

zze2(3sin12cos1)

xy利用全微分思路清晰，不易出现计算错误，是一种很好的方法。

4. 对数求偏导法

一般这个方法主要适用于幂指数的复合函数，可先对方程两边同时取对数，再分别对x,y求导。

例4 设方程z(xy)xy，求解：将方程两边取对数，有

lnzxyln(xy)

zz,。

xy将x看成自变量，y,z看成常数，对上式两边求导，得

1zxyyln(xy)

zxxy5

zxyzln(xy)xxy

将y看成自变量，x,z看成常数，对上式两边求导，得

1zxy

xln(xy)zyxyzy

xzln(xy)yxy 多元复合函数求导应该注意以下几点：

(1)首先分析函数的复合关系，在求导前知道哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量。

(2)求导时明确哪个函数对其中哪个变量求导。

(3)对其中某个自变量求偏导时，理解所有的中间变量都应该归结到自变量。

(4)一般地, 函数有多少个自变量, 就有会多少个偏导数；函数有多少个中间变量,

导数公式就有会多少项；函数有多少层复合, 每项就会有多少个因子的乘积。

(三) 多元（二元）复合抽象函数偏导数求解的方法

由于多元复合抽象函数的没有给出具体的表达式, 所以变量之间的关系更为繁琐复杂, 解题时会觉得没有思路, 计算量较大，导致正确率低。我们可以采用微分解法, 利用全微分形式的不变性, 对多元抽象函数求偏导数的问题分析分类讨论, 主要有以下几种不同情况。

1. 多个中间变量, 一个自变量

dz 例 1 设zf(u,v,w)，ucosx，vex，w1x2，求

dx 解：由全微分形式的不变形，有

dzf1duf2dvf3dw

f1(sinx)dxf2exdxf3x1x2dx

所以

dzx

f1(sinx)f2exf32dx1x2. 多个中间变量, 多个自变量

例2 设zf(u,v,w),uxy,vln(xy),wx2y2,求解：全微分

dzf1duf2dvf3dw

zz,

xydxdyf1(dxdy)f2()f3(2xdx2ydy)

xy6

f2f2(f12xf3)dx(f12yf3)dy

xyf2zf2z2yf3 所以

f12xf3

f1yyxx3. 多层复合结构的函数

例3 设zf(g((exy,cos(x2y2))))，求zz,

xy解：令ug((exy,cos(x2y2)))，则zf(u),dzfudu；

v(exy,cos(x2y2))，则ug(v)

dugvdvgvd((exy,cos(x2y2)))

gv1\'exy(xdyydx)2sin(x2y2)(2xdx2ydy)

gv\'y1exy2x2sin(x2y2)dxgvx1exy2y2sin(x2y2)dy

所以

zzfugvy1exy2x2sin(x2y2)

fugvx1exy2y2sin(x2y2)

xy(四) 多元（二元）隐函数偏导数的求解方法

1. 显化法

将二元隐函数F(x,y,z)0化为显函数zf(x,y)，再利用显函数求偏导数的方法，对其进行求解。

例1 设x2y2z20,(z0,且是关于x,y的函数)，求解：原方程可化为

zx2y2

zz,

xy求偏导数，有

zx2. 公式法

xx2y2

zy

22yxy设方程F(x,y,z)0所确定的二元隐函数zf(x,y)，如F(x,y,z)存在连续偏导数，F0，则有偏导数公式

z而且7

FFFyFzzy

xx，

FFxFzyFzzz 例2 已知3xyy2zxz25,求zz,.

xy 解：

设F(x,y,z)3xyy2zxz250

由于

FFF3yz2,3x2yz,y22xz

xyzFy3x2yzFx3yz2zz2所以





2xyFzy2xzFzy2xz3. 直接法

对函数两边同时求导，然后根据复合函数的求导法则来求解。

例3 设zf(x,y)是由方程z2xyxezxy0所确定的二元函数，求解：对方程z2xyxezxy0的两端直接对x求偏导数，有

2zzz1ezxyxezxy(1)0

xxzz,.

xyz1(1x)ezxy所以

xxezxy2z同理，对y求偏导数，有

2zzz1xezxy(1)0

yyzxezxy1所以

zxy

yxe2z4. 全微分法

对方程两边求全微分,利用微分形式的不变性求解。

例4 设exy3zez0，求zz,.

xy解：对方程的两边求全微分,利用微分形式的不变性，有

d(exy)3dzd(ez)0,

exy(ydxxdy)(3ez)dz0

8

yexyxexydzdxdy

zz3e3ezxexyzyexy所以

zzx3ey3e5. 对数求导法

如遇到指数函数，一般方程两边同时取对数来求解。

例5 设xzzy0，求zz,

xy解：原方程可化为xzzy，方程两边同时取对数，有

zlnxylnz

上式两边分别对x,y求偏导数，得

zzyxxzzlnxlnzylnxzx

yzzyzz2zlnzzlnz所以

yyxylnxzlnxylnxx(yzlnx)zzzx三、 多元（二元）函数偏导数的应用

(一) 求极值

1. 无条件极值

设二元函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某领域内有定义，且有二阶连续偏导数，则求极值的方法总结如下。

（1）求f(x,y)的定义域D（开区域）。

f(x,y)0x（2）求偏导数方程组

的解，得到函数f(x,y)的驻点。

fy(x,y)0

（3）解出驻点处的二阶偏导数值。Afxx(x0,y0),Bfxy(x0,y0),Cfyy(x0,y0)，确定B2AC的符号,并判断f(x)是否有极值,若有,计算其极值。

① 当B2AC0且A0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极小值f(x0,y0)；

9

当B2AC0且A0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值f(x0,y0)；

② 当B2AC0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处无极值；

③ 当B2AC0时,函数f(x,y)在点(x0,y0)处不确定，可能有极值,也可能无极值。

例1 求函数f(x,y)x3y33xy的极值.

解：先求偏导数

fx(x,y)3x23y,fy(x,y)3y23x

解方程组

f(x,y)3x23y0x,

2fy(x,y)3y3x0求得驻点为(0,0),(1,1)。

求二阶偏导数

fxx(x,y)6x,fxy(x,y)3,fyy(x,y)6y

在驻点(0,0)处,Afxx(0,0)0,Bfxy(0,0)3,Cfyy(0,0)0,

从而

B2AC90,

于是(0,0)不是函数的极值点.

在驻点(1,1)处,

Afxx(1,1)6,Bfxy(1,1)3,Cfyy(1,1)6,

从而

B2AC270,

A0

所以点(1,1)是函数的极小值点,f(1,1)1为函数的极小值.

2. 条件极值

在条件(x1,x2,,xn)0,k1,2,求函数yf(x1,x2,,m(mn)下，下xn)的极值，面以二元函数为例。

(1) 代入法

由(x,y)0可得yh(x)，代入f(x,y)中有zfx,h(x)，把多元函数条件极值问题转化成一元函数的极值的问题。

例2

求二元函数zx22y2xy在条件xy4下的极值

10

解：由xy4,得y4x,代入z，有

zx22(4x)2x(4x)4x220x32

根据一元函数极值存在的必要条件，得

dz8x200dx

所以

x5

2d2z因为

280，

dx所以 当x5511时，y8，

222511(,)为二元函数zx22y2xy在条件xy4下极小值点，极小值为53。

22

(2) 拉格朗日乘数法

以二元函数zf(x,y)为例，求在附加条件(x,y)0下可能极值点，可以按照以下步骤求解：

① 构造辅助函数，令Ff(x,y)(x,y)；

F(x,y,)f(x,y)(x,y)0xxx② 解方程组Fy(x,y,)fy(x,y)y(x,y)0；

F(x,y,)(x,y)0③ 根据实际问题的性质,在可能极值点处求极值.

拉格朗日乘数法可推广至自变量多于两个的情况：如果要找函数uf(x,y,z,t)在约束条件(x,y,z,t)0,(x,y,z,t)0下的极值，首先构造函数：

F(x,y,z,t)f(x,y,z,t)1(x,y,z,t)2(x,y,z,t)

其中1,2均为常数,由偏导数为零及条件解出x,y,z,t,于是得到可能极值点的坐标。

例3 求表面积为a2，体积为最大的长方体的体积.

解：设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则体积是f(x,y,z)xyz，附加条件为

(x,y,z)2xy2yz2zxa20

先构造辅助函数

11

F(x,y,z)f(x,y)(x,y)

xyz(2xy2yz2zxa2)

Fxyz2(yz)0Fzx2(zx)0y解方程组

，得

Fzxy2(xy)0F2xy2yz2zxa20xyz6a

663a。

36即当长方体的长、宽、高相等时，长方体的体积最大为(二) 空间几何中的应用

1. 方向导数和梯度

(1) 方向导数定义

3设三元函数f在点P的某领域有定义，l为从点Po出发的射线，(x,y,z)U(P)RoooooP(x,y,z)为l上且含于U(Po)内的任一点，以表示P与Po两点间的距离。若极限

limf(P)f(Po)lim0lf0

存在，则称此极限为函数f在点Po沿方向l的方向导数，记作

flpo,fl(Po)或fl(xo,yo,zo).

公式：fl(P，其中cos,cos,cos为l的方向o)fx(Po)cosfy(Po)cosfz(Po)cos余弦。

例1 设f(x,y,z)xy2z2，求f在点Po(3,2,1)沿方向l:(2,1,2)的方向导数.

l解：f在点Po可微，由fx(P,fy(Po)1o)4,fz(Po)2及方向的方向余弦

cos2

2212(2)231

2212(2)232

32212(2)2212coscos12

212fl(Po)1(4)2()2333

(2) 梯度的定义

若f(x,y,z)在点Po(xo,yo,zo)存在对所有自变量的偏导数，则称向量

(fx(Po),fy(Po),fz(Po))为函数f在点Po的梯度，记作

gradf(fx(Po),fy(Po),fz(Po)).

向量gradf的长度（或模）为

gradf

fx(Po)2fy(Po)2fz(Po)2

例2设f(x,y,z)xy2yz3，求f在点Po(1,2,1)的梯度以及它的模.

解：由于fx(P,fy(Po)1o)3,fz(Po)6

所以

gradf(1,3,6)

gradf12(3)262462. 空间曲线的切线和法平面

设空间曲线L的参数方程为

xx(t)yy(t)

zz(t)假定x(t),y(t),z(t)均可导,x(t0),y(t0),z(t0)不同时为零,曲线上对应于tt0及tt0t的点分别为M0(x0,y0,z0)和M(x0x,y0y,z0z)。割线M0M的方程为

xx0yy0zz0

xyz 当M沿着曲线L趋于M0时,割线的极限位置M0T是L在M0处的切线。上式分母同除以t,得

xx0yy0zz0

xyzttt当t0(即MM0)时,对上式取极限,得到曲线在M0点的切线方程

13

xx0yy0zz0

x(t0)y(t0)z(t0)向量T{x(t0),y(t0),z(t0)}是切线M0T的方向向量,称为切线向量，切线向量的方向余弦就是切线的方向余弦。

通过点M0与切线垂直的平面，称为曲线在M0点的法平面，它是通过点M0(x0,y0,z0),以切线向量T为法向量的平面。因此,法平面方程为

x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0

例3

求曲线xt,yt2,zt3在t02处的切线方程和法平面方程

解：当t02时，x02,y04,z08

x(2)1,y(2)4,z(2)12

于是，切线方程为x2y2z2

1412法平面方程为(x2)4(y2)12(z2)0

3. 曲面的切平面与法线

设曲面由方程F(x,y,z)0给出，M0(x0,y0,z0)是曲面上的一点，函数F(x,y,z)的偏导数Fx,Fy,Fz在点M0连续且不同时为零，设L为位于上述曲面上且过M0点的一条任意的曲线，则其方程为

xx(t)yy(t)zz(t)由于曲线L在曲面上，故F[x(t),y(t),z(t)]0

若相应于点M0的参数为t0,即x0x(t0),y0y(t0),z0z(t0),则在点M0处有

dFdttt0Fx(x0,y0,z0)x(t0)Fy(x0,y0,z0)y(t0)Fz(x0,y0,z0)z(t0)0

记n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)},与曲线切向量T{x(t0),y(t0),z(t0)}垂直。所以在曲面上所有过M0点的曲线的切线都与同一向量n垂直,这些切线位于同一个平面上，这个平面称为曲面在M0处的切平面。向量n是切平面的法向量,称为曲面在M0处的法向量。切平面方程为

Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0

14

过点M0与切平面垂直的直线,称为曲面在点M0处的法线,则其方程为

xx0Fx(x0,y0z0)

yy0Fy(x0,y0z0)zz0Fz(x0,y0z0)

例4 求椭球面x23y22z28在点(1,2,3)处的切平面和法线方程。

解： 设F(x,y,z)x23y22z28

Fx(x,y,z)2x,Fy(x,y,z)6y,Fz(x,y,z)4zFx(1,2,3)2,Fy(1,2,3)12,Fz(1,2,3)12

所以，在点(1,2,3)处椭球面的切平面方程为

2(x1)12(y2)12(z3)0

即

x6y6z70

x1y2z3

21212法线方程为

(三) 经济学中的应用

边际是指自变量的增加引起因变量的增加，边际分析是指用导数研究经济变量。在一元函数微分学中，我们了解了边际和弹性的概念，这些概念同样可以推广到多元微分学中，而且有更丰富的经济含义。

1. 边际经济量

设某企业只生产一种产品，而且这种产品的生产数量Q取决于投资的资本数量K和可获得的劳动力数量L，一般满足生产函数

QcKL，其中c,,是正常数，且01,01.

由偏导数定义可知

QQcaK1LKK

表示在劳动投入保持不变、资本投入变化时，产量的变化率称为资本的边际产量；

QQcKL1LL

表示在资本投入保持不变，劳力投入变化时，产量的变化率称为劳力的边际产量。

例1 某工厂的生产函数是Qf(k,l)100KL，其中Q是产量（单位：件），K是资本投入（单位：千元），L是劳动投入（单位：千工时）。计算当L8,K9时的边际产量，并解释经济意义。

2Q111Q100K2L3 解：资本的边际产量

K22K1Q212Q2100KL3 劳力的边际产量

L33L代入L8,K9得：

15

1213

Q10032600

Q1Q100Q2Q50

K2K3

L3L经济意义：当劳力投入8千工时和资本投入9千元时的产量是600件，如果劳动力投入保持不变，每增加一单位的资本投入，产品增加100/3件；如果资本投入保持不变，每增加一单位的劳力投入，产品增加50件。

2. 偏弹性

zxEzx：表示若y保持不变，x的相对变化率。

zf(x,y)对x的偏弹性Exf(x,y)zyEzy：表示若x保持不变，y的相对变化率。

zf(x,y)对y的偏弹性Eyf(x,y)设A和B是两个相关联的商品，pA和pB为各自的单位价格，QA和QB是各自的需求量，QAf(pA,pB),QBf(pA,pB)

EQApA(1) 需求的自身价格弹性，即EpAQAEQApB(2) 需求的交叉价格弹性，即EpBQA(3) 两种商品的相互关系

当QAEQBpBQB

,pAEpBQBpBQAEQBpAQB

,pBEpAQBpAQAQ0或B0时，表明两种商品中的任一价格减少都会使其中一个需求量增pBpAQAQ0或B0时，pBpA加且另一个需求量减少，则称A,B互为替代品，如苹果与香蕉；当表明两种商品中任一价格减少都会使两种商品的需求量同时增加，则称A,B互为互补品，如汽车与汽油。

例2 某商品A的价格为pA，与其相关联的商品B的价格为pB，有数据建立A的需求函数QA100pApB，求在(pA,pB)(4,32)时，需求的自身价格弹性，交叉价格弹性，并说明A和B的关系。

1 解：

pA4，pB32时，QA1002100

21431QAQA50pA2pB5,20pA2pB5

pApB在(4,32)出自身价格弹性为

1215

交叉价格弹性为

EQAEpApA4pB32pAQA411(50)2

QApA10082

EQAEpBpA4pB32pBQA3211120

QApB100216516

因为EQA10，所以商品A和B互为替代品。

EpA5四、 结论与展望

通过上文的简单分析总结，我们可以清楚的认识到多元函数偏导数的重要性，它不仅是学习微积分的基础，而且在许多实际生活问题如极值，几何学和经济学中，有着举足轻重的作用。这篇论文虽然篇幅不多，但却丰富了我们在解题过程中的思路，方法和技巧。当然，多元函数偏导数的研究不应局限于此，它在日常生活中的许多重要应用，都为我们今后的学习，提供了更大的空间。

参考文献

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2．龚德恩、范培华，经济应用数学基础(一)，微积分[M], 高等教育出版社.

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后 记

大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。相比论文正文，后记部分最为简单，可正是这简单的部分，所要涵盖的人、情、事太多太多。我的毕业论文写作从准备开题到最终定稿，经历了近半年的时间。每次读着自己写出的文章，回想论文写作过程中的琐事，一路走来，别有一番滋味在心头。在论文写作之前，我雄心万丈，可是真动起笔来，却又陷入无尽的苦恼之中，只有默默慨叹书到用时方恨少啊。当搁笔反观自己文字时，却又会十分汗颜，甚至有不忍卒读之感，因为还有那么多未尽之言及未尽之意。

首先诚挚的感谢我的论文指导老师。她在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文。还有教过我的所有老师们，你们严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；他们循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。感谢四年中陪伴在我身边的同学、朋友，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持、鼓励和帮助，我才能充实的度过了四年的学习生活。我深知无论是继续求学，还是走上工作岗位，拥有自信、懂得珍惜、敢于超越，做一名对国家、对社会、对他人有意义的人，这才是对老师最好的回报。

路漫漫其修远兮,吾将上下而求索，雄关漫道真如铁，而今迈步从头越。新的征程即将开始，我会谨记导师的教诲，努力前行。

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