2024年4月12日发(作者：安徽2016年数学试卷答案)

习题选解

第一章 习题选解.

习 题 1－1

1．若

f

(

x

+1)x

2

+3x5

，求

f

(

x

)

．

解： 因为

f

(

x

+1)

所以

f

(

x

)

x

2

+3x5=

x

1

(

x

1)3

，

2

x

2

x

3

.

2．下列各题中，函数

f(x)

与

g(x)

是否相同？为什么？

（1）

x

2

4

f(x)

，

g(x)x2

；

x2

f(x)

的定义域为

(,2)(2,)

，而

g(x)

的定义域为

(,)

，所以

f(x)

与 解：因为

g(x)

定义域不同，因此

f(x)

与

g(x)

不相同．

（2）

f(x)(3x1)

2

，

g(x)3x1

；

解：因为

f(x)

与

g(x)

定义域相同，对应法则相同，故

f(x)

与

g(x)

相同．

（3）

f(x)ln

x1

，

g(x)ln(x1)ln(x1)

；

x1

x10

x10

解：由

x1

解出

f(x)

的定义域为

(,1)(1,)

，而由

解出

g(x)

的定义域

x10

0

x1

为

(1,)

，所以

（4）

f(x)

与

g(x)

定义域不同，因此

f(x)

与

g(x)

不相同．

f(x)ln

x1

2

g(x)ln(x1)ln(x1)

． ，

2

x1

解：因为

f(x)

与

g(x)

定义域相同，对应法则相同，故

f(x)

与

g(x)

相同．

3．设

12x，　　x1

33

f(x)

2

，求

f(0)

，

f(1)

，

f(1)

，

f()

，

f()

．

x1

22

x1，　　

解：

313

313

f(0)1

，

f(1)1

，

f(1)3

，

f()

，

f()

．

24

24

f

(

x

)

是以T>0为周期的周期函数，证明

f

(a

x

)(

a

0为常数)

是以

T

a

为周期的4．设函数

y

周期函数，并求出函数

ysin3

x

cos2

x

的周期．

证：因为

T

f

a(x+

a

)

f(axT)f(ax)

，

所以

f

(a

x

)

是以

T

为周期的周期函数。

a

2

因为sin x、cos x都是以

2

为周期的函数，所以sin 3x、cos 2x分别是以

3

、

为周期的函

数，它们的公约数为

2

，所以

ysin3

x

cos2

x

的周期为

2

。

5．下列函数哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是非奇非偶函数？

（1）

解：因为

y2x3x

5

；

f(x)2x3x

5

，于是

f(x)2x3x

5

(2x3x

5

)

，所以原函数为奇函数．

（2）

解：因为

ysinxsin

2

x

；

f(x)sinxsin

2

x

，于是

f(x)sin(x)sin

2

(x)sinxsin

2

x

，不等于

f(x)

或

f(x)

，

所以原函数为非奇非偶函数．

（3）

解：因为

ysin(sinx)

；

f(x)sin(sinx)

， 于是

f(x)sin(sin(x))sin(sinx)sin(sinx)f(x)

，所以原函数为奇函数。

a

x

a

x

y　　(a1　)

；

2

（4）

解：因为

a

x

a

x

f(x)　　(a1)　

，于是

2

a

x

a

x

a

x

a

x

f(x)=-=-f(x)　

，所以原函数为奇函数．

22

（5）

a

x

a

x

y　　(a1　)

；

2

解： 因为

a

x

a

x

f(x)　　(a1)　

，于是

2

a

x

a

x

a

x

a

x

f(x)=-=f(x)　

，所以原函数为偶函数．

22

（6）

a

x

1

yx

x

　　(a1　)

；

a1

解： 因为

a

x

1

f(x)x

x

　　

，于是

a1

a

x

11a

x

a

x

1

f(x)x

x

=　xx

x

f(x)

，所以原函数为偶函数．

a11a

x

a1

2x

；

2x

2x

解：因为

f(x)lg

，于是

　　

2x

2x2x

f(x)lg=　lgf(x)

，所以原函数为奇函数．

2x2x

（7）

ylg

（8）

ysinxcosx1

；

解：因为

f(x)sinxcosx1

，于是

f(x)　sin(x)cos(x)1sinxcosx1

，不等于

f(x)

或

f(x)

，所以原函数

为非奇非偶函数．

（9）

y

cosx

1x

2

；

解：因为

cosx

f(x)　

1x

2

，于是

f(x)

cos(x)

1(x)

2

=

cosx

1x

2

　f(x)

，所以原函数为偶函数．

（10）

ylg(x1x

2

)

．

f(x)　lg(x1x

2

)

，于是

2

解：因为

1x

2

x

f(x)　lg(x1(x))lglg=-lg(x1x

2

)f(x)

1

1x

2

x

1

，所以原函数为奇函数．

6．对于下列函数

f(x)

与

g(x)

，求复合函数

f[g(x)]

和

g[f(x)]

，并确定它们的定义域．


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偶函数,原函数,安徽