2022年江西高考文科数学真题及答案

2024年3月9日发(作者：一年数学试卷下册试卷)

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2022年江西高考文科数学真题及答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

集合A.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可解出．

【详解】因为故选：A.

2.

设A.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．

【详解】因为故选：A.

3.

已知向量A. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先求得【详解】因为故选：D

4.

分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

，然后求得.

，所以.

B. 3

，则（

）

C. 4 D. 5

R，，所以，解得：．

，其中B.

为实数，则（

）

C. D.

，，所以．

B.

，则C.

（

）

D.

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则下列结论中错误的是（

）

A.

甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B.

乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C.

甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D.

乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.

【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为结论正确.

对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

，A选项，

B选项结论正确.

对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值C选项结论错误.

对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值D选项结论正确.

故选：C

，

，

5.

若x，y满足约束条件则的最大值是（

）

A. B. 4 C. 8 D. 12

【答案】C

【解析】

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【分析】作出可行域，数形结合即可得解.

【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数上下平移直线所以故选：C.

6.

设F为抛物线（

）

A. 2

【答案】B

【解析】

为，

时，直线截距最小，z最大， ，可得当直线过点.

的焦点，点A在C上，点，若，则B. C. 3 D.

【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点点坐标，即可得到答案.

，则的距离为2，所以点，

的横坐标为，

.

，

的横坐标，进而求得【详解】由题意得，即点到准线不妨设点所以故选：B

在轴上方，代入得，7.

执行下边的程序框图，输出的（

）

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A. 3

【答案】B

【解析】

B. 4 C. 5 D. 6

【分析】根据框图循环计算即可.

【详解】执行第一次循环，，

；

执行第二次循环，，

；

执行第三次循环，，

，此时输出故选：B

8.

如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（

）

.

，

，

，

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A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】设，则，故排除B;

设，当时，，

所以，故排除C;

设故选：A.

9.

在正方体A.

平面C.

平面【答案】A

【解析】

【分析】证明设，则，故排除D.

中，E，F分别为平面平面

的中点，则（

）

B.

平面D.

平面平面平面

平面，即可判断A；如图，以点，，为原点，建立空间直角坐标系，，分别求出平面的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.

【详解】解：在正方体且平面，

中，

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又平面，所以，

因为分别为的中点，

所以，所以，

又，

所以平面，

又平面，

所以平面平面，故A正确；

如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，

则，

设平面的法向量为，

则有，可取，

同理可得平面的法向量为，

平面的法向量为，

平面的法向量为，

则，

所以平面与平面不垂直，故B错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故C错误；

因为与不平行，

所以平面与平面不平行，故D错误，

故选：A.

，，

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10.

已知等比数列A. 14

【答案】D

【解析】

【分析】设等比数列的前3项和为168，B. 12

，则C. 6

（

）

D. 3

的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.

【详解】解：设等比数列若所以，则，

的公比为，

，与题意矛盾，

则，解得，

所以故选：D.

11.

函数A.

.

在区间B.

的最小值、最大值分别为（

）

C. D.

【答案】D

【解析】

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【分析】利用导数求得大值.

【详解】所以在区间和的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最，

上，即单调递增；

在区间上，即单调递减，

又，，，

所以故选：D

在区间上的最小值为，最大值为.

12.

已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（

）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】先证明当四棱锥顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.

【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，

设四边形ABCD对角线夹角为则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又

，

则

当且仅当故选：C

即时等号成立，

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.

记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

【答案】2

【解析】

【分析】转化条件为【详解】由即故答案为：2.

14.

从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

【答案】【解析】

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为

##0.3

可得，解得.

，即可得解.

，化简得，

，所以甲、乙都入选的概率故答案为：15.

过四点【答案】

中的三点的一个圆的方程为____________．

或或或；

【解析】

【分析】设圆的方程为可；

【详解】解：依题意设圆的方程为，

，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

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若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

若过，，，则，解得，

所以圆的方程为，即；

故答案为：或或或；

16.

若是奇函数，则_____，______．

【答案】 ①.

【解析】

； ②.

．

【分析】根据奇函数的定义即可求出．

【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．

由数的定义域为可得，，所以，再由可得，，解得：．即，即函

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，在定义域内满足，符合题意．

故答案为：；．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

（1）若（2）证明：【答案】（1）；

，求C；

（2）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）根据题意可得，（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．

【小问1详解】

由而，，所以，显然，所以【小问2详解】

由可得，

，再由正弦定理可得，

，然后根据余弦定理可知，

，化简得：

，故原等式成立．

．

，即有，所以，可得，，而，而，，，再结合三角形内角和定理即可解出；

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18.

如图，四面体中，，E为AC的中点．

（1）证明：平面（2）设的体积．

【答案】（1）证明详见解析

（2）【解析】

【分析】（1）通过证明（2）首先判断出三角形从而求得三棱锥【小问1详解】

由于，是的中点，所以.

平面来证得平面平面.

到平面的距离，

平面ACD；

，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的面积最小时的体积.

点的位置，然后求得由于，所以，

所以由于所以由于，故，平面平面，

，

平面，

，所以平面平面.

【小问2详解】

依题意所以由于，所以由于，，，

，所以三角形，

平面，所以平面.

是等腰直角三角形，所以.

，三角形是等边三角形，

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由于，所以，

由于，所以，

所以由于过在作，所以，

，所以当最短时，三角形的面积最小值.

，垂足为中，，

，解得，

所以，

所以

过作，垂足为，则，所以平面，且，

所以,

所以.

19.

某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：位：），得到如下数据：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

总和

）和材积量（单样本号ｉ

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根部横截面积

材积量

0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6

0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9

并计算得．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数．

【答案】（1）（2）（3）【解析】

；

【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；

（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．

小问1详解】

样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值

样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为平均一棵的材积量为小问2详解】

，

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则

【小问3详解】

设该林区这种树木的总材积量的估计值为，

又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，

可得，解之得．

．

时，求的最大值；

则该林区这种树木的总材积量估计为20.

已知函数（1）当（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．

【答案】（1）（2）【解析】

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；

（2）求导得调性，求得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当当当所以【小问2详解】

，则，

时，时，时，，，；

，则单调递增；

单调递减；

，

，按照、及结合导数讨论函数的单

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当当所以当时，时，，所以当，时，单调递减；

，单调递增；

，此时函数无零点，不合题意；

时，，在上，，单调递增；

在又所以上，，单调递减；

趋近于正无穷大， ，当x趋近正无穷大时，仅在有唯一零点，符合题意；

当所以当时，，所以单调递增，又，

有唯一零点，符合题意；

时，，在上，，单调递增；

在上，，单调递减；此时，

又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷，

所以所以在有一个零点，在无零点，

有唯一零点，符合题意；

.

综上，a的取值范围为【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.

21.

已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过（1）求E的方程；

（2）设过点点T，点H满足的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于．证明：直线HN过定点．

两点．

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【答案】（1）（2）【解析】

【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；

（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.

【小问1详解】

解：设椭圆E的方程为，过，

则，解得，，

所以椭圆E的方程为：.

【小问2详解】

，所以，

①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，

可得，，代入AB方程，可得

，由得到.求得HN方程：，过点.

②若过点的直线斜率存在，设联立得，可得，，

且

.

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联立可得

可求得此时将将，代入整理得代入，得，

，

显然成立，

综上，可得直线HN过定点

【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22.

在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，为极点，已知直线l的极坐标方程为（1）写出l的直角坐标方程；

（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．

【答案】（1）（2）【解析】

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；

（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.

【小问1详解】

因为l：，所以，

．

又因为，所以化简为，

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整理得l的直角坐标方程：【小问2详解】

联立l与C的方程，即将中，可得所以化简为要使l与C有公共点，则令对称轴为所以，则，令，

，

，

代入

，

有解，

，，

，开口向上，

，

，

所以

m的取值范围为.

[选修4—5：不等式选讲]

23.

已知a，b，c都是正数，且（1）；

，证明：

（2）【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

；

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．

【小问1详解】

证明：因为，，，则，，，

所以，

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即，所以，当且仅当，即时取等号．

【小问2详解】

证明：因为，，，

所以所以当且仅当，，，

，，时取等号．