2024年3月5日发(作者：湖北省理科数学试卷)

绝对值（提高）

【学习目标】

1．掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2．进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【要点梳理】要点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：(a0)a|a|0(a0)a(a0)（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．要点二、有理数的大小比较1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．2.法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：

两数同号同为正号：绝对值大的数大

同为负号：绝对值大的反而小

正数大于负数

正数与0：正数大于0

负数与0：负数小于0

两数异号

－数为0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小：（3）判定两数的大小．

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．4. 求商法：设a、b为任意正数，若aaa1，则ab；若1，则ab；若1，则ab；bbb反之也成立． 若a、b为任意负数，则与上述结论相反．

5.倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小.【典型例题】类型一、绝对值的概念

1．计算：（1）41

（2）|-4|+|3|+|0|

5（3）-|+(-8)|

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

(1)

411144，

555(2)|-4|+|3|+|0|＝4+3+0＝7，

(3)-|+(-8)|＝-[-(-8)]＝-8．

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．

2．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．

【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．

【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；

因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；

由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．

【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4.

举一反三：

【变式1】

(1)如果|x|＝6，|y|＝4，且x＞y，则x、y的值各是多少?

【答案】x＝6，y＝±4

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为

如果｜x－2｜＝1，那么x＝ ；

如果｜x｜＞3，那么x的范围是 ．

【答案】6或-6；1或3；x>3或x<-3【变式3】已知|

a

|＝3，|

b

|＝4，若a，b同号，则|

a +b

|＝_________；若a，b异号，则|

a+b

|＝________．据此讨论|

a+b

|与|

a

| + |

b

|的大小关系．

【答案】7，1；若a，b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|；若a，b异号，则|a+b|＜|a|+|b|，

由此可得：|a+b|≤|a|+|b| .

．

类型二、比大小

3．

比较下列每组数的大小：

(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)34与；(4)与|3.14|．45【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．

【答案与解析】

(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．

因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．

(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．(3)化简得：441633，．这是两个负数比较大小，因为5520443315431615，且．所以．

4420542020(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为

|-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．

举一反三：

【高清课堂：绝对值比大小 例（简单举例）】

【变式1】比大小：

（1）－0.3【答案】＞；＞

【高清课堂：绝对值比大小 典型例题2（最后两个）】

13（2）19

1．

10【变式2】比大小：（1）1.38______－1.384；（2） －π___－3.14．

【答案】＞；＜

【变式3】若m＞0，n＜0，且|m|＞|n|，用“＞”把m，-m，n，-n连接起来．

【答案】解法一：∵ m＞0，n＜0，

∴ m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数．

又∵

正数大于一切负数，且|m|＞|n|，

∴ m＞-n＞n＞-m．

解法二：因为m＞0，n＜0且|m|＞|n|，

把m，n，-m，-n表示在数轴上，如图所示．

∵

数轴上的数右边的数总比左边的数大，

∴ m＞-n＞n＞-m．

类型三、含有字母的绝对值的化简

4.把下列各式去掉绝对值的符号．

(1)|a-4|(a≥4)；(2)|5-b|(b＞5)．

【答案与解析】

(1)∵ a≥4，∴a-4≥0，∴

|a-4|＝a-4．

(2)∵ b＞5，∴ 5-b＜0，∴

|5-b|＝-(5-b)＝b-5．

【总结升华】由字母的取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.

举一反三：

【变式1】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：

化简：【答案】由图所示，可得∴

3ac0，∵

．

∴

原式【变式2】求【答案】

法一：当x2时，则x2x3(x2)[(x3)]x2x32x15

当

当综上：当时，则x2x3(x2)[(x3)]x2x35时，则x2x3(x2)(x3)x2x32x15时，取得最小值为：5.

；

②；

③.

．

的最小值．

．

，，

法二：借助数轴分类讨论：

①的几何意义为对应的点到-2对应点的距离与对应点到3对应点的距离和．

由图明显看出所以，时，时取最小值．

取最小值5

类型四、绝对值非负性的应用

5.已知a、b为有理数，且满足：12，b=________．

，则a=_______，【答案与解析】由，，可得∴

【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．

举一反三：

【变式1】已知【答案】；提示：将，则x的取值范围是________．

看成整体，即，则，求，故的值．

，．

【变式2】已知b为正整数，且a、b满足【答案】

由题意得∴

所以，ab2类型五、绝对值的实际应用

6．正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数．检测结果(单位：克)：-25，+10，-20，+30，+15，-40．裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由．【答案与解析】

因为｜+10｜＜｜+15｜＜｜-20｜＜｜-25｜＜｜+30｜＜｜-40｜，所以检测结果为+10的足球的质量好一些．所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛．【总结升华】绝对值越小，越接近标准.举一反三：

【变式】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻【答案】：小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)

小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)

答：小虫一共可以得到108粒芝麻.


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