2024年4月9日发(作者：数学试卷评语家长200字)
2015年陕西高考理科数学试题及答案
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z满足
1+z
=i，则|z|=
1z
（A）1 （B）
2
（C）
3
（D）2
【解析】
i
1(i
1)(1
i)1+z
i
，故可得
|z|1
，选择A.
i
可得
z
1
i(1
i)(1
i)1
z
【点评】本题考查复数的运算。该题目在 高二数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章 复数 第02讲 模的
运算部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。
（2）sin20°cos10°-cos160°sin10°=
（A）
33
11
（B） （C）
（D）
22
22
【解析】本题三角函数公式，故可得
1
sin20
。
cos10
。
-cos160
。
sin10
。
=sin20
。
cos10
。
-cos
（
180
。
-20
。
）
sin10
。
=sin20
。
cos10
。
+cos20
。
sin10
。
=sin
（
20
。
+10
。
）
=sin30
。
=
，选择D.
2
【点评】本题考查三角函数公式。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章 三角函数 第01讲 三
角函数（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法
完全相同。
（3）设命题P：
n
N，
n
2
>
2
，则
P为
（A）
n
N,
n
2
>
2
（B）
n
N,
n
2
≤
2
（C）
n
N,
n
2
≤
2
（D）
n
N,
n
2
=
2
【解析】本题考查命题的否定，条件和结论都需要否定，因此选择C.
【点评】本题考查命题的否定。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十五章 常用逻辑语 第01讲
常用逻辑语（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题
方法完全相同。
（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且
各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为
nn
nn
n
（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312
【解析】本题考查事件的概率，至少投中2次才能通过，那么投中的次数是2或3，因此概率为
3
PC
3
2
(0.6)
2
0.4C
3
(0.6)
3
0.648
，选择A.
【点评】本题考查事件的概率。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十四章 概率 第02讲 概率（二）
部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。
x2
（5）已知M（x
0，
y
0
）是双曲线C：
y21
上的一点，F
1
、F
2
是C上的两个焦点，若
MF1
MF2
＜
2
0，则y
0
的取值范围是
（A）（-
33
，）
33
（B）（-
33
，）
66
（C）（
22222323
，） （D）（
，）
3333
2
x
0
1
22
1
，因此可得
y
0
，故答案为A.
(x
0
3)(x
0
3)y0
，而
y
0
23
【解析】本题考查双曲线
MF
1
MF
2
0
可得通过
2
0
【点评】本题考查双曲线。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质 第01
讲 圆锥曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的
知识点及解题方法完全相同。
（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，
高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆
为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”
已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有
【解析】本题考查空间立体几何，有四分之一圆弧的周长为8尺可以得出，
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
116111320
2
r8
，
3
，因此
r
，故体积为
Sh
r
2
h
，通过计算可得
V
433349
320
换算单位可得
9
22
，因此选择B.
1.62
【点评】本题考查空间立体几何。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第01讲立
体几何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法
完全相同。
（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则
（A）=+ (B)=
（C）=+ (D)=
【解析】本题考查平面向量，画出图形，
1
1
4
1
ADACCDACBCAC(ACAB)ABAC
3333
可知答案为A.
【点评】本题考查平面向量。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第九章平面向量 第01讲 平面向
量（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全
相同。
(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为
(A)（）,k (b)（）,k
(C)（）,k (D)（）,k
【解析】本题考查三角函数的单调性，根据图像确定函数的解析式，然后再确定单调区间，故可得答案为
B.
【点评】本题考查三角函数的单调性。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数第03讲
三角函数（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方
法完全相同。
（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
【解析】本题考查算法，过程为
【点评】本题考查算法。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十三章算法与统计 第01讲 算法与
统计 部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。
（10）的展开式中，y²的系数为
（A）10 （B）20 （C）30（D）60
【解析】本题考查二项式公式，把x+y看做是一个整体，因此可得
1
x
5
y
2
只能是
C
5
2
(x
2
)
2
(xy)
3
中的某一项，故可得系数为：
C
5
2
C
3
10330
，故选择C.
（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视
图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20
，则r=
（A）1（B）2（C）4（D）8
【解析】本题考查三视图，
由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为
2r，其表面积为
1
4
r
2
r2r
r
2
2r2r
=
5
r
2
4r
2
=16 + 20
，解得r=2，故选B.
2
【点评】本题考查三视图。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十一章立体几何 第01讲 立体几
何（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全
相同。
12.设函数f(x)=e
x
(2x-1)-ax+a,其中a1，若存在唯一的整数x
0
，使得f（x
0
）0，则a的取值范围是
（ ）
A.[-，1） B. [-，） C. [，） D. [，1）
【解析】
【点评】本题考查导数的应用。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第四章函数的值域、最值求法及
应用 第02讲 函数的值域、最值求法及应用（二）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是
数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）
题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
（13）若函数f(x)=xln（x+
ax2
）为偶函数，则a=
【解析】本题考查偶函数，因此有
f(x)xln(xax
2
)f(x)xln(xax
2
)
，故可得
x
a
x
2
1
x
a
x
2
因此可得
a1
.
【点评】本题考查偶函数。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第三章函数的性质及其应用 第03讲
函数的性质及其应（三）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点
及解题方法完全相同。
（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 。
【解析】本题考查圆的方程，设圆心坐标为（a，0），因此可得
3325
a
2
44a
，或
a
2
4a4
解得
a
，因此圆的方程为
(x)
2
y
2
224
【点评】本题考查圆的方程。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第十二章圆锥曲线的方程与性质
第02讲 曲线的方程与性质（一）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的
知识点及解题方法完全相同。
（15）若x,y满足约束条件则
y
的最大值为 .
x
【解析】本题考查线性规划，根据题意画出可行域，
yy
可以看做是与原点连线的斜率，因此如果最大值，也就是求斜率的最大值，通过图形观察可知在(1,3)
xx
处有最大值是3，因此
x
的最大值是3.
y
【点评】本题考查线性规划。该题目在高一数学下（讲座2）强化提高班 课程讲座 第五章不等式 第06讲
不等式（六）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法
完全相同。
（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是
【解析】如下图所示，延长BA，CD交于点E，则可知
126
2
ADE
中，
DAE105
。
，
ADE45
。
，
E30
。
，设
AD=x
，则
AE=x,DE=x
224
CD
m,
BC
2,
(
6
26
2
x
m)sin15
。
1
，故可得
x
m
6
2
44
6
226
22
x
m
x
x
m
6
2
x
4242
所以
0x4
，而
AB
因此可得
AB
的范围是
(62,62)
.
【点评】本题考查三角形。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第八章三角函数 第04讲 三角函数
（四）部分做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相
同。
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，
（Ⅰ）求{an}的通项公式：
（Ⅱ）设 ,求数列}的前n项和
【解析】
（Ⅰ）因为
a
n
2a
n
4S
n
3
，所以
a
n
1
2a
n
1
4S
n
1
3
，两式相减可得
a
n
a
n
1
2a
n
2a
n
1
4a
n
即
(a
n
a
n
1
)(a
n
a
n
1
)
2(a
n
a
n
1
)
，
a
n
0
，
a
n
a
n
1
0
，故可得
a
n
a
n
1
2
所以
{
a
n
}
是等差数列，将
n1
代入
a
n
2a
n
4S
n
3
中可得
a
1
3
或
a
1
1
（舍去）
因此可得通项公式为
a
n
3
(
n
1)
2
2
n
1
（Ⅱ）
b
n
2
2222
1111
(
)
，因此它的前n项和为
(2n
1)(2n
3)22n
12n
3
1111111111
T
n
(
)
(
)
235572n
12n
3232n
3
【点评】本题考查数列。该题目在数学（理）强化提高班 课程讲座 第六章数列 第05讲 数列（五）部分
做了专题讲解，高考原题与讲义中给出的题目只是数字不同，考查的知识点及解题方法完全相同。
（18）如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥
平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。
（1）证明：平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
【解析】
连结
BD
，设
BDACG
，连结
EG,FG,EF
在菱形
ABCD
中，不妨设
GB1
，由
ABC120
可得
AGGC
。
3
3
且
EGAC
由
BE面ABCD
，
ABBC
可知
AEEC
.又
AEEC
，所以
EG
在
RtEBG
中，可得
BE=2
故
DF=
2
2
在
RtFDG
中，可得
FG=
6
2
32
2
在直角梯形
BDFE
中，
BD=2
，
BE=2
，可得
EF
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