数学最重要,一个经济博士(常春藤)Ph.D.的总结

2024年3月28日发(作者：大二数学试卷真题题库答案)

数学最重要，一个经济博士（常春藤）Ph.D.的总结

一，序

一转眼来美国读这个Econ 的PHD已经两年了，从刚来时的懵懵

懂懂与对这边PHD生活的新奇感到现在的每周7天只能休息一个晚上

的Extremely Exhausted（个人时间安排不好，每学期选课老是贪多，

还有可能就是我太笨了），从刚来时去开个银行账户因为英语不好都

差点没开成到这个学期其中三门课做了四堂Presentation而且越做越

来劲，甚至都有点Enjoy这个过程（当然口语依然是差强人意）。回

头看来，时间好似过了很长，又好似所有的都是在昨天；路好像走过

了很远，但又好像只是完成了美国大街上的一个Block；东西好像学了

很多，但是又好像只是了解了点皮毛，离着运用自如依然有孙悟空一

个筋斗云才可以完成的距离，总之真是感慨颇多。不过正是由于这样

的感觉，我才有了写一个自我安慰的学习总结，算是对这两年学习生

活的回顾，给自己一个一段路已经结束，需要踏上另一段征程的心理

暗示。同时，希望我的学习过程以及对相关课本的个人感觉，能对已

经在路上或者即将上路的兄弟姐妹们有一个帮助（怎么感觉象去法

场？）。希望觉得有帮助的或者能从里面找到一点共同的经历的兄弟

姐妹们对着它会心一笑，更希望与我有不同观点的人说说他们的感受，

从而让别人对这个过程有着更明确的认识，以免我的愚见对别人产生

负面影响，这是我最不希望看到的。好了，突然发现自己变得好罗唆，

也许是英文看多了用多了的缘故，还是中文更Sharp一点在表达意思

上（也可能是自己中英文水平都差）。好了，废话少说，现在开始。

二，我这个总结的用处？

第一， 对自己的学习算是个回顾总结。

第二， 你可以了解美国这边Econ PHD上的一些课，怎么上课

这边

第三， 不论是在国内读博的同学还是要到这边来开始PHD生活

的兄弟姐妹，可以把它当作一个你自己学东西的参考，这里面虽是我

个人的偏颇之见，但是很多关于上课的东西我觉得还是有一定代表性

的（我现在一个常青藤学校）

第四， 对于来要来美读PHD的同学，我相信从我的总结里你可

以找到一个带书的List，因为我推荐的大部分书都是在国内有影印版的，

带过来会省下你一大笔开销，初步估计1000刀左右。自从来美后，不

算我从国内带过来的那些书，我在这边为了买书已经花了1500多刀了，

其中很多是国内有影印版但是当时没带来，或者影印版是最近才才出

的。

三，两点声明：

第一， 我这里面经常会中英文混杂，不要认为我显摆，我都习惯

这样乱用了，就宽恕我吧；更不要骂我假洋鬼子，我会很不舒服，我

是中国人。

第二， 我个人不是很赞同花很多时间在论坛上发帖子，写Blog

什么的，至少对我来说，写这种个人感想的东西都是很认真的讲自身

感受，所以特别费时间，有这些精力你去多学一门课多好。当然，纯

粹个人观点，仅供参考。但是对我来说，这可能是从过去两年到未来

两年内唯一的一篇个人感想了。当然，如果新的经历积累到了一定程

度，我想我会再写下一篇的（谁会点我写不写呢？呵呵）。

四，个人数学，经济学等相关学科的背景：

把这个加上是因为我觉得任何经验介绍以及课本推荐都是基于个

人背景的，我觉得容易的东西可能别人觉得难，而相反我觉得难的东

西别人可能觉得相当简单。把个人背景加上，这样希望借鉴我经验的

人就可以对照着看是否我说的适合不适合，如果背景比我好，可以把

难度适当加大点；如果觉得背景比我稍差点（我估计基本没有了！），

可以适当的从稍微基础点的地方开始。我本科专业是管理科学与工程，

学校就不说了。

我本科学的数学相当于考研的数一，Calculus一年，Linear

Algebra一学期, Probability and Statistics一学期。我相信大部分经

管类的学生学的数学课也都是这些，不过有的讲的深一点，有的就讲

的很浅。 总的来说，Univariate Calculus 我掌握的很好，因为我很喜

欢那些证明题，比如Mean-Value Theorem那一块的东西，

Multivariate 部分不好，这块是国内数学教学的一大问题，拿我所在

学校的数学系来说，Multivariate Calculus也是一个巨大的问题，通

常大部分是计算题，不以Linear Algebra为基础将那些重要的定理进

行证明，如果你看一下《Principle of Mathematical Analysis》(以下

简称为Baby Rudin，他写的三本书我都会详细介绍，这是第一本)，

你就明白这种差距了。其他学校也应该差不多，拿北大来说，张筑生

老师的《数学分析新讲》我也读过，已经非常非常好了算是，但是感

觉在难度上仍旧跟《Baby Rudin》差着一些。Linear Algebra 我学的

很好，基本上计算部分不是任何问题，但是跟国外这边数学系Honors

Courses还是有差距的（国外这边Undergraduate课程分为两个

Sequence，一个是基础的，以计算概念为主，另一个是纯理论的，一

般叫做Hounors Courses，不同的地方叫法不一样可能，但都是以证

明为主，修这些课的人基本都是以后要读Graduate School的）。

Probability and Statistics基本是只学的基础概率，统计讲的很少。这

导致我后来不得不去修大量的数理统计理论课程。纯数学的课程就是

这样了，还有一些应用数学的课程，比如我本科学了一年的

Operation Research，内容就是那些Linear Programming and

nonlinear Programming，排队论什么的优化方法，这其实正好是数

理经济学的内容，所以对我帮助挺大的。其他的主要是计算机课程，

学过很多编程语言以及数据库（PASCAL，C，C＋＋，Data

Structure等等），对我现在的好处就是见了什么新软件根本不害怕，

虽然不同编程语言语法不太一样，但是原理都是那样的。我本科经济

学基本上没什么，只是一门微观经济学，不过那个老师课讲的非常好，

所以导致了我后来的转专业考研。

我的研究生是在同一学校读的，这里是比较有远见的，开了高级

微观，高级宏观，高级计量这些课程，用的教材也算是不错，算是给

我们开阔了眼界，导致了我后来申请出国。微观用的《Maschollel》，

自我感觉学的可以，因为那些优化工具我都还算知道；宏观用的

《Romer》，一塌糊涂，因为不会动态的优化工具；计量用的

《Green》，由于概率统计基础不好，导致只是死记了几个公式，根

本不明白是什么回事。后来还上了动态优化，金融经济学（用的黄奇

辅那本书）。这便是研究生阶段学到的经济学。这个阶段我最重要的

一个决定就是去数学系选修数学课，因为老是看不懂很多课本，比如

Duffie 的《Dynamic Asset Pricing》等等，基本是除了最基本的经济

学书其他的都看不懂，因为里面的数学我不明白。最后实在忍受不了

那种瞎猜胡蒙的感觉，我决定去数学系修课，实际只能旁听，因为我

们好像没有这种外系可以到数学系修学分的机制，虽然国内有些学校

比如北大是可以，但是毕竟还是太少了啊。很多想申请Econ PHD的

本身读经济的同学，知道数学重要，但是却没有办法去修课来补，真

是一大憾事，我相信如果可以的话，许多同学通过修数学课是可以进

入更好一点甚至是TOP的学校的。我先后在数学系听了实变函数，随

机过程（不基于测度论的，因为是本科课程），泛函分析，概率论

（用的复旦那本著名的教材，李贤平写的），数理统计，测度论（用

的是北师大严士健

五，纯数学课程科目与教材推荐

由于现在纯数学大概按照分析，几何与拓扑，代数三个大方向来

分类，所以我也按照这个分类来一门一门的看，概率与数理统计我放

到另外一部分来讲。

1：Analysis：

1.1：Mathematical Analysis

上面我已经说过，微积分或者数学分析在美国这边分为两个

Sequences,基础的Sequence主要讲Intuition，概念以及计算，我相

信大家都已经很熟。但是第二个Sequence才是精华，这个Sequence

是一年的，主要教材为《Baby Rudin》，或者Strichartz的《 The

Way of Analysis》，又或者Apostol 的《Mathematical

Analysis》。 《Baby Rudin》最为严格，基础不好的人看起来比较枯

燥，但是It deserves a year’s effort. 如果花上一年的时间讲其学好，

个人认为将会受益终生，不论将来你做哪个方向。Apostol相对比较

有趣点，包含了很多计算的内容，而且还包含了Complex Analysis的

简单介绍，而Strichartz则是从一种纯粹Intuition的角度出发来讲述

整个Calculus体系，用词非常口语化，评价则是褒贬不一。

关于这门课的重要性，我有这么一个故事。 刚来美学习时，系里

夏天就安排了一个Summer Math Camp，这种安排据我所知是几乎

美国好一点的Econ PHD Program都会有的，内容就是给学生复习

Calculus以及Linear Algebra的东西，从而让学生早一点进入状态以

便更好的进行第一年Core Course（微观，宏观，计量以及数理经济

学）的学习。我们在Summer Math Camp完了后有个考试，内容就

是关于数理经济学的，如果你能考过，就可以免修第一学期的Math

Econ，我幸运的得以免修。还有几个同学也过了，结果我们就收到了

Director of Graduate Studies的email，建议我们免修这个课的人去

数学系修Honors Course for Analysis。而且，等第一年考过Qualify

后，很多同学也被建议去修这个Sequence，从而导致我认识的人，

不论做微观，宏观，计量，IO，还是Development几乎都修过这个

课，至少是这个Sequence的第一学期的课。由此可见，基本的

Mathematical Analysis是多么的重要。

个人建议：Baby Rudin与Apostol国内都有英文版（强烈建议，

有英文版一定要看，千万不要读翻译过来的），基础比较好点前者为

主后者为辅，基础感觉不是很Strong的后者为主，前者为辅。这两本

书的大部分答案网上都可以找得到，不过一定要自己做，要不然等于

没学，切记切记

1.2：Real Analysis

Mathematical Analysis是数学系Undergraduate将来进

Graduate School的Core Course，而Real Analysis则是Math PHD

Program的Core Course。一点需要特别注意的是，千万不要将这门

课跟国内的实变函数等同起来，光是内容就差的很多。国内的实变函

数讲的是n维欧式空间的测度与积分，而Real Analysis则讲的是抽象

空间上的测度与积分，而且这只是第一部分内容，后面还有关于

Lebesgue意义下微分与积分的关系，Measure Decomposition与

Radon－Nikodym 定理，基本的Functional Analysis（Banach

Space，Hilbert Space甚至包括Topological Vector Space的基本概

念）以及基本的Fourier Analysis（Classic Case）。也就是说，除了

一点Compact Operator Theory之外，这本课包括了国内数学系本

科实变与泛函分析两门课程的内容而且难度更大一点，当然这是针对

我所在学校的数学系，其他学校不敢妄自揣测。

这门课比较好的教材为Rudin的《Real and Complex Analysis》

(前九章)，Folland ，Royden的《Real Analysis》， Stein &

Shakarchi 。前三本我前前后后都学过算是，第四本只是粗略的浏览

过。 粗略评论一下：Rudin的写法相信很多人都听说过，极为简略看

起来，但是包含内容甚深，真的是部经典之作，还是那句话，吃透受

益终生；Folland是内容写的最全最成体系的，除了包含Rudin所有

书的内容外，还有专门两章讲基本的Point－Set Topology，以及专

门的两章讲Fourier Analysis，而且证明写的还是很明白的，个人很喜

欢这本书；Royden第一部分则是先讲了n维欧式空间的测度与积分理

论，然后第二部分讲基本的Point－Set Topology以及Functional

Analysis,第三部分才讲抽象的测度与积分理论，内容也算是比较全，

但是行文风格我自己很不适应，很多重要的结论只是在某段中一讲，

有的时候根本不知道某个句子竟然是一个很重要的定理，极度的

Informal，不过作为参考还是很好的；Stein & Shakarchi则是著名的

Princeton Leture Notes系列的第三本，没有细看，不过感觉作为

Real Analysis的教材还是不够，只能作为参考我觉得，不能作为主攻

教材。

个人建议：这四本书国内都有英文影印版了，其中Folland好像

是今年才新出来的（心疼啊，我在这边花了50多刀买的），可以将

Rudin与Folland作为主要教材，后两本作为参考，认真学好。

1.3：Measure Theory

其实把测度论写在这里是重复了，因为测度论的内容实际上是上

面Real Analysis的主干内容与基础。之所以写在这里是因为，有些学

校比如我所在的学校，考虑到很多学生比如Statistics，Financial

Engeering以及咱们Econ的学生学习测度论主要用来进一步学习基于

Measure-theory的Probability theory，他们用不到那么多的

Analysis的知识，因此便将这一块内容单独抽出来设置课程（感觉老

外课程设置都有点市场化的感觉）。主要内容包括抽象空间上的测度

与积分论与基本的泛函分析，因为泛函在Stochastic Process里面也

是到处可见。当然，这里测度与积分讲的更加深刻，我上这门课的时

候，光是Radon-Nikodym定理就证了整整两节课，到现在我还能记

得大概的证明思路。

这门课的主要教材我当时用的是Bartle的《The Elements of

Integration and Lebesgue Measure》，一本薄薄的200页教材花了

我80刀，现在想来当时真是舍得花钱，换到现在肯定WS的从图书馆

借出来然后去复印了。不过这80刀激励的我将这本书彻底涂成了一个

花脸，到处都是Notes，想想也值了。其他的参考教材是Halmos的

经典的GTM《Measure Theory》，这本书Measure Theory的经典，

不过很多人觉得Notation有点老了，跟现在常用的不太一样，比如测

度的Caratheodory Extention Theorem现在都是从一个Sigama-

Algebra开时，那本书好像是从Sigama-Ring开始的。严士健的那本

关于这部分简直是Halmos的翻版。还有本不错的书就是Dudly的

《Real Analysis and Probability》，因为这本书后面就是讲

Probability的，因此前面测度与积分的部分应付后面的Probability足

够了。当然，你也可以参考前面Real Analysis部分的教材，比如

Rudin《Real and Complex Analysis》与Royden，他们抽象测度与

积分讲的还是不错的，其中Rudin证明Radon-Nikodym则是基于

L^2空间的Rieze-Representation Theorem，是基于分析的，跟其

他基于Measure-Decomposition的不一样。

个人建议：这门课跟Real Analysis是重复的，如果你学了前者，

你只需要再补一下Measure Theory常用的证明技巧，比如Dynkin老

先生的“PI－Lamda Theorem”，还有所谓的“Good Set-Bad Set”

技巧等就没什么问题了；如果你不想花那么多的时间来搞Real

Analysis，那么你可以学这门课，Bartle国内没有，我觉得可以用

Halmos，Rudin的测度与积分部分，Halmos，或者再加上Royden。

这门课掌握了，如果你什么时候需要多一点的Analysis，你可以把上

面Real Analysis的教材拿来，只看你不知道的就好了。

1.4：Fourier Analysis（Classic）

Fourier Analysis真的很重要的，记得有人称之为”Queen of

Mathematics”,因为数学中无数的重要思想都来在于对这个领域的研

究。它跟PDE那是紧密相连；Probability里面的Characteristic

Function就是一个Fourier Transform；Time Series的Spectrum就

是Auto-covariance Function的Fourier Transform；统计与计量中

讲Empirical Characteristic Function作为进行Specification Test的

基本工具，还有好多好多例子说明它在不同领域中的应用。

不过这门课很少单独作为一门课被讲解，我是从前面的1.2 Real

Analysis与后面要介绍的Wavelet Analysis两门课中各学了一半算是。

Classic的Fourier Analysis主要是研究Fourier Series 展开与Fourier

Transform成立的条件，主要推荐的书为Stein & Shakarchi 的

《Fourier Analysis：An Introduction》这是Princeton Lecture

Notes In Analysis的第一本，也是大师Stein的主要工作领域（他的

名著的调和分析三部曲想必很多人知道），看看这本书的前言你就可

以了解为什么Fourier Analysis这么重要。不过这本书是基于

Riemann积分的，因为前面的Fourier Series与Fourier Transform

讲的深度有限，毕竟现代的结果都是在Lebesgue积分下得到的，但

是这本书给出了Finite Fourier Transform在Number Theory里面的

应用，让你的视野一下子就开阔了很多。这本书我是从头读到尾的，

每个定理的证明都认真推导过。基于Lebesgue积分的Classic Fourier

Analysis的主要推荐则是Katznelson著名的《An Introduction to

Harmonic Analysis》，经典的结果都在里面，当然Rudin的第4章

的一部分，第9章以及Folland的第6，7章都是很好的介绍。Pinsky

的《Introduction to Fourier Analysis and Wavelets》的Fourier

Analysis写的也很好，不过我有点Follow不了他的证明，有时候太简

略了觉得。

最后说一下，这里讲的都是比较经典的结果。现代的Fourier

Analysis理论（现在都叫Harmonic Analysis了），包括Littlewood-

Paley以及Calderon-Zygmund theory，真是是太难了，我在学

Wavelet Analysis时本来想试着去学一点，因为Wavelet有一块理论

基础要基于这些，结果后来实在学不下去，只好就此放弃了。当然我

现在觉得我需要用的东西也不需要学这么深入的东西，所以想想心里

就舒服多了，自我安慰还是很好的

个人建议：以Stein & Shakarchi，与Katznelson为主，这至少

需要一个学期，如果你不想花那么多时间，那么先看Stein &

Shakarchi，然后再读Rudin与Folland的相关章节，最后以

Katznelson跟Pinsky作为参考，遇到不明白的到这里来找，这样应该

就OK了，其实我就是采取的后一种策略，当然这跟我学过Rudin与

Folland有关系。

1.5:Complex Analysis

这门课我想说的不多，这里本科有个Honors Course for

Complex Analysis,然后Math PHD的Core Course 也包括Complex

Analysis，显然后者比前者要理论的多，前者计算多一点，后者理论

比较多，甚至包括Riemann Mapping Theorem的证明，但是就我看

到的来说，感觉本科的就够用了对Econ来说，因此学到什么程度依大

家的喜好来定可以。

前者的参考书可以用Brown & Churchill《 Complex Variables

and Applications》，Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》，

也即Princeton Lecture Notes In Analysis的第二本的前面两章。后

者的参考书可以用Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》后半

部分，Rudin《Real and Complex Analysis》的后半部分，当然经典

的Alforos的《Complex Analysis》也是上上只选。我当时学

Complex Analysis上的是Graduate Course，用的是后面这几本，以

Stein & Shakarchi为主要教材（这本书习题答案网上找得到），遇到

不会的就去另外两本上找，其中关于Residual 的计算主要是靠

Alforos上的内容。老师讲的飞快，一个月就把前面相当于本科复变函

数的部分讲完了，后面讲了很多非常理论性的东西，比如Riemann

Manifold的东西，听得我很晕。

个人建议：我自己觉得如果你本科是数学系的或者学过复变函数

在国内，那么应该不用再学这个课了，足够用了。如果没学过的，建

议修这门课，毕竟至少Time Series里面很多东西都是Complex

Varariable的，实际上我自己正在写一个Paper，里面Estimator的

Asymptotic Distribution服从Complex Normal Random Variable。

另，这些书在国内都有英文影印版，省钱啊

1.6:Basic Functional Analysis:

Functional Analysis我打算分开两部分讲，因为做不同方向的人

需要是不一样的我觉得。我所在的学校Functional Analysis是有两个

课，一个是与前面有重复的叫做Applied Functional Analysis，另外

一个是Advanced Functional Analysis，是比较深的理论。本部分讲

第一个。这个课的内容就是基本的Functional Analysis内容，主要是

为那些Engeering，Statistics，Finance，Operation Research专业

的学生设计的，Math PHD学生是不会上这个的，因为大部分内容他

们都在前面的Real Analysis里面学过，除了一点Compact Operator

Theory或者至多再加上一点Generiazed Function Theory。也就是

说，这个课内容主要是Banach Space, Hilbert Space, Compact

Operator,以及Generalized Function Theory.前面两部分都是Real

Analysis里面的内容，后面分别属于Operator Theory与Fourier

Analysis。这学期我们系两个在做Finance，Decision theory的比我

高一级的哥们就在上这个课。

主要的参考书是Friedman《Foundation of Modern Analysis》，

这本书写的真是太好了，看起来很舒服，证明写的很全很清楚。其实

我没有上这个课，我上的是后面的Advanced Functional Analysis，

但是因为后面这个课也讲Compact Operator与Generalized

Function Theory,而且两门课老师是一个人，因此我找了这本书看

个人建议：Friedman这本书国内好像没有影印版，但在网上好像

有电子版。有一本很好的替代教材，而且是中文的，那就是夏道行先

生的，这本书跟Friedman那本书讲的内容深度几乎没什么差别，我

觉得这是我看过的中文数学书里面写的最好的一本了，真的是很

好

1.7:Advanced Functional Analysis:

这是一门数学系的高级课程，好多来修这门课的都是二年级的

Math PHD学生。我是这个学期上的，内容是Topological vector

spaces.，Banach algebras.，The spectral theorem for bounded

and unbounded operators.，Compact operators ，Semigroups

of operators。从内容你就可以看出难度来相信。其实我觉得这门课

应该改名叫算子理论，因为主要是讲各种算子以及谱理论。虽然这门

课很难，但这是我这学期上的最舒服的一门课了，原因是老师真的是

讲的太好了。上课从不看Notes，那么难的定理，不单Intuition讲的

明白，而且证明都可以边讲边推。我刚开始以为他还很年轻，因为他

老是充满了精力。后来我的朋友告诉我，他已经76了，很快就要退休

了，真是令人惊叹不已，不得不服。这门课没有Final Exam，所有的

学生轮流讲最后两章也即Compact operators与Semigroups of

operators的内容。结果轮到我的时候正好是Hille-Yosida定理的证

明，别人都只需要讲一节课，而我却两节课还差点没讲完，不过

Professor安慰我说，我多给你加几分，然后冲我幽默一笑，真是有意

思。这门课快结束的时候，班上的学生都觉得挺依依不舍的，毕竟一

起钻研了这么多Crazy定理的证明，也算是共患过难了。还有小插曲

一个：班上一个罗马尼亚的学生问我汉语跟韩语的区别，我立马跟他

说，韩语以前不是语言，只能说，不能写，写都是写中文，他觉得很

惊讶。班上其实有个韩国女生，化妆之后挺PP的（但不知道化妆前啥

样），不过那天她好像不在。管不了这么多了，一定得给他们普及常

识，别再让汉语韩国造这种白痴的说法恶心了！！发现跑题了，书归

正传，我们上课用的是老师自己写的Leture Notes，参考教材是

Rudin的《Functional Analysis》（被称作Adult Rudin），另外

Zimmer的一本薄薄的与Lax《Functional Analysis》写的也是很棒的，

可以用来作为参考。

个人建议：如果你做的方向不是用特别深的随机过程理论，这些

就不必要学了，学好前面的Basic Functional Analysis就好了。我学

这个是因为我可能想做点Continuous Time Stochastic Process的估

计与检验，而这里面的Semi-group of operators是研究Continuous

Time Markov Process的一个重要工具。如果要学的话，Adult Rudin

与Lax国内都有英文影印版，不过基础一定要好，这样才能学明白，

而且不至于耗费你大量的时间。

1.8：Wavelet Analysis

首先声明，Wavelet学不学看你是否需要它。我学这个是因为我

要做的东西需要Wavelet这个工具。Wavelet是近十几年才发展起来，

但是因为它的应用极为广泛，而且相对于Fourier Transform有着

Space Localized的优势，从而成为很多领域的重要的工具，比如

Signal Analysis, Numerical Solution for Differential Equations,

Nonparametric Estimation，甚至现在Econometrics 里面都有了很

多的应用。

我是这学期上的这个课，课程是为高年级的Undergraduate设计

的，但其实应该算是Graduate的课才对，因为其中很多证明虽然不讲，

说可以Take It As Granted，但是如果你把太多的东西当作Given，那

就合着什么都没说。学这个的基础至少为前面的1.6 Basic Functional

Analysis与1.4 Fourier Analysis，要不然很多你东西你根本不知道怎

么回事。我上课用的课本为Frazier, 《An Introduction to Wavelets

Through Linear Algebra》，说是Introduction跟用Linear Algebra，

其实根本不行，所以这本书的Title很具有诱惑性，不过这本书好处在

与将Finite的情形讲的特别清楚，从而不至于使你迷失在无限维空间

的众多的公式之中，忘记了身处何方，而且毕竟你要用Wavelet，肯

定用的都是Finite近似Infinite的情形，所以还是很好的。顺便提一

句，这是我这学期四次Presentation中的第一次，巨紧张无比当时，

幸亏前天晚上对着我学文科的LP一通猛讲，进行了提前训练（估计她

才不Care我讲的啥，只是当看耍猴了），才使得第二天Presentation

不至于出丑，不过经过这么一次，现在对任何Presentation都没什么

畏惧感了，毕竟如果你在讲那么你就是专家，所以没什么可担心的。

其他比较好的参考书有前面提到过的Pinsky，Hernandez 与

Weiss 的《A First Course on Wavelets》，Wojtaszczyk的《An

Mathematical Introduction to Wavelet Analysis》，至于著名的

Daubechies的《Ten Lectures on Wavelets》，我看还是算了吧，书

太难了，如果你不是搞数学的，看这个感觉没什么必要。

个人建议：我只知道Pinsky的书国内有影印版，其它的可能没有，

不过Pinsky的书写的足够用了我觉得，把它看明白了，做点Econ里

的应用应该是可以了。别的书大家可以试着在网上搜索，应该可以找

得到。

1.9：ODE&PDE:

这个我没什么可说的，因为我自己还没正式上过课，只是在国内

的时候自己浏览了一下一本中文教材，丁同仁的《常微分方程》。我

下一年有可能去修这个Sequence，第一学期ODE，第二学期PDE。

它们是比较有用的，不论对做Macroeconomics还是Finance的来说，

因为Optimization问题解出来是一个ODE或者PDE，而且PDE 与

Brownian Motion紧密相连，同时ODE则是Stochastic Differential

Equation的Intuition基础。这方面的书我还没读，虽然我知道一些

经典的书，但是因为我没读过，所以我就不推荐了！有兴趣的兄弟姐

妹去网上查查可以。

2：Geometry&Topology:

这个Field里面我只说一下Point-Set Topology，因为更深的比

如Algebraic Topology 跟 Differential Topology一是我没学过，二

是我感觉经济学里对这些东西的应用都集中在General Equilibrium里

面几乎，早被Arrow，Debreu那时代的大师们做的很深入了，好像很

少有人号称自己做General Equilibrium了现在。不过可笑的是，国内

竟然有连基本的数学知识都很贫乏的人竟然号称自己做General

Equilibrium理论，真是滑天下之大稽。

Point-Set Topology我没上过课，由于我一学期毕竟精力有限，

必须要上的已经将Schedule添的满满的了，实在没办法再上了，即使

勉强去听，没时间做题，没有长时间的认真思考，也学不到什么东西。

因此我选择了在来美后的第一个Summer自学。不过因为第一年我在

修Real Analysis已经将很多基本概念都熟悉了，而且最重要的是

Topology在Analysis里面的应用大概都接触到了，从而使得我在自

学时并不感到迷茫，并没有“为什么提出这些概念”，“这些概念有

什么用”，“什么样的Intuition”这样的问题，从而速度快了很多，

而且理解的也更深刻一些。即使是这样，也花了整整一个Summer三

个月的时间才算是学完，我用的是Munkres的，这本书我不得不说真

的是写的太好了，概念清晰，证明思路清楚完整，尤其一些比较重要

的定理的证明，都有相关的图形辅助，直观明了，绝对是一本经典之

作。值得一提的是，这本书前面的Set Theory讲的尤其的好，毕竟我

们不是做数学的，Set Theory我们不需要知道的太多，但是这本书的

Set Theory讲的比我们需要知道的深一些，但是直观清楚，读透了这

个就不需要再看任何Set Theory的东西了，够你一辈子用的了，如果

你做Econ而不是数学的话。我自己是讲这本书Point Set Topology

的部分每一部分都认真读过，证明都过了至少一遍，重要的定理（比

如Urysohn’s Lemma, Tynchonoff Theorem）反复看过几遍，课后

几乎每一道习题我都尝试过，因为我比较幸运的找到了这本书课后习

题的答案，因此做完后有地方可以对照一下是否自己做的对，思路是

什么样的。其实我是在网上搜到了一个Course Webpage，好像是荷

兰一个大学的，这个Course用的就是Munkres，布置的习题都是这

上面的，上面有习题的Solution。当我刚开始想下载时，就出现网页

错误，于是我就Email问那个Professor。结果人家很快回信告诉我网

页错误他已经改过来了，可以下载Solution，并说如果有问题可以发

信问他，真的是太Nice了。这个对我的帮助可以说是巨大无比。当然，

在学这本书的时候我也不断回去看Rudin的《Real and Complex

Analysis》，Folland, Royden，其实后两本都有算是比较全的

Topology的章节。通过不断回去读这些，我对Topology的应用，概

念的由来感觉掌握的更加牢固，毕竟这些书是分析的书，在写

Topology部分时都比较着重于跟在分析中有用的Topic，比如

Complete Metric Space, Function Space，Ａrzela-Ascoli定理等，

这些Topic在Analysis都有着极为核心的作用，因此掌握它们是必要

的。

最后为了说明学这门课的重要性，我说一下Point Set Topology

的应用，在分析里的就不用说了，如果你是做计量理论的，那么你一

定知道Limit Theory的重要性，也就是各种各样LLN，CLT定理。其

中用的很多的一个方法就是Embedding，比如极为重要的CLT for

Matingale Difference Sequence，而这个方法基于的就是讲

Stochastic Process看作一个从时间到一个Function Space的映射，

在这个基础下来证明Weak Convergence，著名的Billingsley的

《Weak Convergence of Probability Measure》整本书就是讲这个，

我相信想做计量的人一定都知道。而这只是A tip of Iceberg，后面非

常多的东西都基于这个，比如统计Asymptotic Theory里面的

Empirical Process，Stochastic Process里面的Convergence，等等。

所以Point-Set Topology我个人认为还是很重要的，当然专门学，只

是在相关的课程里面学一下基本内容也是可以应付的，但是对于我自

己来说，每次学不同的东西都要来一点Topology中新的东西很痛苦，

索性我就一次搞定，再无后患了。不过这纯粹个人习惯。

个人建议：学这门课以Munkres为主要教材，一定要从头学到尾，

课后习题尽量都做掉，除了个别怪异的，然后经常翻翻Rudin，

Folland, Royden等等，以对其有更加透彻的了解。

3：Algebra

3.1：Linear Algebra

如前面的个人背景介绍，我个人对Linear Algebra的基本概念与

运算是很熟悉的，但是来到美国之后才发现，其实自己所学的仅相当

于这里数学系Undergraduate第二年的Linear Algebra，而对

Honors Course for Linear Algebra里面很多理论的东西则并不知道。

实际上，这正是偏计算与偏理论型Linear Algebra课的区别，一个简

单的例子就是，前者将矩阵看作一个数据表，而后者将矩阵作为一个

Linear Operator。据我所知，国内除了数学系一年的高等代数课外，

其他系所教的Linear Algebra应该都是一学期而且主要注重于计算的，

理论部分的讲解并不深。即使是国内数学系一年的课，拿北大数学系

那本《高等代数》，理论的深度跟这个Honors课也是存在差距的，

比如Spectral Theorem那一块，深浅程度差别是很大的。

为什么要学这些理论部分呢？想想泛函分析里讲的是什么，那不

恰恰正是矩阵代表的有限维线性空间上线性算子在无穷维空间上的推

广么我当初在国内学泛函分析的时候，老是对有些概念如Dual

Space，有些技巧比如用一个线性空间上的所有线性泛函来刻画这个

线性空间，等等很多东西觉得很茫然，感觉不到从哪儿来的。而实际

上，这些概念都是Linear Algebra相应概念的推广，只是因为泛函里

是无限维空间所以我们需要考虑Topology的问题，而Linear Algebra

里则是有限维空间，上面所有的Topology都是等价的，因此我们不在

Linear Algebra里面考虑Topology，只有Algebra的相关概念而已。

这个课我学了两次，第一次是来美的第一个学期，当时上这个

Honors的课，大概到了学期一半的时候，因为Econ的课考试太多

（两次期中，一次期末），再加上我还上了巨难无比的Real Analysis，

最后不得不放弃掉；然后上个学期，我又从上次自己停下的地方接着

开始听，算是把这门课完整学了一遍。上课教材是Curtis 《Linear

Algebra: An Introductory Approach》，写的非常好，前面从Chp1

到Chp6相对来说还比较容易对付，后面从Chp6到Chp9则是精华部

分，理论讲的很深，证明也必须反复琢磨，题目要多做，这样才能理

解深刻。而且很多Abstract Algebra的东西都在这里穿插讲解，比如

Group，Ring，Linear Algebra等等。其中关于那些Decomposition

Theorem（Jordan，Rational等等）的证明，是基于了Linear

Algebra（一个线性空间再加上一些乘法性质）的概念。而Linear

Algebra在泛函里的推广，则是著名的Banach Algebra，它就是无限

维空间里Spectral Theorem证明的基础。还有一本著名的教材是

Hoffman&Kunze的《Linear Algebra》，写的更Comprehensive一

些。

个人建议：Curtis国内有影印版，可以以这本书为主，将其做透，

习惯尽量全做，如果有兴趣可以看一下Lang 的，国内也有影印版，不

过比Curtis的书要简单。

3.2：Abstract Algebra

这门我没什么可说的，我自己没去上过课，关键是其在Econ里面

不象Analysis那么重要。Abstract Algebra的概念我一部分是在

Linear Algebra里面学到的，一部分是自己就读了一本薄薄的中文教

材张禾瑞《近世代数基础》，再参考了一下Rotman的《 A First

Course in Abstract Algebra》。 我见到过的Abstract Algebra是在

Functional Analysis里面Banach Algebra跟Semi－Group算是一

点，另外的是在Fourier Analysis里面有抽象的Fourier Analysis在

Locally Compact Hausdorff Group空间上，算是将Topology跟

Algebra里面的Group概念结合起来，其实这些都是对n维欧式空间

的推广。关于这门课我自己也还没决定是否去修，因为以现在我见到

的来看，除了我上面所说的Abstract Algebra的东西，好像进一步的

深入不是很必要。所以，有时间有精力愿意学的就去学，如果你象我

一样，不是那么有时间，我觉得自己读一下张禾瑞的《近世代数基础》

大概了解一下就好了，如果感觉不是很清晰，可以再看一下Rotman，

感觉这样就足够了。

未完待续。。。