2021年考研数学一真题及答案解析

2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学〔一〕试题

一、选择题：18小题，每题4分，共32分。以下每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

．．．(1)设函数f(x)在,内持续，其中二阶导数f(x)的图形如以下图，那么曲线yf(x)的拐点的个数为 ( )

(A)

0 (B)

1 (C)

2 (D)

3

【答案】〔C〕

【解析】拐点出此刻二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，而且在这点的左右双侧二阶导函数异号。因此，由f(x)的图形可得，曲线yf(x)存在两个拐点.应选〔C〕.

(2)设y( )

(A)

a3,b2,c1

(B)

a3,b2,c1

(C)

a3,b2,c1

(D)

a3,b2,c1

【答案】〔A〕

【分析】此题考察二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——解来确信微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比拟等式两边的系数可得待估系数值，另一种是依照二阶线性微分方程解的性质和构造来求解，也确实是下面演示的解法.12x1e(x)ex是二阶常系数非齐次线性微分方程yaybycex的一个特解，那么

23

【解析】由题意可知，12x1e、ex为二阶常系数齐次微分方程yayby0的解，因此232,1为特点方程r2arb0的根，从而a(12)3，b122，从而原方程变成y3y2ycex，再将特解yxex代入得c1.应选〔A〕

(3) 假设级数an1n条件收敛，那么

x3与x3依次为幂级数nan(x1)n的

n1( )

(A) 收敛点，收敛点

(B) 收敛点，发散点

(C) 发散点，收敛点

(D) 发散点，发散点

【答案】〔B〕

【分析】此题考察幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。

【解析】因为an1n条件收敛，即x2为幂级数a(x1)nn1n的条件收敛点，因此a(x1)nn1nnn的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故na(x1)n1的收敛区间仍是(0,2)。因此x3与x3依次为幂级数nan(x1)n的收敛点，发散点.应选〔B〕。

n1 (4) 设D是第一象限由曲线2xy1，4xy1与直线yx，y域，函数fx,y在D上持续，那么1sin212sin23x围成的平面区fx,ydxdy ( )

D(A)

d34frcos,rsinrdr

(B)d341sin212sin21sin212sin2frcos,rsinrdr

frcos,rsindr

(C)

d34(D)

d341sin212sin2frcos,rsindr

【答案】〔B〕

【分析】此题考察将二重积分化成极坐标系下的累次积分

【解析】先画出D的图形，

因此f(x,y)dxdyd3D41sin212sin2f(rcos,rsin)rdr，应选〔B〕

1111bd， (5) 设矩阵A12a，那么线性方程组Axb假设集合1,2，14a2d2有无穷多解的充分必要条件为 ( )

(A)

a,d

(B)

a,d

(C)

a,d

(D)

a,d

【答案】D

111【解析】(A,b)12a14a211111d01a1d12d00(a1)(a2)(d1)(d2)，

由r(A)r(A,b)3，故a1或a2，同时d1或d2。应选〔D〕

222 (6)设二次型fx1,x2,x3 在正交变换为xPy 下的标准形为2y1y2y3 ，其中Pe1,e2,e3 ，假设Qe1,e3,e2 ，那么fx1,x2,x3在正交变换xQy下的标( )

222(A)

2y1y2y3

222(B)

2y1y2y3准形为

222(C)

2y1y2y3

222(D)

2y1y2y3

【答案】(A)

22【解析】由xPy，故fxTAxyT(PTAP)y2y12y2.且

y3200PTAP010001.

100QP001PC010

200QTAQCT(PTAP)C010001

22因此fxTAxyT(QTAQ)y2y12y2。选〔A〕

y3(7) 假设A,B为任意两个随机事件，那么 ( )

(A)

PABPAPB (B)

PABPAPB

(C)

P(AB)【答案】(C)

【解析】由于ABA,ABB，按概率的大体性质，咱们有P(AB)P(A)且P(AB)P(B)，从而P(AB)PAPBP(A)P(B) (D)

PAB

22P(A)P(B)，选(C) .

2 (8)设随机变量X,Y不相关，且EX2,EY1,DX3，那么EXXY2

( )

(A)

3 (B)

3 (C)

5 (D)

5

【答案】(D)

【解析】E[X(XY2)]E(XXY2X)E(X)E(XY)2E(X)

D(X)E(X)E(X)E(Y)2E(X)222

32221225，选(D) .

二、填空题：9(9)

lim14小题,每题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．lncosx_________.

2x0x1【答案】

20【分析】此题考察型未定式极限，可直接用洛必达法那么，也能够用等价无穷小替换.

0sinxln(cosx)cosxlimtanx1.〔罗比达法那么〕 【解析】方式一：limlimx0x0x0x22x2x21x2ln(cosx)ln(1cosx1)cosx121.〔等价无穷小替方式二：limlimlimlimx0x0x0x0x2x2x2x22换〕

(10)

sinx(21cosxx)dx________.

2π2【答案】

4【分析】此题考察定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简.

2sinx【解析】2xdx22xdx.

0421cosx(11)假设函数zz(x,y)由方程