初中数学各种公式及定理

2024年3月16日发(作者：数学试卷第八题)

初中数学各种公式及定理

1． 乘法与因式分解

①(a

＋

b)(a

－

b)

＝

a

2

－

b

2

；

②(a±b)

2

＝

a

2

±2ab

＋

b

2

；

③(a

＋

b)(a

2

－

ab

＋

b

2

)

＝

a

3

＋

b

3

；

④(a

－

b)(a

2

＋

ab

＋

b

2

)

＝

a

3

－

b

3

；

a

2

＋

b

2

＝

(a

＋

b)

2

－

2ab

；

(a

－

b)

2

＝

(a

＋

b)

2

－

4ab

。

2． 幂的运算性质

①a×a

＝

a

⑥a

-n

＝

mnm+n

a

＝

a

；

②a÷

mnm-n

a

n

a

n

；

③(a)

＝

a

；

④(ab)

＝

ab

；

⑤()

＝

n

；

b

b

mnmnnnn

1

()

-n

＝

()

n

；

⑦a

0

＝

1(a≠0)

。

n

，特别：

a

3． 二次根式

①()

2

＝

a(a≥0)

；

②

＝丨

a

丨；

③

＝

×

；

④

＝

(a

＞

0

，

b≥0)

。

4． 三角不等式

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；

加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别

为向量a和向量b）

|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ；

|a-b|≥|a|-|b|

；

-|a|≤a≤|a|

；

5． 某些数列前n项之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n

2

；

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)； 1

2

+2

2

+3

2

+4

2

+5

2

+6

2

+7

2

+8

2

+…+n

2

=n(n+1)(2n+1)/6；

1

3

+2

3

+3

3

+4

3

+5

3

+6

3

+…n

3

=n

2

(n+1)

2

/4

；

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

；

6． 一元二次方程

对于方程：

ax

2

＋

bx

＋

c

＝

0

：

bb

2

4ac

①

求根公式是

x

＝，其中

△

＝

b

2

－

4ac

叫做根的判别式。

2a

当

△

＞

0

时，方程有两个不相等的实数根；

当

△

＝

0

时，方程有两个相等的实数根；

当

△

＜

0

时，方程没有实数根．注意：当

△≥0

时，方程有实数根。

②

若方程有两个实数根

x

1

和

x

2

，则二次三项式

ax

2

＋

bx

＋

c

可分解为

a(x

－

x

1

)(x

－

x

2

)

。

③

以

a

和

b

为根的一元二次方程是

x

2

－

(a

＋

b)x

＋

ab

＝

0

。

7． 一次函数

一次函数

y

＝

kx

＋

b(k≠0)

的图象是一条直线

(b

是直线与

y

轴的交点的纵坐标，称为截距

)

。

①

当

k

＞

0

时，

y

随

x

的增大而增大

(

直线从左向右上升

)

；

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1

②

当

k

＜

0

时，

y

随

x

的增大而减小

(

直线从左向右下降

)

；

③

特别地：当

b

＝

0

时，

y

＝

kx(k≠0)

又叫做正比例函数

(y

与

x

成正比例

)

，图象必过原点。

8． 反比例函数

反比例函数

y

＝

(k≠0)

的图象叫做双曲线。

①

当

k

＞

0

时，双曲线在一、三象限

(

在每一象限内，从左向右降

)

；

②

当

k

＜

0

时，双曲线在二、四象限

(

在每一象限内，从左向右上升

)

。

9． 二次函数

（1）.定义：一般地，如果

yax

2

bxc(a,b,c

是常数，

a0)

，那么

y

叫做

x

的二次函数。

（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①

a

的符号决定抛物线的开口方向：当

a0

时，开口向上；当

a0

时，开口向下；

a

相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于

y

轴（或重合）的直线记作

xh

.特别地，

y

轴记作直线

x0

。

（3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

函数解析式

yax

2

yax

2

k

ya



xh



2

开口方向 对称轴 顶点坐标

（0,0）

(0,

k

)

(

h

,0)

(

h

,

k

)

b4acb

2

(

，

)

2a4a

x0

（

y

轴）

当

a0

时

开口向上

当

a0

时

开口向下

x0

（

y

轴）

xh

ya



xh



k

2

xh

b

x

2a

yaxbxc

2

（4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法

b4acb

2

b



4acb

2



2

（，）

①公式法：

yaxbxca



x





，∴顶点是，对称轴是

2a4a

2a4a



2

直线

x

b

。

2a

2

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为

ya



xh



k

的形式，得到顶点为(

h

,

k

)，对称轴是直线

xh

。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点

是顶点。

(x

2

,y)

（及y值相同）

若已知抛物线上两点

(x

1

,y)、

，则对称轴方程可以表示为：

x

x

1

x

2

2

2

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