2024年4月16日发(作者：陇南二诊2023数学试卷)
教 案
教学基本信息
课题
学科
教材
数学
排列组合综合应用
学段：高中 年级 高二
书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3 （B版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：2007 年 4 月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.明晰正确的计数方法，熟练掌握排列组合两种计数模型，熟练运用两种模型解决实
际问题.
2.以具体问题为载体，通过观察、尝试、分析的方法，培养学生有序、全面地思考的
习惯.
3.在学习过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，感受数学与实际生活的联系，
体会数学的实用价值与魅力.
教学重点、难点：
重点：明晰正确的计数方法，熟练掌握排列组合两种计数模型.
难点：灵活运用两种模型解决实际问题.
教学过程(表格描述)
教学环
节
知识回顾：
主要教学活动
1.排列：
从
n
个不同的元素中，任取
m(mn)
个元素按照
一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同的元素中取出
m
表示.
m(mn)
个元素的一个排列，排列的个数用
A
n
n!
m
n(n1)(nm1)
公式：
A
n
(nm)!
2.组合
从
n
个不同的元素中，任取
m(mn)
个元素组成
一组，叫做从
n
个不同的元素中取出
m(mn)
个元素
设置意图
复习引
入
m
的一个组合，组合的个数用
C
n
表示.
公式：
C
n
m
n!
(nm)!m!
A
n
m
3.关系：
C
m!
m
n
复习排列、组合及其
计算公式，为后面做
铺垫
例、4个人排成一列，有多少种排法？
例、从4个人中选3个人排成一列，有多少种排法？
例、从5名运动员中，选取两人参加比赛，有多少种
选法？
432
答：
A
4
，
A
4
，
C
5
例1 3名志愿者到2个不同的地方参加义务种
树，则每个地方都有志愿者的方案共有多少种？
我们首先分享一个经典的错误解法，思考一下他
错在哪？
21
C
2
321212
.
错解：
A
3
2
A
3
指的是从三名志愿者中选出两人，因为两个
通过分析错误解法，与
正确解法做对比，加深
学生对两组计数方法
的理解，使学生明晰正
确的计数方法
对于较为复杂的计数
问题，可以采用先组合
再排列的方法
地方不同，要考虑顺序.剩下的这名志愿者，两个地
1
方挑一个所以是
C
2
，采用分步计数乘法原理，得到
21
C
2
了
A
3
这个式子.
例题
但事实上先选甲丙，再排乙，也可以先选乙丙，
21
C
2
这两种情况都符合
A
3
.所有情况都算了两遍.
21
A
3
C
2
正解：
2
也可以先选人分组，再排序，先从三个人里挑出
两个人，形成两组，再排到两个地方，把两步相乘：
22
C
3
A
2
6
.
例2 从3名男医生，2名女医生中选2名医生组
成医疗小分队，求小分队中有女医生的组队方案有多
少种？
通过两种不同的方法，
感受直接法与间接法
2
医生的情况.
2
名女医生就都被选到有
C
2
种，如果是
这两种解决计数问题
的基本方法
一男一女，则男医生有
3
种选法，女医生有
2
种选
11
法，一共
C
3
C
2
，再把这两种形况加在一起.
112
解：
C
3
C
2
C
2
3217
采用不同方法解决问
抛开题目中有女医生的这个要求，其实计算出两
题可以作为检查的一
个人都是男医生的情况，作为一种检查手段.也可以
种手段
用总的情况减去两名男医生的情况.
22
C
3
1037
另解：
C
5
例3 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体
重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个
项目的测试，且上午不测“握力”，下午不测“台
阶”.其余项目上、下午都各测试一人.若每位同学
上、下午各测试一个项目，且不重复，则有多少种不
同的安排方式？
上午测试4个项目，4名学生4个项目没有任何限
4
制，有
A
4
种.下午可以使用罗列枚举得到共有11种.
4
所以总共有
A
4
11264
种.
也可以先考虑上午选择台阶测试的同学，因为这一同
学较为特殊，下午的测试项目没有限制，所以可以分两
类，下午测握力，或不测握力.如果测握力，上午测肺
活量的同学有两种选择，选择完之后，另外两个同学就
特殊元素优先原则
定下来了.如果不测握力，那么有3种选择方法，而这
三种地位是相同的，研究清楚其中一种，最后结果乘以
3即可.不妨先选肺活量，此时肺活量的同学有3种选
法，他选定之后后面的同学就被唯一决定了，此时一共
有3种选法.所以这一类共有9种选法，加上之前的2
种，下午有11种方法。
可以用两名女医生的情况加上一名男医生一名女
例4 用1,2,3,4,5中的数字组成5位数，并按要求计
算出符合条件的五位数的个数.
问题一 1不在万位且各数位数字无重复.
直接法：
1
C
4
先排1：种.
再排其余数：
直接法和间接法再次
体现了直接求解和正
4
有
A
4
种.
难则反是解决问题的
基本思想
14
A
4
96
种. 所以总共有
C
4
间接法：
总的情况
A
5
5
，不符合要求的是
1
在万位，另外四
再次体会特殊元素优
4
54
A
4
96
个数全排列有
A
4
种.所以符合要求的有
A
5
先原则
种.
问题二 各数位的数字无重复，并且1与2相邻，1与
3不相邻.
罗列枚举：将12捆绑，再选择3的位置
罗列枚举使问题更容
易入手
2
36
种. 一共有
(26+32)A
2
直接法：核心是先排特殊元素
1,2,3
.
12
相邻，
2
可
以与
3
相邻，也可以与
3
不相邻.与
3
相邻就把
123
或
3
加上顺序，所以是
2A
3
.再考虑
1
与
2
捆绑
321
捆绑，
之后的整体与
3
不相邻，所以从
4,5
造的三个空中选
2
两个放入
12
和
3
这两组数，有顺序，所以是
A
3
，
1,2
再次强化了直接法和
间接法的使用
可以调换顺序，
4,5
可以调换顺序，乘在一起
22322
A
3
2
A
2
A
2
，两种情况再一加就是
2A
3
A
3
2
A
2
A
2
36
.
捆绑和插空是处理相
间接法：核心是从总的情况中减去不符合要求的情
况，
1
与
2
捆绑看做一个整体，把这12,3,4,5或
4
21,3,4,5这4组数排列，一共是
2A
4
.再减去
1
与
3
邻或不相邻问题基本
的计数方法，应熟练运
用
相邻的情况，把312,4,5或213,4,5这3组数排列
343
2A
3
36
一共是
2A
3
.所以是
2A
4
通过今天的学习，希望同学们能够明晰正确的计
总结
数方法，熟练掌握排列组合两种计数模型，为解决实
际问题做好充足的准备.
让学生通过小结，反
思学习过程
1.有甲乙丙三项任务，甲需要两个人承担，乙、丙各需
要一个人承担，从10个人中选派4个人承担这三项任
务，有多少种选法？
作业
4211
C
4
C
2
C
1
2520
解：
C
10
2.某教师一个上午有三个班的课，每班一节，如果
上午只能排4节课，且教师不能连上3节，那么这
位教师上午的课表有多少种可能的排法？
3
12
解：
2A
3
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