浅谈在数学教学中对学生进行“分类讨论”思想的培养

2024年4月17日发(作者：超级全能生北京数学试卷)

浅谈在数学教学中对学生进行“分类讨论”思想的培养

在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能

情况，难以统一解答，就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以

讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种解题方法叫做分类讨论

法。 要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合

性和探索性，既能全面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力。

分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是逻辑划分思想在解决数学问

题时的具体运用。它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有

利于培养学生严谨、求实的科学态度。

那么，怎样才能使学生掌握好初中数学中的分类讨论思想呢？

明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类时要条理分明，做到分

类讨论既不重复也无遗漏。这是解答初中数学中分类讨论问题的基本

方法。在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法。运

用分类讨论方法解题的关键就是分辨清楚讨论的动因与讨论的方法，

就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框架确定了，解题

就严密完整、叙述就条理分明。

在初中阶段分类讨论一般有如下几种情况：

一、根据某些数学概念的定义进行分类

在初中阶段的教学内容中，一些数学概念的定义，如有理数的建

立，绝对值的化简，一元二次方程ax

2

+bx+c=0(a≠0)根的判别式，两

圆的五种位置关系等等……，都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及到

分类讨论思想的概念，教师在讲授这些概念时要准确、科学，要让学

生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握．

二、根据字母的不同取值进行分类

对于具体问题，如函数、方程、不等式中的解、求代数式的值等，

它们随着题中所给字母的不同取值而变化，这时要对字母的取值进行

讨论。

例1：当m=________时，函数y=（m+5）x

2m-1

+7x-3（x≠0）

是一个一次函数。

分析：（m+5）x

2m-1

可能是一次项或常数项，也可能m+5=0，

因此，分三种情况讨论：

（1） 2m-1=1；m=1

（2） 2m-1=0；m=

（3） m+5=0； m= -5

只有抓住了分类讨论的动因，把握住了分类的标准，才能做到分

类时条理清楚、标准一致，在解答问题时就不会重复或遗漏，保证解

题的准确率．

三、根据某些定理或公式的限制条件进行分类

例2：已知：等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的

长度的一半，则其顶角为 ．

分析：这个等腰三角形的高的位置可能在其内部或外部，这条高

等于该三角形某一条边的长度的一半，某一条边又可分为底边或腰两

种情况，所以要对高在三角形的内部或外部以及高是底边或腰的长度

的一半进行分类讨论，最后得出顶角为30o、120o或150o．

四、根据运算性质的适用范围或运算的特殊规定而分类

例3： 已知：（a -b）

2006

= 1，（a+b）

2007

= -1，试求

a

2006

+b

2007

的值．

分析：由（a - b）

2006

= 1，得a -b =1或-1；由（a+b）

2007

= -

1，得a+b = -1

因此要分两种情况进行求解：

a-b =1 a -b = -1

或

a+b= -1 a+b= -1

所以a

2006

+b

2007

的值为1或 – 1．

五、当条件或结论不唯一时进行分类讨论

在笔者的多年教学中发现，这种情况是学生感到最困难的，在复

习中，要作为分析和训练的重点．

例4： 等腰三角形的两角之差为30O，求该三角形的各内角的度