几何分布的期望与方差

几何分布的期望与方差

康永清

高中数学教科书新版第三册（选修II）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E1p1，（2）D，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。

p2pp，知 （1）由P(k)qk1Ep2pq3q2pkqk1p(12q3q2kqk1)p

下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。记

Sk12q3q2kqk1

qSkq2q2(k1)qk1kqk

两式相减，得

(1q)Sk1qq2qk1kqk

1qkkqk

Sk21q(1q)由0p1，知0q1，则limq0，故

kk12p3q2kqk1limSkk11

22(1q)p从而E1

pa1(|q|1)（见教科书91页阅读材料），推导如下：

1q也可用无穷等比数列各项和公式S

记S12q3qkq2k1

qSq2q2(k1)qk1

相减，

(1q)S1qq2qk11

1q则S11

22(1q)pnn1还可用导数公式(x)\'nx，推导如下：

12x3x2kxk1

x\'(x2)\'(x3)\'(xk)\'(xxxx)\'x(1x)(x))\'1x(1x)2

1(1x)2(上式中令xq，则得

23k

12q3q2kqk111

(1q)2p222（2）为简化运算，利用性质DE(E)来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。可见关键是求E。

2E2p22qp32q2pk2qk1p

p(122q32q2k2qk1)

对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：kq

2k1(kqk)\'，并用倍差法求和，有

122q32q2k2qk1

(q2q23q3kqk)\'

q(1q)22(1q)q[]\'(1q)2(1q)41q1q2p(1q)4(1q)3p322

则Ep(2p2p2p121p22)DE(E)()2 ，因此322ppppp利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。

例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D。

解：每次从袋内取出白球的概率p52，取出黑球的概率q。的取值为1，2，3，……，77有无穷多个。我们用k表示前k－1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此

25P(k)qk1p()k1()(k1,2,3,)。可见服从几何分布。所以

77E17

p551p714

D2525p()271

例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0

解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。

若k(k1,2,,9)，则表明他前k1次均没击中目标，而第k次击中目标；若k＝10，

则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为k1(1p)p(k1,2,,9)P(k)

9(1p)(k10)E1(1p)0p2(1p)p9(1p)8p10(1p)9

[12(1p)9(1p)8]p10(1p)9

用倍差法，可求得

12(1p)9(1p)8

1(1p)99(1p)921(1p)[1(1p)]1(1p)9(1p)pp299

1(1p)99(1p)91(1p)109所以E[

]p10(1p)2ppp说明：本例的试验是有限次的，并且P(10)(1p)，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。但求解过程可参照相关公式的推导方法。

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