全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(4)

2024年3月27日发(作者：2022韶关模拟数学试卷)

　　加试模拟训练题（4）

　　1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延

长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

　　2、设是满足的正实数，试证：

　　3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的

其他人．

　　4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

　　加试模拟训练题（4）

　　1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延

长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆.

　　分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM.

　　欲证M，N，P，Q四点共圆，须证

　　MK·KN＝PK·KQ，

　　即证(MC′-KC′)(MC′+KC′)

　　＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′)

　　或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①

　　不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2.

　　故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)

　　=KC′2-KB′2. ②

　　由②即得①，命题得证.

　　2、设是满足的正实数，试证：

　　证明：

　　令

　　由均值不等式可知：

　　所以

　　另证：令

　　则

　　而

　　故

　　3、 有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的

其他人．

　　【证】 将十个人表示为十个点，视对应的人相识或不相识而用红或蓝线段连结每对点．

　　已知所得的图中没有红色三角形，要证明图中有4个点，每两点之间的连线为蓝色．第一种情况：至少有4条红线由

A点引出．设AB、AC、AD、AE为红线．由已知B、C、D、E中没有两点是用红线连结的，故B、C、D、E即为所求．第二种

情况：至多有3条红线由A点引出．即A至少与6个点用蓝线相连，设为B、C、D、E、F、G．若B用红线连接C、D、E、F、

G中3个点，不妨设为C、D、E，则A、C．D、E即为所求．若B至多与C、D、E、F、G中2点用红线相连，则B至少与其中3点

用蓝线相连，不妨设BC、BD、BE为蓝线．C、D、E中至少一对用蓝线相连，例如CD是蓝线，则A、B、C、D即为所求．

　　4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

　　解：通过逐次计算，可求出关于的最小非负剩余（即为被11除所得的余数）为：

　　因而通项为的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的周期数列：

　　3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，………

　　类似地，经过计算可得的数列的项的最小非负剩余构成周期为10的周期数列：

　　7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，………

　　于是由上两式可知通项为的数列的项的最小非负剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的周期数列

：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………

　　这就表明，当时，当且仅当时，，即；

　　又由于数列的周期性，故当时，满足要求的只有三个，即

　　从而当时，满足要求的的和为：

　　.