开平方的公式法

2024年4月18日发(作者：数学试卷讲评课亮点)

开平方的公式法

开平方是高中数学中的一项重要内容，也是数学竞赛中必不可少

的一部分。开平方的公式法是一种快速而简便的方法，能够帮助我们

快速地求出一个数的平方根。下面我们来详细地介绍一下这种方法。

一、平方根的定义

在介绍开平方的公式法之前，我们先来了解一下平方根的定义。

对于任意一个非负实数a，其平方根是指另一个非负实数x，使得x

的平方等于a。即：

x = a

这里的x就是a的平方根。需要注意的是，平方根只有在a为非

负实数时才有意义。如果a是负数，那么它的平方根就是一个虚数。

二、开平方的公式法

开平方的公式法是一种快速求平方根的方法，它的基本思想是将

一个数分解成一个平方数和一个余数的和。具体来说，我们可以将一

个数a分解成：

a = b + c

其中b是一个整数，而c是一个小于b的非负整数。这样，我们

就可以将a的平方根表示为：

√a = b + √c / b

这个式子就是开平方的公式。通过这个公式，我们可以快速地求

出一个数的平方根。下面，我们来看一下具体的操作步骤。

1. 将待开方的数a分解成一个平方数和一个余数的和。

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2. 找到一个整数b，使得b小于等于a，且b+1大于a。

3. 计算余数c，即c=a-b。

4. 将开平方的公式代入，即可得到a的平方根。

下面我们通过一个例子来说明一下具体的操作步骤。

例：求√123456789的值。

1. 首先，将待开方的数123456789分解成一个平方数和一个余

数的和。我们发现，123456789可以分解成111111+123456。因此，

我们可以将123456789写成：

123456789 = 111111 + 123456

2. 接下来，我们要找到一个整数b，使得b小于等于a，且b+1

大于a。对于这个例子，我们可以取b=111111。

3. 计算余数c，即c=a-b=123456-111111=-1415。

4. 将开平方的公式代入，即可得到√123456789的值：

√123456789 = 111111 + √(-1415) / 111111

注意到这里的余数c是一个负数，因此√c是一个虚数。我们可

以将√(-1415)表示为2i√3535，其中i是虚数单位。因此，我们可

以将√123456789表示为：

√123456789 = 111111 + 2i√3535 / 111111

这就是√123456789的值，它是一个复数。

三、开平方的误差分析

开平方的公式法是一种快速而简便的方法，但是它也存在一定的

误差。这个误差主要来自于余数c的计算。具体来说，如果我们使用

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一个不够精确的方法来计算余数c，那么最终得到的平方根也会存在

一定的误差。

为了减小误差，我们可以使用更加精确的方法来计算余数c。例

如，我们可以使用长除法来计算√a的小数部分，从而得到余数c的

值。这样可以减小误差，提高计算精度。

四、总结

开平方的公式法是一种快速而简便的方法，能够帮助我们快速地

求出一个数的平方根。通过分解待开方数的方法，我们可以将平方根

表示为一个整数和一个虚数的和。这种方法不仅能够提高计算速度，

还能够锻炼我们的思维能力。因此，我们在学习数学的过程中，应该

多加练习，掌握这种方法，提高自己的数学能力。

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