数学_2022年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷(含答案)

2024年3月6日发(作者：3年级竞赛数学试卷)

2022年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷

一．选择题（共6小题）

(ᵆ−1)2−1(ᵆ≤3)1. 已知函数ᵆ={ ，则使ᵆ＝ᵅ成立的ᵆ值恰好有三个，则ᵅ的值为2(ᵆ−5)−1(ᵆ>3)（ ）

A 0 B 1 C 2 D 3

2. 如果|ᵆ−ᵄ|＝ᵄ−|ᵆ|(ᵆ≠0, ᵆ≠ᵄ)，那末√ᵄ2−2ᵄᵆ+ᵆ2−√ᵄ2+2ᵄᵆ+ᵆ2=( )

A 2ᵄ B 2ᵆ C −2ᵄ D −2ᵆ

3. ᵄ，ᵄ，ᵅ为有理数，且等式ᵄ + ᵄ√2 + ᵅ√3 = √5 + 2√6成立，则2ᵄ+999ᵄ+1001ᵅ的值是( )

A 1999 B 2000 C 2001 D 不能确定

4. 如图，两个反比例函数ᵆ=ᵅ1和ᵆ=ᵅ2（其中ᵅ1>ᵅ2>0）在第一象限内的图象挨次是ᵆᵆᵃ1和ᵃ2，设点ᵄ在ᵃ1上，ᵄᵃ⊥ᵆ轴于点ᵃ，交ᵃ2于点ᵃ，ᵄᵃ⊥ᵆ轴于点ᵃ，交ᵃ2于点ᵃ，则四边形ᵄᵃᵄᵃ的面积为（ ）

A ᵅ1+ᵅ2 B ᵅ1−ᵅ2 C ᵅ1⋅ᵅ2 D

ᵅ1

ᵅ25. 如图，在平面直角坐标系ᵆᵄᵆ中，等腰梯形ᵃᵃᵃᵃ的顶点坐标分别为ᵃ(1, 1)，ᵃ(2, −1)，ᵃ(−2, −1)，ᵃ(−1, 1)．ᵆ轴上一点ᵄ(0, 2)绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ1，点ᵄ1绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ2，点ᵄ2绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ3，点ᵄ3绕点ᵃ旋转180∘得点ᵄ4，…，重复操作挨次得到点ᵄ1，ᵄ2，…，则点ᵄ2022的坐标是（ ）

A (2022, 2) B (2022, −2) C (2022, −2) D (0, 2)

6. 如图，在半径为1的⊙ᵄ中，∠ᵃᵄᵃ＝45∘，则sinᵃ的值为（ ）

A

√2 B

√2−√2 C

√2+√2 D

√2

2224

二．填空题（共7小题）

7. 三个数ᵄ、ᵄ、ᵅ的积为负数，和为正数，且ᵆ=ᵄ|ᵄ|+ᵄ|ᵄ|+ᵅ|ᵅ|+|ᵄᵄ|+|ᵄᵅ|+|ᵄᵅ|，则ᵄᵆ3+ᵄᵄᵄᵅᵄᵅᵄᵆ2+ᵅᵆ+1的值是________．

8. 如图正方形ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃ是ᵃᵃ边的中点，ᵃᵃ与ᵃᵃ相交于ᵃ点，△ᵃᵃᵃ的面积是1，那末正方形ᵃᵃᵃᵃ的面积是________．

9. 如图，点ᵃ1，ᵃ2，ᵃ3，ᵃ4，…，ᵃᵅ在射线ᵄᵃ上，点ᵃ1，ᵃ2，ᵃ3，…，ᵃᵅ−1在射线ᵄᵃ上，且ᵃ1ᵃ1 // ᵃ2ᵃ2 // ᵃ3ᵃ3 // ... // ᵃᵅ−1ᵃᵅ−1，ᵃ2ᵃ1 // ᵃ3ᵃ2 // ᵃ4ᵃ3 // ... // ᵃᵅᵃᵅ−1，△ᵃ1ᵃ2ᵃ1，△ᵃ2ᵃ3ᵃ2，…，△ᵃᵅ−1ᵃᵅᵃᵅ−1为阴影三角形，若△ᵃ2ᵃ1ᵃ2，△ᵃ3ᵃ2ᵃ3的面积分别为1、4，则△ᵃ1ᵃ2ᵃ1的面积为

1 ；面积小于2022的阴影三角形共有________个．

2

10. 你见过像√4−2√3，√√48−√45，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如√4−2√3=√3−2√3×1+1=√(√3−1)2=√3−1．请用上述方法化简：√5+2√6=________．

有六个整数解，则ᵄ的取值范围为________≤3 ．

43(ᵆ−1)<4(ᵆ+1)−312. 小明是一位刻苦学习、勤于思量、勇于创新的同学，一天他在解方程ᵆ2＝−1时，突发奇想：ᵆ2＝−1在实数范围内无解，如果存在一个数ᵅ，使ᵅ2＝−1，那末若ᵆ2＝−1，则ᵆ＝±ᵅ，从而ᵆ＝±ᵅ是方程ᵆ2＝−1的两个根．据此可知：①ᵅ可以运算，例如：ᵅ3＝ᵅ2⋅ᵅ＝−1×ᵅ＝−ᵅ，则ᵅ2022＝________，②方程ᵆ2−2ᵆ+2＝0的两根为________（根用ᵅ表示）

11. 不等式组{23ᵆ−5≤ᵆ−2ᵄ13. 如图，直线ᵃᵃ交双曲线ᵆ=ᵅ于ᵃ，ᵃ，交ᵆ轴于点ᵃ，ᵃ为线段ᵃᵃ的中点，过点ᵃ作ᵆᵃᵄ⊥ᵆ轴于ᵄ，连结ᵄᵃ．若ᵄᵄ=2ᵄᵃ，ᵄ△ᵄᵃᵃ=12，则ᵅ的值为________．

三．解答题（共7小题）

14. 在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、ᵅ00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：

（1）甲校选手所得分数的中位数是________，乙校选手所得分数的众数是________；

（2）请补全条形统计图；

（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或者树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．

15. 若ᵆ1、ᵆ2是关于一元二次方程ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ≠0)的两个根，则方程的两个根ᵆ1、ᵆ2和系数ᵄ、ᵄ、ᵅ有如下关系：ᵆ1+ᵆ2=−ᵄ，ᵆ1⋅ᵆ2=ᵅ．把它称为一元二次方程根与系数关ᵄᵄ系定理．如果设二次函数ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ≠0)的图象与ᵆ轴的两个交点为ᵃ(ᵆ1, 0)，ᵃ(ᵆ2, 0)．利用根与系数关系定理可以得到ᵃ、ᵃ两个交点间的距离为：ᵃᵃ＝|ᵆ1−ᵆ2|=√(ᵆ1+ᵆ2)2−4ᵆ1ᵆ2=√(−ᵄ)2−4ᵅ=√ᵄ2−4ᵄᵅ=√ᵄ2−4ᵄᵅ；

ᵄᵄᵄ2|ᵄ|参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ(ᵄ>0)的图象与ᵆ轴的两个交点ᵃ(ᵆ1, 0)，ᵃ(ᵆ2, 0)，抛物线的顶点为ᵃ，显然△ᵃᵃᵃ为等腰三角形．

（1）当△ᵃᵃᵃ为直角三角形时，求ᵄ2−4ᵄᵅ的值；

（2）当△ᵃᵃᵃ为等边三角形时，求ᵄ2−4ᵄᵅ的值．

16. 如图，在平面直角坐标系中，直线ᵆ=1ᵆ+3与直线ᵆ＝ᵆ交于点ᵃ，点ᵃ在直线ᵆ=221ᵆ2+3上，∠ᵃᵄᵃ＝90∘．抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ过点ᵃ，ᵄ，ᵃ，顶点为点ᵃ．

2

（1）求点ᵃ，ᵃ的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点ᵃ的坐标；

（3）设直线ᵆ＝ᵆ与抛物线的对称轴交于点ᵃ，直线ᵃᵃ交抛物线于点ᵃ，过点ᵃ作ᵃᵃ // ᵆ轴，交直线ᵃᵃ于点ᵃ，连接ᵄᵃ，ᵃᵃ，ᵃᵃ交ᵆ轴于点ᵄ．试判断ᵄᵃ与ᵃᵃ是否平行，并说明理由．

17. 如果方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0的两个根是ᵆ1，ᵆ2，那末ᵆ1+ᵆ2＝−ᵅ，ᵆ1⋅ᵆ2＝ᵅ，请根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于ᵆ的方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0，(ᵅ≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知ᵄ、ᵄ满足ᵄ2−15ᵄ−5＝0，ᵄ2−15ᵄ−5＝0，求ᵄ+ᵄ的值；

ᵄᵄ （3）已知ᵄ、ᵄ、ᵅ满足ᵄ+ᵄ+ᵅ＝0，ᵄᵄᵅ＝16，求正数ᵅ的最小值．

18. 如图，在ᵄᵆ△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ＝90∘，ᵄ是ᵃᵃ边上一点，以ᵄ为圆心的半圆与ᵃᵃ边相切于点ᵃ，与ᵃᵃ、ᵃᵃ边分别交于点ᵃ、ᵃ、ᵃ，连接ᵄᵃ，已知ᵃᵃ＝2，ᵃᵃ＝3，tan∠ᵃᵄᵃ=2．

3

（1）求⊙ᵄ的半径ᵄᵃ；

（2）求证：ᵃᵃ是⊙ᵄ的切线；

（3）求图中两部份阴影面积的和．

19. 如图1，在△ᵃᵃᵃ中，∠ᵃ=36∘，ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃᵃᵃ的平分线ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ．

(1)求证：ᵃᵃ=ᵃᵃ；

(2)如图(2)，过点ᵃ作ᵃᵃ // ᵃᵃ交ᵃᵃ于ᵃ，将△ᵃᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转角ᵯ(0∘<ᵯ<144∘)得到△ᵃᵃ′ᵃ′，连结ᵃᵃ′，ᵃᵃ′，求证：ᵃᵃ′=ᵃᵃ′；

(3)在(2)的旋转过程中是否存在ᵃᵃ′ // ᵃᵃ？若存在，求出相应的旋转角ᵯ；若不存在，请说明理由．

20. 如图1，已知ᵃ(3, 0)、ᵃ(4, 4)、原点ᵄ(0, 0)在抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ (ᵄ≠0)上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）将直线ᵄᵃ向下平移ᵅ个单位长度后，得到的直线与抛物线惟独一个交点ᵃ，求ᵅ的值及点ᵃ的坐标．

（3）如图2，若点ᵄ在抛物线上，且∠ᵄᵃᵄ＝∠ᵃᵃᵄ，则在（2）的条件下，求出所有满足△ᵄᵄᵃ∽△ᵄᵄᵃ的点ᵄ的坐标（点ᵄ、ᵄ、ᵃ分别与点ᵄ、ᵄ、ᵃ对应）

2022年安徽省芜湖市某校自主招生数学试卷答案

1. D

2. D

3. B

4. B

5. B

6. B

7. 1

8. 6

9. 6

10.

√2+√3

11.

1<ᵄ

212. −ᵅ．,1±ᵅ．

13. 8

14. 90分,80分

×60360，

解得：ᵆ＝2，即获得100分的人数有2人．

故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．

（

则两位选手来自同一学校的概率=412=1．

315. 当△ᵃᵃᵃ为直角三角形时，过ᵃ作ᵃᵃ⊥ᵃᵃ于ᵃ，则ᵃᵃ＝2ᵃᵃ．

∵ 抛物线与ᵆ轴有两个交点，

∴ △＝ᵄ2−4ᵄᵅ>0，则|ᵄ2−4ᵄᵅ|＝ᵄ2−4ᵄᵅ．

∵ ᵄ>0，∴ ᵃᵃ=√ᵄ2−4ᵄᵅ=√ᵄ2−4ᵄᵅ，

|ᵄ|ᵄ22又∵ ᵃᵃ＝|4ᵄᵅ−ᵄ|=ᵄ−4ᵄᵅ，

4ᵄ4ᵄ∴

√ᵄ2−4ᵄᵅ=2×ᵄ2−4ᵄᵅ，

ᵄ4ᵄ∴ √ᵄ2−4ᵄᵅ=ᵄ2−4ᵄᵅ，

2∴ ᵄ2−4ᵄᵅ=(ᵄ2−4ᵄᵅ)2，

4∵ ᵄ2−4ᵄᵅ>0，

∴ ᵄ2−4ᵄᵅ＝4；

当△ᵃᵃᵃ为等边三角形时，

由（1）可知ᵃᵃ=√3ᵃᵃ，

2∴

ᵄ2−4ᵄᵅ=√3×√ᵄ2−4ᵄᵅ，

4ᵄ2ᵄ

∵ ᵄ2−4ᵄᵅ>0，

∴

ᵄ2−4ᵄᵅ316ᵄ=，

24ᵄ2∴ ᵄ2−4ᵄᵅ＝12．

16. 由直线ᵆ=12ᵆ+32与直线ᵆ＝ᵆ交于点ᵃ，得

ᵆ=ᵆ{ᵆ=1ᵆ+3 ，

22解得，{ᵆ=3ᵆ=3 ，

∴ 点ᵃ的坐标是(3, 3)．

∵ ∠ᵃᵄᵃ＝90∘，

∴ ᵄᵃ⊥ᵄᵃ，

∴ 直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝−ᵆ．

又∵ 点ᵃ在直线ᵆ=12ᵆ+32上，

ᵆ=−ᵆ∴ {ᵆ=1ᵆ+3 ，

22解得，{ᵆ=−1ᵆ=1 ，

∴ 点ᵃ的坐标是(−1, 1)．

综上所述，点ᵃ、ᵃ的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)．

由（1）知，点ᵃ、ᵃ的坐标分别为(3, 3)，(−1, 1)．

∵ 抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ过点ᵃ，ᵄ，ᵃ，

9ᵄ+3ᵄ+ᵅ=3∴ {ᵅ=0 ，

ᵄ−ᵄ+ᵅ=1ᵄ=1解得，{2ᵄ=−1 ，

ᵅ=02∴ 该抛物线的解析式为ᵆ=12ᵆ2−12ᵆ，或者ᵆ1=2(ᵆ1−2∴ 顶点ᵃ的坐标是(12, −18)；

ᵄᵃ与ᵃᵃ平行．理由如下：

由（2）知，抛物线的对称轴是ᵆ=12．

)21−8．

∵ 直线ᵆ＝ᵆ与抛物线的对称轴交于点ᵃ，

∴ ᵃ(1, 1)．

22设直线ᵃᵃ的表达式为ᵆ＝ᵅᵆ+ᵄ(ᵅ≠0)，把ᵃ(−1, 1)，ᵃ(1, 1)代入，得

22−ᵅ+ᵄ=1{1ᵅ+ᵄ=1 ，

22ᵅ=−13 ，

解得，{ᵄ=23∴ 直线ᵃᵃ的解析式为ᵆ=−1ᵆ+2．

33∵ 直线ᵃᵃ与抛物线交于点ᵃ、ᵃ，

∴ −1ᵆ+2=1ᵆ2−1ᵆ，

3322解得，ᵆ1=4，ᵆ2＝−1．

3把ᵆ1=4代入ᵆ=−1ᵆ+2，得ᵆ1=2，

3339∴ 点ᵃ的坐标是(4, 2)．

39如图，作ᵃᵄ⊥ᵆ轴于点ᵄ．

则tan∠ᵃᵄᵄ=ᵃᵄ=1．

ᵄᵄ6∵ ᵃᵃ // ᵆ轴，点ᵃ的坐标为(1, −1)．

28∴ 点ᵃ的纵坐标是−1．

8把ᵆ=−1代入ᵆ=1ᵆ+3，得ᵆ=−13，

8224∴ 点ᵃ的坐标是(−13, −1)，

48∴ ᵃᵃ=1+13=15．

244∵ ᵃᵃ=1+1=5，

288∴ tan∠ᵃᵃᵃ=ᵃᵃ=1，

ᵃᵃ6∴ ∠ᵃᵃᵃ＝∠ᵃᵄᵄ．

又∵ ᵃᵃ // ᵆ轴，

∴ ∠ᵃᵄᵄ＝∠ᵃᵃᵃ，

∴ ∠ᵃᵄᵄ＝∠ᵃᵄᵄ，

∴ ᵄᵃ // ᵃᵃ，即ᵄᵃ与ᵃᵃ平行．

17. 设方程ᵆ2+ᵅᵆ+ᵅ＝0，(ᵅ≠0)的两个根分别是ᵆ1，ᵆ2，

则：1+ᵆ11ᵆ11ᵆ21ᵆ1ᵆ2=ᵆ1+ᵆ2=−ᵅ，

ᵆ1ᵆ2ᵅ⋅1ᵆ2==1，

ᵅ若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，

则这个一元二次方程是：ᵆ2+ᵅᵆ+1=0；

ᵅᵅ∵ ᵄ、ᵄ满足ᵄ2−15ᵄ−5＝0，ᵄ2−15ᵄ−5＝0，

∴ ᵄ，ᵄ是ᵆ2−15ᵆ−5＝0的解，

当ᵄ≠ᵄ时，ᵄ+ᵄ＝15，ᵄᵄ＝−5，

ᵄᵄ+ᵄ=ᵄ2+ᵄ2=(ᵄ+ᵄ)2−2ᵄᵄ=152−2×(−5)=−47．

ᵄᵄᵄᵄᵄ−5当ᵄ＝ᵄ时，原式＝2；

∵ ᵄ+ᵄ+ᵅ＝0，ᵄᵄᵅ＝16，

∴ ᵄ+ᵄ＝−ᵅ，ᵄᵄ=16，

ᵅ∴ ᵄ、ᵄ是方程ᵆ2+ᵅᵆ+16=0的解，

ᵅ2−4⋅16≥0， ∴ ᵅᵅᵅ2−43≥0，

ᵅ∵ ᵅ是正数，

3−43≥0， ∴ ᵅᵅ3≥43，

ᵅ≥4，

∴ 正数ᵅ的最小值是4．

18. ∵ ᵃᵃ与圆ᵄ相切，

∴ ᵄᵃ⊥ᵃᵃ，

在ᵄᵆ△ᵃᵃᵄ中，ᵃᵃ＝2，tan∠ᵃᵄᵃ=ᵃᵃ=2，

ᵄᵃ3∴ ᵄᵃ＝3；

连接ᵄᵃ，

∵ ᵃᵃ＝ᵄᵃ＝3，ᵃᵃ // ᵄᵃ，

∴ 四边形ᵃᵃᵄᵃ为平行四边形，

∴ ᵃᵃ // ᵃᵄ，

∵ ᵃᵃ⊥ᵃᵃ，

∴ ᵄᵃ⊥ᵃᵃ，

又∵ ᵄᵃ为圆的半径，

∴ ᵃᵃ为圆ᵄ的切线；

∵ ᵄᵃ // ᵃᵃ，

∴

ᵃᵃ=ᵄᵃ，即23ᵃᵃᵃᵃ2+3=ᵃᵃ，

∴ ᵃᵃ＝7.5，

∴ ᵃᵃ＝ᵃᵃ−ᵃᵃ＝7.5−3＝4.5，

∴ ᵄ阴影＝ᵄ△ᵃᵃᵄ+ᵄ△ᵄᵃᵃ−ᵄ扇形ᵃᵄᵃ−ᵄ扇形ᵃᵄᵃ

=1190ᵰ×32×2×3+2×3×4.5−2360

＝3+274−9ᵰ4

=39−9ᵰ4．

19. (1)证明：∵ ᵃᵃ=ᵃᵃ，∠ᵃ=36∘，

∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ=72∘，

又∵ ᵃᵃ平分∠ᵃᵃᵃ，

∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃᵃᵃ=36∘，

∴ ∠ᵃᵃᵃ=180∘−∠ᵃ−∠ᵃᵃᵃ=72∘，

∴ ∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ，∠ᵃᵃᵃ=∠ᵃ，

∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ，ᵃᵃ=ᵃᵃ，

∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ．

(2)证明：∵ ᵃᵃ=ᵃᵃ且ᵃᵃ // ᵃᵃ，

∴ ᵃᵃ=ᵃᵃ；

由旋转的性质可知：∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵃ′ᵃᵃ，ᵃᵃ′=ᵃᵃ′，

∵ 在△ᵃᵃᵃ′和△ᵃᵃᵃ′中

ᵃᵃ=ᵃᵃ{∠ᵃ′ᵃᵃ=∠ᵃ′ᵃᵃ ，

ᵃᵃ′=ᵃᵃ′∴ △ᵃᵃᵃ′≅△ᵃᵃᵃ′，

∴ ᵃᵃ′=ᵃᵃ′．

(3)解：存在ᵃᵃ′ // ᵃᵃ，

理由：由(1)可知ᵃᵃ=ᵃᵃ，所以，在△ᵃᵃᵃ绕点ᵃ逆时针旋转过程中，弧）与过点ᵃ且与ᵃᵃ平行的直线ᵅ交于ᵄ、ᵄ两点，

如图：①当点ᵃ的像ᵃ′与点ᵄ重合时，则四边形ᵃᵃᵃᵄ为等腰梯形，

∴ ∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵃ=72∘，又∠ᵃᵃᵃ=36∘，

∴ ᵯ=∠ᵃᵃᵄ=36∘．

ᵃ点经过的路径（圆

②当点ᵃ的像ᵃ′与点ᵄ重合时，

由ᵃᵃ // ᵅ得，∠ᵃᵄᵄ=∠ᵃᵃᵄ=72∘，

∵ ᵃᵄ=ᵃᵄ，

∴ ∠ᵃᵄᵄ=∠ᵃᵄᵄ=72∘，

∴ ∠ᵄᵃᵄ=180∘−2×72∘=36∘，

∴ ᵯ=∠ᵃᵃᵄ=∠ᵃᵃᵄ+∠ᵄᵃᵄ=72∘．

所以，当旋转角为36∘或者72∘时，ᵃᵃ′ // ᵃᵃ．

20. ∵ ᵃ(3, 0)、ᵃ(4, 4)、ᵄ(0, 0)在抛物线ᵆ＝ᵄᵆ2+ᵄᵆ+ᵅ (ᵄ≠0)上．

9ᵄ+3ᵄ+ᵅ=0∴ {16ᵄ+4ᵄ+ᵅ=4 ，

ᵅ=0ᵄ=1解得：{ᵄ=−3 ，

ᵅ=0故抛物线的解析式为：ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ；

设直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝ᵅ1ᵆ，由点ᵃ(4, 4)，

得：4＝4ᵅ1，解得：ᵅ1＝1

∴ 直线ᵄᵃ的解析式为ᵆ＝ᵆ，

∴ 直线ᵄᵃ向下平移ᵅ个单位长度后的解析式为：ᵆ＝ᵆ−ᵅ，

∵ 点ᵃ在抛物线ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ上，

∴ 可设ᵃ(ᵆ, ᵆ2−3ᵆ)，

又∵ 点ᵃ在直线ᵆ＝ᵆ−ᵅ上，

∴ ᵆ2−3ᵆ＝ᵆ−ᵅ，即ᵆ2−4ᵆ+ᵅ＝0，

∵ 抛物线与直线惟独一个公共点，

∴ △＝16−4ᵅ＝0，

解得：ᵅ＝4，

此时ᵆ1＝ᵆ2＝2，ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ＝−2，

∴ ᵃ点的坐标为(2, −2)．

∵ 直线ᵄᵃ的解析式ᵆ＝ᵆ，且ᵃ(3, 0)．

∵ 点ᵃ关于直线ᵄᵃ的对称点ᵃ′的坐标为(0, 3)．

设直线ᵃ′ᵃ的解析式为ᵆ＝ᵅ2ᵆ+3，此直线过点ᵃ(4, 4)．

∴ 4ᵅ2+3＝4，

解得 ᵅ2=1．

4∴ 直线ᵃ′ᵃ的解析式为ᵆ=1ᵆ+3．

4∵ ∠ᵄᵃᵄ＝∠ᵃᵃᵄ，∴ 点ᵄ在直线ᵃ′ᵃ上，

设点ᵄ(ᵅ, 14ᵅ+3)，又点ᵄ在抛物线ᵆ＝ᵆ2−3ᵆ上，

∴

14ᵅ+3＝ᵅ2−3ᵅ．

解得 ᵅ1=−34，ᵅ2＝4（不合题意，舍去），

∴ 点ᵄ的坐标为(−34, 4516)．

如图，将△ᵄᵄᵃ沿ᵆ轴翻折，得到△ᵄ1ᵄᵃ1，

则 ᵄ1 (−34, −4516)，ᵃ1(4, −4)．

∴ ᵄ、ᵃ、ᵃ1都在直线ᵆ＝−ᵆ上．

过ᵃ点做ᵃᵄ1 // ᵄ1ᵃ1，

∵ △ᵄ1ᵄᵃ∽△ᵄᵄᵃ，

∴ △ᵄ1ᵄᵃ∽△ᵄ1ᵄᵃ1，

∴ ᵄ1为ᵄ ᵄ1的中点．

∴

ᵄᵄ1ᵄᵃᵄᵄ=ᵄᵃ=112，

∴ 点ᵄ451的坐标为(−38, −32)．

将△ᵄ1ᵄᵃ沿直线ᵆ＝−ᵆ翻折，可得另一个满足条件的点到ᵆ轴距离等于ᵄ1到ᵆ轴距离，点到ᵆ轴距离等于ᵄ1到ᵆ轴距离，

∴ 此点坐标为：(4532, 38)．

综上所述，点ᵄ的坐标为(−38, −4532)和(4532, 38)．