数值分析第五版第1章习题答案-李庆扬

第1章

复习与思考题

1、什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？

答：数值分析是研究数值问题的算法，概况起来有四点：

第一， 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法，即算法只能包括计算机能直接处理的加、减、乘、除运算和逻辑运算。

第二， 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，这些都是建立在相应数学理论基础上

第三， 要有好的计算复杂性，时间复杂性是指能节省计算时间，空间复杂性是指能节省计算存储空间，这也是算法要研究的问题，它关系到算法能否在计算机上实现。

要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三个条件外，还要通过数值试验证明是行之有效的。

2、何谓算法？如何判断数值算法的优劣？

答：将连续问题离散化，使得输出数据是原函数在求解区间上的离散点的近似值，就是“数值问题”，求解“数值问题”的各种数值方法就是算法。

判断数值算法的指标是计算复杂性，分为时间复杂性和空间复杂性。

3、列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差和舍入误差的区别？

答：科学计算中的误差的三个来源是：截断误差、舍入误差和模型误差

截断误差是数值计算方法的近似解与模型精确解之间产生误差。

舍入误差是计算机由于字长限制，原始数据在计算机上表示时产生的误差。

4、什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系

答：绝对误差是计算机计算的近似值与模型精确值之间的差值的绝对值

相对误差是绝对误差除以精确值的绝对值，通常使用绝对误差除以计算机计算的近似值的绝对值表示

近似数的有效数字：若近似数第m位有效，而第m+1为无效，则从第m位向前数到X*的第一位非零数字共有n位。就说近似数具有n位有效数字。

此时的近似数的绝对误差不大于第m位的半个单位。即有效数字越多，绝对误差限越小

5、什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定的算法不能使用

答：如果一个算法在计算过程中有舍入误差，而舍入误差在计算过程中不增长，则称此算法是数值稳定的。

通过误差传播是否扩大可以判断算法是否稳定

不稳定的算法，其误差传播是扩大的，导致计算结果不准确，因而不能使用。

6、什么是问题的病态性？它是否受所用算法的影响

答：对于一个数值问题本身，如果输入数据有微小的扰动（即误差），引起输出数据（即问题解）相对误差很大，这就是问题的病态性。

病态问题是数值问题自身固有的，与所用算法无关。但选择算法可以减少误差的危害。

7、什么是迭代法，试利用x^3-a=0，构造计算√