2023年12月27日发(作者：中考数学试卷分析高考)
第一章 日本的中小学数学教育
日本和我国同属东方文化系统，在数学教育方面有不少相似之处，然而近几十年来日本数学教育的改革更多地学习和借鉴了西方的改革思想和经验，并有机地融入自己传统中，形成了自己的特色和优势，受到了世界各国的重视。
1998年12月，日本文部省依据中央教育课程审议会关于各类学校各科教育课程改革的基本精神，公布了新的中小学数学学习指导要领（相当于中国的数学教学大纲），并定于小学和中学从2002年、高中从2003年分别开始实施。新的数学学习指导要领反映了面向21世纪的日本中小学数学教育的基本理念和方向，故意义深远，引人注目。为此，本章将对日本新的小、中、高数学学习指导要领的基本思想和数学课程的目标、内容及教材的特点进行概要介绍与分析，以期对我国数学教育的改革和发展有所启示和借鉴。
一、学制与课程设置
1．学制
6、3、3；义务教育9年。
2．课程设置
（1）小学：国语、社会、算术、理科、音乐、图画手工、家庭、体育。
（3）中学：国语、社会、算术、数学、理科、音乐、美术、保健体育、技术·家庭、外语、德育、课外活动。
二、日本的教师教育
1、大学教育
2、在职教育
3、各种培训
三、日本基础教育数学课程改革的经纬
在战后的几十年中，日本大体上每十年就要对《学习指导要领》修订一次。以《学习指导要领》的修订为基准，可把战后日本基础教育数学课程的变迁过程分为以下6个时期。
1．单元学习时期
1947年3月，日本颁布了新的《教育基本法》和《学校教育法》。同年4月实施新的学制，小学6年，中学3年，高中3年，并实行9年义务教育。同年5月公布了中、小学数学学习指导要领（试行草案），并发行了所谓“单元学习”为中心的教科书。从1948年开始，日本根据文部省学校教育局颁布的《高等学校设置的基准》编制了高中数学教科书，教学科目为解析Ⅰ、几何学、解析Ⅱ。1951年文部省颁布了高中数学学习指导要领（试行草案），在高中又添设了《一般数学》。
单元学习时期中、小学数学教科书的教学内容以生活需要为主，并要求学生能自己去解决问题，本质是以儿童为中心的自学活动，其学习活动为一个所谓解决问题的过程。
与中、小学数学教科书相对照，高中教科书则为纯粹的数学体系，解析Ⅰ为代数；解析Ⅱ为函数、微积分与概率统计；几何为初等几何和解析几何；《一般数学》是利用数学解决现实生活中的问题，可见高中的数学水平是较高的。这是因为教育革新委员会第三次会议对此有所要求，大学方面也要求高中给予较高的数学教育。
2．系统学习时期
1958年日本数学教育已转入系统学习的新时期。
这次改革明确提出以下方针：
①使学生理解数学的概念、原理、法则，并养成应用他们的能力；
②使数学建立体系，使学生理解建立此体系的想法及其意义；
③使学生理解数学的用语和符号的正确使用方法，并据此简洁、明确地表现出数量关系，养成处理它们的能力；
④使学生理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯；
⑤使学生了解对事物的数学的观察方法，和思考方法的意义，并据此养成
对事物的正确处理能力和态度。
系统学习的主要精神，并不是使学生对所学知识在形式上系统的理解，重要的是使学生在心理上进行系统的思考，提高逻辑性的同时，能自己对学习内容作出逻辑的体系，因此，这一时期被称为系统学习时期。
如1960年修订的高中数学学习指导要领中不但明确指出要使学生理解数学的基本概念、原理、法则，并养成应用它们的能力，同时还要使学生理解数学体系的建立和建立此体系的思想方法、意义，理解逻辑思维的必要性，并使其养成建立逻辑体系的能力和习惯，其必修课程《数学Ⅰ》中增加了不等式、空间坐标、数学和论证等内容；在《数学ⅡB》和《数学Ⅲ》中增加了向量和复数平面等内容。这次改革的主要特点是为了面向学生的就职，开设了《应用数学》，它是数学Ⅰ、数学Ⅱ的后继课。
3．数学教育的现代化时期
1964年日本为了了解SMSG的改革情况，请来了E. Moise和D. E. Rickmond两位教授，在东京、京都两地召开了研究会，他们的讲演给日本的数学教育改革起了很大的推动作用。于是、日本于1969年颁布了新的小、中、高数学学习指导要领。
其改革的指导思想是：“目前世界各国数学教育现代化还在进行中，与其在形式上增加新的内容，不如仍用过去的教学内容，用现代数学的新观点来阐述教材，改进教学方法，通过这种办法，向数学教育现代化的目标前进。”
总目标是：“对事物取其数学侧面，养成进行逻辑思维，综合地、发展地考查和应用数学的能力和态度。”
精选了对日常生活、进一步学习以及加强数学理解能力有用的题材作为教学内容，在中学导入了集合的用语和符号；用对应定义函数；强调变换，导入拓扑的基本观点；强调概率和统计。在高中增加了集合和逻辑的内容、向量、矩阵、平面几何的公理结构、计算机程序与框图等新内容。日本和欧美一些国家一样，现代化教材实行的结果，出现了意想不到的恶果。
4．轻松愉快的数学教育时期
1978年，日本在反省了数学教育现代化的若干弊端以后，制定了“轻松愉快”的教育方针：①建立有特色的学校；
②发展个性；
③轻松愉快的学校生活；
④重视劳动。在此方针的指导下，新颁布了小、中、高数学学习指导要领，在要领中强调：“使学生充分理解数学的基本概念和原理，进一步培养学生的数学意识和思考方法。”
在教学内容方面进行了如下的改革：
①恢复了一些传统内容；
②删去了一些新内容，如平面几何的公理结构；
③降低了对某些抽象理论的要求，如降低了对集合与逻辑、代数结构等内容的要求；④有些内容在量上有所减少。
这次修改的高中数学学习指导要领尽管比前次要求降低了，但微积分、概率统计、向量、矩阵等内容基本保持了原来的程度。修改的主要目的是减轻学生的负担，使教材更便于接受，提高教学效果。
5．适应多样化的数学教育时期
80年代中期的临时教育审议会以后，作为基础教育重要内容的中小学课程改革，比以往任何时候都受到重视。针对日本教育面临的偏重学历、过度的考试竞争、青少年心理健康、学校教育的划一化和僵化等一系列问题，临时教育审议会提出教育应朝着尊重个性的方向改革。
日本于1989年对学习指导要领进行了修订，这次修订的着眼点是三个方面：适应高度信息化的社会；适应社会和学生的多样性；适应国际化的时代。
在小学低年级更加重视综合性、体验性的学习；在初中增设了“课题学习”；在高中阶段扩大了选修课的范围和比重等。
如高中数学课程在适应多样化方面，对于那些将来从事的职业几乎不需要用到数学的学生，则只学习数学Ⅰ；对于要升入大学文科系的学生，则学习数学Ⅰ、数学Ⅱ，同时也可选修《数学A》、《数学B》、《数学C》中的部分内容；对于要升入大学理科系的学生则学习数学Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，同时再选修《数学A》、《数学B》、《数学C》中的部分内容。由此可见学生对数学课程有多样选择的可能。
6．面向21世纪的数学教育改革
1996年8月，日本中央教育审议会发表题为《关于面向21世纪的我国教育》
的咨询报告。报告指出，面对今后日益信息化、国际化和科技迅猛发展的、不断变化的社会，教育要注重对学生基本素质和能力——
“生存能力”的培养，即要培养学生自己发现问题、自己学习、独立思考、判断、行动的能力，以及更好地解决问题的能力；培养学生具有健康的身心，自律意识，关心、同情他人的情感和品格以及与他人合作的能力。
该报告强调，今后日本学校教育的基本任务就是培养学生的“生存能力”，必须使教育由注重灌输知识向注重培养学习能力和独立思考能力转变。
因此，要从以下几方面对现有的学校课程进行改革：
①精简那些容易陷入死记硬背的内容，严格筛选基础和基本的教育内容，削减课时；②通过加强课程的弹性化，改善教学方法，创建有特色的学校，推进个性化教育；
③加强道德教育，培养丰富的人格，应重视志愿服务，自然体验等活动，并开展丰富多彩的健身体育运动；
④适应国际理解、信息、环境、志愿服务等综合学习和课题学习的需要，设定“综合学习时间”，各学校可根据实际情况开展有特色的教育活动。
根据中央教育审议会的报告精神，日本教育课程审议会从1996年8月开始，就课程改革的方针、课程体系的构建、学科教育的内容等一系列重大问题进行了研讨，并分别于1997年11月和1998年6月发表了关于教育课程标准改革的中间报告、最终审议报告，并确定了此次课程改革的目标。
课程改革的总目标：培养学生具有丰富的人性和社会性、具有自立于国际社会的日本人的意识；培养学生的学习能力和独立思考的能力；通过开展宽松的教育活动，切实加强基础，充实发展个性的教育；使各个学校能够发挥主动性、创造出有特色的教育。
基于上述课程改革目标，中央教育课程审议会确定了如下的小、中、高数学教育课程改革的基本方针：
（1）通过小学、中学以及高中的教育，使学生掌握关于数量和图形的基础知识和基本技能，在此基础上，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础，使学生认识到数理地考察和处理事物现象的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识、数学思想方法的态度；
（2）为达到上述目标，要重视数学知识和现实生活中各种事物现象的联系，使学生在宽松的环境中，通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，一边体验学习的乐趣和充实感一边进行学习。并且要重视教学内容的改善。
文部省根据上述报告，着手修订课程标准，并于1998年11月颁布了新的学习指导要领，拉开了新一轮课程改革的序幕。下面将围绕日本课程审议会的咨询报告和文部省新颁布的《学习指导要领》，对日本数学教育课程改革的动向、特征及其意义做些分析。
四、日本最新中小学数学学习指导要领
中学数学学习指导要领
根据中央教育课程审议会制定的数学教育课程改革的基本方针，考虑到中学阶段是义务教育，数学与现实生活有着密切的联系，它不仅对人们的日常生活，而且对人类文化和社会发展具有很大的作用。因此，中学时期要使学生有充裕的时间，确实理解和掌握作为国家或社会的一员，在社会上生活所必要的关于数量和图形的基础知识和基本技能，并能积极主动地进行自己发现问题和解决问题的学习活动。
改善的具体要求是：
（1）数与式（代数）：加深对使用字母进行思考的必要性的认识，培养学生积极理解和说明代数式意义的基本能力和态度；
（2）图形（几何）：为了使学生能够积极发现问题和解决问题，要重视论据清楚，论证合理的表达能力和逻辑思维能力的培养，特别是图形的证明；
（3）数量关系（函数、概率统计）：使学生掌握分析事物变化的手段，思考方法以及对随机现象进行正确判断的基础知识和能力；
（4）课题学习：使学生通过自己发现问题，积极主动地解决问题的活动，加深学生对数学思想方法的理解，促进学生思维的发展。
依据上述修订的基本思想，文部省对现行的中学数学教学大纲进行了修订，修订后的中学数学教学大纲从知识和技能、能力、态度和方法等方面提出了中学数学课程的目标要求，包括中学数学课程的总目标和各领域的具体目标。总目标提出了中学数学所要达到的共同目标，各领域的目标则结合知识内容，具体提出
通过完成什么样的学习内容来达到目标，也就是完成目标的途径和方法。
中学数学课程的总目标：“加深学生对数量图形等基本概念、原理和法则的理解，使学生掌握数学的表达方式以及处理问题的方法，提高学生以数理地考察事物现象的能力，并使学生体会到数学学习活动的乐趣和数学思想方法的益处，进一步培养学生发展性地运用数学知识，数学思想方法等的态度。”
新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、重视能力、态度和数学的思想方法的培养。并在此基础上又有所发展，增加了“使学生体会到数学学习活动的乐趣”，突出了对情感体验和学习兴趣的重视。“数学活动学习的乐趣”不是指“数学活动”本身有趣，而是通过数学活动体会到的数学学习的乐趣。学习数学不但要记住公式和法则，更重要的是理解数学结论产生、发展的认识过程，通过具体的观察、操作和实验，归纳、抽象出数学结论的活动和运用数学知识、方法解决身边的事物现象的问题解决活动，使学生体验到发现和创造数学的愉快和学习数学的乐趣，从而提高学生学习数学兴趣和动机，给学生以学习数学的动力。
中学数学的教学内容仍是按年级顺序编排，每年级都包括数和式（代数）、图形（几何）和数量关系（函数与概率统计）三部分内容。但依据中央教育课程审议会的课程改革精神，现行数学教学内容的三分之一被削减或转移到高中。
削减的内容有1年级的平行移动、旋转移动以及对称移动、立体的截面和投影、满足条件的图形；2年级的数的表示法（2进制、近似值）；3年级的平方根表。
转移到高中的内容是1年级的数的集合；2年级的一元一次不等式、三角形的重心、3年级的有理数和无理数的用语、一元二次方程解的公式、圆的部分性质、相似图形的面积和体积的比、球的体积和表面积、资料的整理和标本的调查、各种事物现象和函数。调整后的初中数学教学内容和课时如下表1：
表1 新初中数学教学大纲的教学内容和课时
学
年
一
年
级
二
年
级
三
年
级
教学内容
数与式 图形 数量关系
1、 正负数 1、平面图形 1、正反比例函数
2、 字母和代数式 2、空间图形
3、 一元一次方程
课 时
新 旧
105 105
1、 整式的运算 1、平行线和角 1、一次函数 105 140
2、 二元一次方程组 2、全等三角形 2、概率的初步知识
3、圆
1、平方根 1、相似三角形 1、二次函数
2、多项式 2、勾股定理
3、一元二次方程
105 140
从上面的介绍可以看出，日本中学数学课程改革有以下几个特点：
（1）进一步精简学习内容，使学生在宽松的学习环境中，切实掌握基础知识和基本技能。在上一轮课程改革时,根据科学技术发展和日本学生的实际情况,日本数学课程改革就较大幅度简化了学习内容。这次改革又进一步精简了一些学习内容，较大幅度降低了代数计算等技能要求。
（2）增加了选择性学习。新学习指导要领增加了选修课课时,使课程具有较大的弹性,适合不同学生的需要。提倡选择性学习构成了日本中学数学课程的一大特色。学习指导要领认为,数学课程要安排多种可供学生选择的数学活动。如探究数学的某个内容或者专题、有关数学的实际活动、应用数学的活动、数学史的有关专题等课题学习都可以作为选择学习的内容。学习的程度也应有一定的弹性,在选择性学习中学生可以根据自己的实际情况选择补习、补充、发展、深化等不同程度的学习，使不同发展水平的学生都有收益,有利于学生的个别差异。
（3）重视课题学习（问题解决学习）。
“课题学习”是日本在“问题解决”的影响下，结合本国实际情况提出来的，并于1989年作为中学数学教学内容写进了中学数学学习指导要领（相当中国的数学教学大纲）。现在“课题学习”几乎成为日本中学数学教育的主流，深受广大教师和学生的欢迎。根据日本数学教育学会和教育课程研究委员会对全国教师的调查表明：赞成“课题学习”的约占90％。
1999年，日本新颁布的中学数学学习指导要领更加重视“课题学习”，并在“课题学习”的目的、内容等方面提出了新的要求。因此，本文将结合日本新的
数学学习指导要领，对日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版的中学《数学》教材中的“课题学习”的内容和特点进行介绍和分析，以其对我国中学数学教育的改革和发展有所启示。
一、“课题学习”的目的
日本新的中学数学学习指导要领中指出：“为了促进以学生为主体的学习，培养学生的数学观点和思考方法，要设置将各部分内容综合起来的、和日常生活相联系的课题，通过操作、观察、实验、调查等活动进行课题学习，并要把这种课题学习放在各个年级教学计划的适当位置加以实施。”
从以上这段文字中可以看出，日本在中学数学课程中设置课题学习的目的是多方面的，但主要目的是：促进以学生为主体的学习活动，培养学生的数学观点和思考方法。教育出版株式会社2001年出版的中学《数学》教材中的“课题学习”充分体现了这一点。在这套教材中共有18个课题学习的内容，每个课题学习不但给出了要解决的问题，还处处注意启发学生思考，由浅入深地给出了思考问题的方法。如二年级的“点数和面积问题”：
课文：在图1中，排列着一些横竖间隔都是1cm的点，Ａ，Ｂ是由连接一些点构成的图形，请考察下图中图形Ａ，Ｂ的面积和边上的点、内部的点具有怎样的关系？
· · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · ·
· ·A· · · · · · ·B· · · ·
· · · · · · · · · · · · ·
· · · · ·图1 · · · · · · · ·
（1）图1中的Ａ、Ｂ是两个不规则的图形，可能不太容易思考。请求图2中这些规则图形的面积、边上的点、内部的点，并完成下表1。
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
· ·A· · ·B· · ·C· · ·D· · ·E· · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · ·图2· · · · · · · · · · · · ·
表1
边上的点数
内部的点数
面 积
边上的点数
内部的点数
面 积
A
B
C
D
E
（2）根据图1完成下表2。
A B
由表1和表2很难马上知道图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系。为了容易思考，首先着眼于图形内部的点，按着顺序考虑。
设图形边上的点数为X，图形的面积为Y，
（3）当图形内部有1个点时（如图3），求出图形边上的点数和面积，并完成下表3，找出用X表示Y的关系式；
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · · · · ·
· · · · · · · · · · · · · ·
·A· · ·B· · · ·C· · · ·D· ·图3· ·
表3
边上的点数X
面 积Y
A B
C
D
（4）当图形内部有2个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式；
（5）当图形内部有3个点时，自己画一些图形，象（3）那样列表求出图形边上的点数和面积，归纳出用X表示Y的关系式；
（6）根据前面的考察，当图形内部有N个点时，猜想X与Y的关系式。
（7）在（6）中猜想的关系式是否正确？请用（1）和（2）的结果进行验证。
（8）自己画一些图形，进行验证。
不难看出，从问题到问题，始终注意让学生自己动脑思考，并说明怎样进行思考，使学生学会思考，学会发现问题，学会从特殊到一般、归纳、抽象的思考方法，加深对数学思想方法的理解。在课题解决的过程中，重视通过操作、观察、实验等活动，调动学生学习的主动性，提高学生独立发现问题，主动解决问题的能力。
二、“课题学习”的内容
日本新的中学数学学习指导要领要求在各个年级的数学教学中，都要恰当地进行课题学习。为了配合“课题学习”的实施，2001年日本出版的中学数学教科书都有课题学习的内容，选择的课题分布在中学数学的数式，图形，数量关系（包括函数和概率）几项内容之中。这些课题有的与现代信息技术有关；有的和数学应用有关；有的和数学的模型化、一般化有关；有的和数学美、数学的优越性、趣味性有关。这说明了课题的设置既考虑到了数学的需要又要考虑到教育的需要。在中学《数学》这套教材中设置了18个课题，这些课题可分为以下四类：应用性课题、综合性课题、发展性课题、与数学史有关的课题。
1． 应用性课题
应用性课题是和学生的日常生活密切联系的问题。在解决这类问题的过程中，能够使学生体会到学习的愉快，解决问题的成就感和满足感，提高应用数学的意识。如一年级的“交通流量问题”：
右图是某一地区的道路图，箭头表示通行的方向， A B
在各岔路口交通流量平分，那么通过A地的车辆数和
通过D地的车辆数之间具有什么关系？
（1）如果通过A地是48辆车，那么通过B地、
C地、D地各是多少辆？
（2）设通过A地的车辆数为x，通过D地的车 C
辆数为y，求出x和y之间的关系。
（3）自己画一个道路图，若在各岔路口交通流量 Ｄ
平分，请制作一些问题。 图4
此外还有三年级的“电话线问题”：准备在一个棒球队内部建立电话联系网，为了使教练的想法准确、快捷地通知给38位队员，该怎样建立电话联系网？要注意（1）如果教练自己分别通知所有队员，教练的负担太重，浪费时间。（2）如果按顺序一个人一个人往下传，最后一个人获得的信息未必正确。
日本中学数学教育界十分重视通过这类题目提高学生对数学的关心和兴趣，培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使学生明白用数学处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学用于日常生活的态度，以此达到日本数学课程的目标。
2． 综合性课题
综合性课题是综合运用以前学习的知识、技能和方法能够解决的问题。如“3、4阶幻方阵的求法”等，象上面的“点数和面积问题”，为了求图形的面积和边上的点、内部的点之间的关系，必须综合运用以前学过的几何、函数等知识，具有综合解决问题的能力。
综合性课题一般是综合运用若干个以前学过的内容和方法才能解决的问题，只利用一个领域或一章学过的内容是不能解决的。通过这样的课题学习，可以使学生体会到数学观点和数学思考方法的益处，培养学生综合运用知识、技能和方法解决问题的能力。
3． 发展性课题
发展性课题是对学过内容的深入探讨。把学生关心的、感兴趣的、想进一步思考的问题作为课题，能够加深对所学内容和方法的理解，促进学生对学习内容的一般化和系统化。如学过了三角形的相似之后，教材出现了下面的课题：
线段AB为10cm，在线段AB上取一点C， 图5
使AC=4cm，CB=6cm。分别以AB，AC，CB
为直径作半圆（如图5），红线和蓝线哪个长？ A C B
（1） 根据上面的结论，在任意线段AB上
任取一点C，以AB，AC，CB为一边作等边三角
形或正方形（如图6），考察一下红线和蓝线哪个
长？ A C B
图6
（2）如图7，图中的有4个相似的五边形
请问红线和蓝线哪个长？
通过上面的考察，能说无论有几个相似的 图7
图形，结论都成立吗？
此外还有“求对角线的条数”“勾股定理的证明方法”“火柴棒的问题”等。
4． 与数学史有关的课题
与数学史有关的课题是一些数学史上的著名问题。如“兰德纸草书上的问题”：将100快面包分给5个孩子，各人得到的面包按着一定的数量增加，于是，获得最少的两孩子的面包数之和是获得最多的三孩子的面包数之和的1/7，问5个孩子各获得多少面包。教材不但给出了用列方程组解决该问题的想法，还介绍了古代埃及人的解法，有关数学史的记载和论述紧扣要解决的问题。通过这类问题使学生理解数学与人类的关系，提高学生对数学的兴趣和关心，给学生以学习数学的动力和信心。
综上分析，我们不难体会到日本教材对问题解决及其思考方法的重视。通过这样的课题学习，不但使学生掌握了数学的某些知识，还使学生认识到学习数学的意义，对于培养学生对日常事物进行有条理思考的能力，理解数学的用处等是十分重要。同时，这些课题能活跃学生们的思路，启发学生在课题解决的过程中去寻找条件，尝试探索，发现问题，解决问题，有利于培养以问题解决、探究活动为主的创造能力。
一、中日两国初中几何课程内容难度的比较
如第四章第四节所述，我们将利用课程难度系数，对中日两国义务教育阶段几何课程的内容难度进行比较分析。选取的样本是日本1999年的《指导要领》及相配套的教材《中学数学》，我国2000年《教学大纲》及相配套的人教版数学教材和2001年的《课程标准》及相配套华东版数学教材。
根据第四章第二节课程深度、课程广度和课程时间的计算方法，我们确定了日本几何课程、我国新几何课程和旧几何课程的标准知识点和辅助知识点（参考附录1—1和附录1—2），并对每个知识点的“深度水平”进行逐一鉴定，然后用公式（4.2）计算出课程深度的加权平均数，结果如表5.1所示。
表5.1：中日几何课程内容难度的量化指标
深度水平
难度因素
课程广度
了解
课程深度
理解
掌握
中 国
大纲
171
34.5
30
95.5
深度百分比
中国
深度加权平均
中国
日本 日本
课标 大纲 课标 大纲 课标
日本
133
61.5
12
57
82
19
26
36
20.02 46.61 23.17
17.54 9.02 31.70
2.48 1.99 2.23
55.85 42.86 43.90
灵活应用
11
课程时间
215
2
192
1
114
6.43
1.50 1.21
*百分比及加权平均数的计算按四舍五入精确到小数点后两位。
这里需要说明的是：课程时间的确定。
（1）日本的数学学习《指导要领》明确地规定了初中数学课程的课时数，每年是105课时，三年则是315课时，其中1课时的时间和我国一样是50分钟。在日本教材《中学数学》的编写说明中，规定了每章的课时数，三册共18章，讲授时间为252课时，其中，几何内容占6章，课时数为91课时。这样，我们认为日本初中阶段几何课程的课时数为315×91/252≈114课时。
这个结果，和我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算是相符的。在日本的中考试卷中，一般地，几何题分数占总分的35.5%左右（见下节表5.5），这样就意味着，几何内容的学习时间应占总课程时间的35.5%，即315×35.5%≈112，这个数字比114课时只少了2课时。
（2）我国《课程标准》没有明确规定初中数学课程的课时数，但教育部颁布的《义务教育课程设置实验方案》规定义务教育阶段的数学课程的课时数应占总课时的13%~15%，初中三年的总课时数为3502课时，所以初中数学课程的总课时数在455课时至525课时之间，取其平均值为490课时。在华师版教材的教师用书中[81]，规定了每章的课时数， 6册教材共28章，总课时数为375课时，其中10章是几何内容，课时数为147课时，因此，我们认为《课程标准》下的初中几何课程的学习时间是490×147/375≈192课时。
如果我们按几何内容在中考试卷中所占的比重计算的话，在实验区的中考试卷中，几何题分数占总分的39%左右（见下节表5.5），这样，几何内容的学习时间应为490×39%≈191课时，这个数字比192课时仅少了1课时。
（3）我国2000年的《教学大纲》是在1992年国家教育委员会制订的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》的基础上进行修改的，如在“教学目的”中增加了培养学生的创新意识一类要求，并在“教学中应该注意的几个问题”中加以呼应和强调，此外，还增加了“改进教学测试和评估”一段；在“教学内容和教学要求”中，2000年大纲增加了以下“探究性活动”：长方体和它的表面，镶嵌，这些内容成为初中阶段“研究性课程”的有机组成部分；这份大纲还首次认可教学中“要有适度的开放题”，但没有对课程时间进行修改。根据1992年国家教育委员会颁布的《义务教育全日制小学、初级中学课程计划》的规定[82]，三年制初级中学数学课程的总课时数为500课时，其中，几何课程的学习的时间是215课时，占总课时数的43%。据此，我们认为《教学大纲》下的几何课程的学习时间为215课时。
另外，关于我国《教学大纲》中标有“*”的内容。《教学大纲》的解释是“标有‘*’的内容为选学内容，不属于毕业考试的命题范围，但可作为升学考试的内容。” 由于是升学考试的内容，在中考试题中就会出现。如下面这道吉林省2005年中考试题，就需要用“切
割线定理”求解。因此，这部分内容虽说是选学内容，事实上各个学校都是按必修内容处理的，因此，我们将这些知识也算入了《教学大纲》的知识含量中。
题5·1 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，割线PCB交⊙O于C、B两点，半径OD⊥BC，垂足为E，AD交PB于点F。
(1)求证：PA=PF；
(2)若F是PB的中点，CF=1.5，求切线PA的长。
（1）证明：∵PA是⊙O的切线，A为切点。
∴∠OPA=90
∴∠FAP+∠OAD=900
0BEODFGPA∵OD⊥BC 图1
∴∠DFE+∠D=90
又∵OA=OD
∴∠D=∠OAD
∴∠DFE=∠FAP=∠PFA
∴PA=PF
（2）PA是⊙O的切线，PCB是⊙O的割线，
∴PA=PC·PB
∵F是PB的中点，
∴PB=2PF=2PA
∴∠D=∠OAD
PA=（PA-CF）·2PA=（PA-1·5）·2PA
∴PA-3PA=0
∴PA=3
2220下面，我们根据上述统计的数据先对中日两国初中阶段几何课程的难度因素分别进行比较，然后在利用难度系数进行整体的分析。
（一）课程广度
从表1中可以看到，日本《指导要领》，我国《课程标准》和《教学大纲》及所含有的知识点分别是82个、133个和171个，如图5.1所示。
200
150
100
50
0
教学大纲 课程标准 指导要领
图5.1：中日几何课程广度的比较
从图5.1可以看出，在“课程广度”上，我国《教学大纲》的几何知识含量比《课程标准》的几何知识含量多38个知识点，是日本几何知识含量的2倍多，我国《课程标准》比日本《指导要领》多了50个知识点。
从具体知识上看，中日两国几何课程的基本内容是一样的，都包含平行线、三角形、全等三角形、相似三角形、四边形和圆。但在具体内容上，有较大的差别。
我国的《教学大纲》比《课程标准》多了正多边形与圆、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理等内容；而课程标准则增加了三视图、平移和旋转变换等内容。
和日本的几何课程相比，我国的《课程标准》比日本的《指导要领》多了锐角三角函数、梯形、圆及其性质等内容；然而，在空间图形方面，日本指导要领比我国的《教学大纲》和《课程标准》都多了以下内容：确定平面的条件、直线与平面的位置关系、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定、点到平面的距离、直线与平面平行的定义、两平面的位置关系、两平面垂直的定义、两平面平行的定义、两平面之间的距离、两平行平面与第三个平面相交的交线平行等内容。
（二）课程深度
统计表明，在我国教学大纲、课程标准和日本的指导要领的几何内容中，属于“了解”水平的知识的分别占20.02%、46.61%和22.89%；属于“理解”水平的知识分别占是17.54%，9.02%和32.50%；属于“掌握”水平的知识分别占55.85%、42.86%和43.34%；属于“灵活应用”水平的知识分别是6.43%、1.50%和1.20%，如图5.2所示。
课程深度60%40%20%教学大纲课程标准指导要领0%了解
图5.2：中日几何课程深度的比较
从图中可以看到，在“了解”水平上的，日本《指导要领》中知识点的百分比和我国《教理解掌握灵活应用
学大纲》接近，比我国《课程标准》少了24个百分点；在“理解”水平上，日本《指导要领》中知识点的百分比我国《教学大纲》多了5个百分点，比我国《课程标准》多了13个百分点；在“掌握”水平上，日本《指导要领》中知识点的百分比和我国《课程标准》接近，都比我国《教学大纲》少，少12个百分点；日本《指导要领》和我国《课程标准》很少含有“灵活应用”水平的知识，比我国的《教学大纲》少了5个百分点。
另外，日本《指导要领》、我国《教学大纲》和《课程标准》的课程深度加权平均分别为2.23、1.99、2.48。
综合起来说明，我国《教学大纲》最深，其次是日本的《指导要领》，相对比较，我国的《课程标准》最浅。其原因是我国《课程标准》对知识的要求，“了解”层次的多，“理解”层次的少，从而降低了课程的深度；相反地，我国《教学大纲》对知识的要求，“了解”层次的少，“掌握”层次的多，因此加深了课程的深度。
（三）课程难度系数
根据表5.1的数据，利用第四章定义的课程难度系数公式（4.1），可计算出中日两国几何课程的难度系数：
N（日本）=2.2382α+（1-α）=0.0196α+0.7192（1-α）
1141141331.99α+（1-α）=0.0104α+0.6927（1-α）
192192=0.7192-0.6996α
N（课标）==0.6927—0.6823α
N（大纲）=2.48171α+（1-α）=0.0115α+0.7953（1-α）
215215=0.7953—0.7838α
于是有：
N（日本）—N（课标）=0.7192-0.6996α—（0.6927—0.6823α）
=0.0265—0.0173α>0.0265—0.0173=0.0092>0 （1）
N（大纲）—N（课标）=0.7953—0.7838α—（0.6927—0.6823α）
=0.1026—0.1015α>0.1026—0.1015=0.0011>0 （2）
由（1）和（2）说明，我国《教学大纲》的难度系数和日本《指导要领》的难度系数都比我国《课程标准》的难度系数大。
由于N（大纲）—N（日本）=0.7953—0.7838α—（0.7192-0.6996α）
=0.761—0.842α
若令0.761—0.843α>0，
则0<α<0.904
这说明，当0<α<0.904时，我国《教学大纲》的难度系数比日本《指导要领》的难度系数大。
由于α满足0<α<1，它反映了课程对于“可比深度”或者“可比广度”的侧重程度，
所以若α>0.904，则说明课程太侧重“可比深度”，而正是在这种情况下，日本《指导要领》的难度系数才比我国《教学大纲》的难度系数大。
在这里需要说明的是：我们在前面规定了“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平的权重分别是“1、2、3、4”。如果，我们规定它们的权重分别为“1、1·5、2、2·5”，则我国《教学大纲》、我国《课程标准》和日本《指导要领》的深度加权平均数分别为1·74、1·50和1·62。此时，中日两国几何课程的难度系数分别为：
N（日本）=821.62α+（1-α）=0.0142α+0.7192（1-α）
1141141331.50α+（1-α）=0.0078α+0.6927（1-α）
192192=0.7192-0.7050α
N（课标）==0.6927—0.6849α
N（大纲）=1.74171α+（1-α）=0.0081α+0.7953（1-α）
215215=0.7953—0.7872α
于是有：
N（日本）—N（课标）=0.7192-0.7050α—（0.6927—0.6849α）
=0.0265—0.0201α>0.0265—0.0201=0.0064>0 （3）
N（大纲）—N（课标）=0.7953—0.7872α—（0.6927—0.6849α）
=0.1026—0.1023α>0.1026—0.1023=0.0003>0 （4）
N（大纲）—N（日本）=0.7953—0.7872α—（0.7192-0.7050α）
=0.761—0.822α
若令0.761—0.822α>0，
则0<α<0.926
由（3）和（4）说明，我国《教学大纲》的难度系数和日本《指导要领》的难度系数都比我国《课程标准》的难度系数大；当0<α<0.926时，我国《教学大纲》的难度系数比日本《指导要领》的难度系数大。
这说明，无论“了解、理解、掌握、灵活应用”4个水平权重的赋值是“1、2、3、4”还是“1，1·5、2、2·5”，对各国课程难度系数的影响不大，结论不变。
综上比较说明，日本几何课程的内容“窄而深”，我国新几何课程的内容“广而浅”，我国旧几何课程的内容则“即广又深”，且课程难度系数最大。
日本几何课程的“窄而深”设计模式，体现了21世纪日本数学课程改革的目标，即“精选教学内容，加强基础知识和基本技能的学习，要从为学生今后的学习和生活打基础的原则出发，严格精选教学内容，转变以知识量来衡量学生学力的学力观。”[83]那么，如何保持几何课程的可比广度和可比深度的平衡？几何课程的平衡点是什么？这是几何课程改革的关键问题，也是需要我们进行深入研究的问题。
二、中日两国初中几何课程中习题难度的比较
（一）中日两国数学教材中几何题难度的比较
从上面中日几何课程内容难度的比较看，中日两国初中阶段几何课程的在课程广度、课程深度和课程时间上，有着较大的区别，反映在课程难度系数上也不一样。那么，一个自然的问题是：这种内容上的差异是否反映在教材的习题中呢？换句话说，中日两国初中数学教材中的几何习题难度是否存在差异？有哪些方面的显著差异？因此，我们对日本教材、我国华师版教材和人教版教材中几何内容与各章习题数量进行了统计，结果如表5.2所示。
年级人教版（原大纲）
题
内 容
量
华东版（新课标）
题内 容
量
日 本
题内 容
量
62
51
第一章 线段 角 185 第4章 图形的初步认识 148 第5章 平面图形
75 第6章 空间图形
一第二章 相交线 平行线 173 第8章 多边形
年 第9章 轴对称 70
级
第11章 平行与旋转 58
第三章 三角形
二第四章 四边形
年级
第五章 相似形
第六章 解直角三角形
三第七章 圆
年级
合
计
372 第12章 平行四边形
244 第18章 图形相似
167 第19章 解直角三角形
165 第23章 圆
276 第24章 图形的全等
第27章 证明
第5章 三角形与四边形、圆
58 第4章
平行与全等 61
89 71
57
56
31
389
77
87 第5章 相似形
96 第6章 勾股定理
92 总复习
863 1564
5.2:中日两国中学教材中几何内容与各章习题数量
在统计各章节的题量时，我们采用了以下原则：
1、日本教材在习题的编号上是：大题用①、②、③…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我国华师版教材和人教版教材在习题的编号上是一致的：大题用1、2、3、…编号；小题的编号是（1），（2），（3）…。我们约定，题量按照小题的个数计算。而在小题的层次上，如果有一题多问的，仍按一题记数。
2、这里统计的习题包括中日两国教材中的所有的“例题”、“问”、“问题”、“习题”、“练习题”、“复习题”、“自我测验题”以及以数学问题形式出现的“想一想”、“做一做”、“试一试”和“挑战角”。这些题目所形成的教材习题系统基本上反映了教材对学生的要求，因此，我们可以通过习题系统的综合难度来反映教材的综合深度。
从表5.2中可以看到，在中日两国初中教材中，不仅几何内容在各年级的分配有所不同，试题的数量差异较大。其中，日本教材习题的数量最少，其次是华师版教材，人教版教材的习题量最多，大约比华师版教材多一倍，比日本教材多两倍。这说明在训练强度上，人教版
教材要高于华师版教材，华师版教材高于日本教材。例如，日本教材、华师版教材和人教版教材都含有“相似形”一章，日本教材这一章的习题总量是57题，华师版教材有89题，而人教版教材这一章习题总量却是167题。因此，如果仅仅从数量上看，在同一课题上的训练强度，人教版教材是华师版教材的两倍，日本教材的三倍。
如果说，几何习题的总量可以反映中日两国教材的习题系统在数量上的水平高低，那么，我们希望通过数学题的综合难度去刻画习题系统的质量特征。为此，我们根据第四章表4·2的水平划分，对所取样本中的二年级和三年级教材中的所有几何习题逐一进行了鉴定，并利用公式（4·3）计算每个难度因素的加权平均。其结果如表5.3所示。
之所以选择二、三年级教材中的几何习题进行比较，原因是中日两国初中二、三年级的几何内容基本一致，习题也具有了一定的综合性。在习题数量上，日本这两个年级教材的几何题总数为269道，我国华东版教材是499道，人教版是1224道，分别占各自教材几何习题总量的60%左右，具有一定的代表性。
表5.3：中日教材几何习题各难度因素的量化指标
难度等级水平
因
素
无背景
背
个人生活
景
公共常识
科学情境
识记
探
理解
究
应用
探究
无运算
题 量
中国
人教 华东
1159 452
29
29
7
22
21
4
日本
264
1
3
1
62
193
9
5
110
136
19
4
39
167
63
75
101
百 分 比
中国
人教 华东
日本
加 权 平 均
中国
人教 华东
日本
94.68 90.58 98.14
2.36 4.40 0
1.09 1.15 1.04
2.36 4.20 1.11
0.01 1.64 0
268 171
877 296
62
17
7
25
21.90 34.26 23.04
71.65 59.31 71.74
1.86 1.77 1.84
5.06 1.40 3.34
1.38 5.01 1.85
436 272
655 199
运数值计算
算
简单的符号运算 99 23
复杂的符号运算 34
无推理
推简单推理
理
复杂推理
知1个知识点
识2个知识点
5
35.62 54.50 40.89
53.51 39.87 50.55
1.78 1.52 1.69
8.08 4.160 7.06
2.77 1.02 1.48
216 103
682 315
326 81
275 154
473 209
17.64 20.64 14.49
55.71 63.12 62.08
2.08 1.96 2.07
26.63 16.23 23.42
22.46 30.86 27.88
38.64 41.88 37.54
含3个知识点
量
407 124
69 12
80
13
33.25 24.84 29.97
2.22 1.99 2.11
5.63 2.46 4.83
4个以上知识点
下面，我们就根据上述统计数据首先对五个难度因素分别进行比较，然后在利用数学题的综合难度模型进行整体分析。
1·背景水平
统计表明，日本教材、华东版教材和人教版教材中不涉及实际背景的习题分别占98.14%、90.58%和94.68%；与“个人生活”有关的习题分别占0、4.4%和2.36%；属于“职业与公共常识”的题目分别占1.11%、4.2%和2.36%；属于“科学情境”的习题分别为0 、1.64%和0（见下面的图5.3）。
120%100%80%60%40%20%0%无背景个人生活公共常识科学情境
图5.3：中日教材中几何题在背景水平上的比较
从图中可以看到，日本教材中的几何题基本上属于“纯粹”的数学题；华东版教材与人教版教材相比，几何题在背景水平上有了较大的变化，与学生“个人生活”紧密相关的背景方面和“公共生活”方面比人教版教材的几何题目的百分比都多了2个百分点。
在这里有一个值得注意的现象是，虽然目前世界各国都在提倡所谓的“数学应用”、“课题学习”、“研究性学习”、“跨学科综合活动”，但在日本教材的几何习题中，极少出现以“生活情境”“科学情境”为背景的数学题。 看来，如何在数学课程中设置有意义的“生活情境”、“科学情境”是一个需要进一步研究的课题。
2·
探究水平
统计表明，日本教材、人教版教材和华东版教材中几何题目在“识记”水平上的百分比分别为23.04%、34.26%和21.90%；在“理解”水平上的百分比分别为71.74%、59.31%和71.65%；在“应用”水平上的百分比分别为3.34%、1.40%和5.06%；在“探究”水平上的百分比分别为1.85%、5.01%和1.384%（见下面的图5.4）。
人教华东日本
80%60%人教40%20%0%识记理解应用探究
图5.4：中日教材中几何题在探究水平上的比较
从图中可以看到，日本教材和人教版教材中属于“识记”、“理解”和“探究”水平的几何题的百分比差异不大，只是在“应用”水平上人教版教材比日本教材多了3个百分点；日本教材在“识记”水平上，比华东版教材低了12个百分点，在“理解”水平上高出华东版教材11个百分点；在“应用”水平上高出华东版教材2百分点，而在“探究”水平中，华东版教材则比日本教材多了4个百分点。这说明，日本和我国人教版教材比较重视的是“理解”，而在数学“探究”水平上不如华东版教材。
从具体题目上看，日本教材中属于“探究”水平的题目主要出现“挑战角”、“课题学习”中；我国人教版教材中属于“探究”水平的题目主要出现在“想一想”部分和“探究性活动”中，而极少出现在其他章节的“例题”、“练习”、“习题”部分。相比之下，我国华东版教材中属于“探究”水平的题目较为丰富，几乎所有课题都有涉及，其形式除了数学本身的探究活动外，也出现了许多以现实生活为背景的开放题。
3·
运算水平
统计表明，在日本教材、人教版教材和华东版教材的几何题目中只含有“无运算”题目的百分比分别为40.89%、54.50%和35.62%；含有“数值运算”几何题的百分比分别为50.55%、39.87%和53.51%；含有“简单符号运算”题目的百分比分别为7.06%、4.160%和8.08%；含有“复杂符号运算”题目的百分比分别为1.48%、1.02%和2.77%（见下面的图5.5）。
华东日本
60%40%20%人教华东日本
0%无运算数值运算简单符号运算复杂符号运算
图5.5：中日教材几何题在运算水平上的比较
从图中可以看到，日本教材中“无运算”的习题所占的百分比高于人教版教材5百分点，低于华东版教材14百分点；包含“数值运算”的习题所占的百分比与我国人教版教材接近，高于华东版教材11个百分点；在“简单符号运算”水平上的百分比略低于人教版教材，高于我国华东版教材6个百分点；在“复杂符号运算”水平上，和华东版教材接近，低于人教版教材。综合起来看，我国人教版教材中几何题的“计算量”高于日本教材，日本教材则高于我国华东版教材。
4· 推理水平
从表5.2中可以看到，在日本教材、我国人教版教材和华东版教材的几何题目中，不含有推理成分的习题的百分比分别为14.49%、20.64%和17.64%；含有“简单推理”试题的百分比分别为62.08%、63.12%和55.71%；含有“复杂推理”试题的百分比分别为23.42%、16.23%、26.63%和。如图5.6所示。
70%60%50%40%30%20%10%0%无推理简单推理复杂推理
图5.6：中日教材中几何题在推理水平上的比较
人教华东日本
从图中可以看到，日本教材中不包含推理成分的几何题所占的百分比与我国人教版教材接近，低于华东版教材6个百分点；在“简单推理”水平上，与我国华东版教材接近，高于人教版教材中几何题所占的百分比，相差7个百分点；在“复杂推理”水平上，我国人教版教材中几何题所占的百分比高于日本教材3个百分点，高于华东版教材10个百分点。由此可见，我国人教版教材中几何题的“推理”水平最高，其次是日本教材，华东版教材最低。
华东版教材在推理水平上的降低，主要原因是《课程标准》对几何证明的要求作了明确的规定。其中，可以作为证明依据的除了定义外，只有下面几条定理：
1．一条直线截两条平行线所得的同位角相等；
2．两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行。
3．若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等。
4．全等三角形的对应边、对应角分别相等。
同时，《课程标准》对习题及考试中与证明有关题目的推理难度也通过范例给予了限制。这两条措施在很大程度上制约了华东版教材在推理水平上的要求。而我国《教学大纲》并没有这些限制，教材中除了定义以外，一般以黑体字出现的数学命题都可以作为证明的依据，这些命题在定义的基础上形成了高一层次的逻辑结构，不仅提高了推理的起点，也增加了推理的复杂程度。
除了上述原因外，华东版教材增加了几何的运动、变换和直观推理，在呈现推理的多样性的同时，也降低了演绎推理的要求。
5· 知识含量
统计表明（见下面的图5.7）， 在日本教材、我国人教版教材和华东版教材的几何题中只含有“一个知识点”的习题分别占27.88%、30.86%、22.46%；含有“两个知识点”的习题的百分比分别为37.54%、41.88%、38.64%；含有“三个个知识点”的习题的百分比分别是29.97%、24.84%、33.25%；含有“四个知识点”的习题百分比分别是4.83%、2.46%、5.63%。
60%40%20%人教华东日本
0%1个知识点2个知识点3个知识点
4个以上
图5.7：中日教材中几何题在知识含量上的比较
从图中可以看到，华东教材中有30%左右的几何题只含有“单个知识点”，而日本教材有31%左右的几何题含有“三个以上”的知识点，我国人教版教材有39%的题目含有“三个以上”的知识点。这说明，我国人教版教材在知识的综合程度上比日本教材高，日本教材比华东版教材高。
6·
综合难度
前面我们根据五个难度因素对中日两国教材中几何题进行了比较，为了进一步考察两国教材中几何题的综合难度水平，我们对两国教材中属于各个难度因素的不同水平的几何题目数进行了统计，并利用各水平的等级度量，计算各因素的加权平均。我们把所得的结果汇总成下面的表5.4。
表5.4 中日教材中几何题难度各难度因素的加权平均
教材
日本教材
华东版
人教版
由此，我们便得到了中日教材中几何题难度的如下直观模型：
背景
1.04
1.15
1.09
探究
1.84
1.77
1.86
运算
1.69
1.52
1.96
推理
2.07
1.96
2.08
知识含量
2.11
1.99
2.22
推理背景2.521.510.50运算人教华东日本探究知识量
图5.8：中日教材中几何题综合难度的比较
从图中可以看到，除了在“背景”因素上华东版教材略占优势外，日本教材在“探究”“运算”、“推理”、“知识量”四个因素上高于华东版教材， 低于我国人教版教材。
（二）中日两国中考试题中几何题难度的比较
从2005年开始，中日都有了学习新课程的初中毕业生，因此，我们准备利用“数学题综合难度模型”，对标志初中阶段最终要求的结业考试的试题进行比较，这有助于我们全面了解中日两国初中几何课程情况。
在我们选取的样本中，日本的3份试卷共计有51道试题，其中几何试题为18道；我国3份实验区和3份非实验区的试卷都有71道试题，其中几何试题是29道，具体统计结果见表5.5。
表5.5：中日两国选取样本的统计结果
非实验区
试卷题量
试卷总分
几何题量
几何题总分数
几何题分数百分比
这里需要说明的是：
（1）日本中考数学的时间是50分钟，我国中考数学的时间为120分钟。另外，在统计试卷题量时，我们采取了以下原则：
（2）日本中考试卷在试题的编号上是，大题用1，2，3，……编号；小题的编号是（1），（2），（3），……；我国中考试卷在试题的编号上是，大题用一，二，三，……编号；小题的编号是1，2，3，……。我们约定，题量按照小题的个数计算,而在小题的层级上，如果有一题多问的，仍按一题记数。
从上表可以看到，在日本的中考试卷中，几何试题分数所占的百分比为35%左右；在我国的中考试卷中，无论是课改实验区和非实验区，几何试题分数所占百分比都为39%左右。可见，我国几何课程在中考试题中所占的比重比日本高。
上面只是对中日两国中考试卷中几何试题的数量、分数及其所占的百分比进行了统计，下面我们利用“数学题综合难度模型”对我们所选取的两国中考试卷中的几何试题进行分析，并利用公式（4·3）计算每个难度因素的加权平均。其结果如表5.6。
广东
22
120
9
50
41.6
26
150
10
56
37
25
150
10
60
40
22
120
9
49
40.1
40.1
中 国
实验区
辽宁 贵州 宫城
26
150
10
57
38.5
38
25
150
10
60
40
40
18
100
6
35
33.3
35
辽宁 贵州 广东
日 本
东京 京都
13
100
4
36
30.7
36
17
100
6
35
35.2
35
几何题量百分比 40.1 37.3 40
表5.6： 中日中考试卷中几何题各难度因素的量化指标
题 量
难度
等级水平
因素
非实实验日本
非实实验日本
非实实验日本
验区 区
无背景
背
个人生活
公共常识
景
科学情境
无运算
运
数值计算
简单符号运算
算
复杂符号运算
1个知识点
知
2个知识点
识
3个知识点
量
4个以上知识点
识记
探
究
理解
应用
探究
推
理
根据上述统计数据，我们首先对五个难度因素分别进行比较，然后在利用数学题综合难度模型进行整体分析。
1·
背景水平
从表5.6中可以看到，在日本、我国中国实验区和非实验区的中考几何试题（以后简称中考）中，不涉及实际背景的习题分别占100%、72.41%和82.75%；与“个人生活”有关无推理
简单推理
复杂推理
6
6
14
7
2
0
16
13
5
7
13
6
3
0
18
11
3
2
9
5
0
0
9
7
20.68 17.24 18.75
20.68 24.13 12.5
9 8 5 31.03 27.58 31.25
10 11 6 34.48 37.93 37.5
2.58 2.17 2.41
2
4
1
5
1
2
6.89 3.44 6.25
13.79 17.24 12.5
6 5 4 20.68 17.24 25.00
14 13 6 48.27 44.82 37.5
2.10 1.89 2.06
2
7
3
10
0
5
6.89 10.34 0
24.13 34.48 31.25
2 2 0 6.89 6.89 0
1 3 0 3.44 10.34 0
1.37 1.44 1.00
24 21 16
验区 区
82.75 72.41 100
验区 区
中 国
百 分 比
中 国
加权平均
中 国
48.27 44.82 56.25
2.17 2.14 2.15
24.13 20.68 31.25
6.89 10.34 0
0 0 0
55·17 62.06 56.25
2.45 2.37 2.43
44·82 37.93 43.75
的试题分别占0、10.34%和3.44%；属于“职业与公共常识”的题目分别占0、6.89%和6.89%；属于“科学情境”的试题为0、10.34%和6.89%。如图5.9所示。
120%100%80%60%40%20%0%无背景个人生活公共常识科学情境非实验区实验区日本
图5.9：中日中考几何题在背景水平上的比较
从图中可以看到，中国中考几何试题在实际背景上的变化比日本丰富，日本的中考几何试题基本上属于“纯粹”的数学题。我国课改实验区的中考几何试题与非实验区的中考几何试题相比，在背景水平上有了较大的变化，与学生“个人生活”紧密相关的背景方面比非实验区几何试题的百分比多了7个百分点，在“科学背景”方面比非实验区的几何试题百分比多了3个百分点。如贵州省实验区的2005年中考试题：
题5.2．某同学利用影子的长度测量操场上旗杆的高度，在同一时刻，他测得自己的影子长为0.8m，旗杆的影子长为7m，已知他自己的身高为1.6m，则旗杆的高为（ ）。
题5.3．如下图，现有m、n两堵墙，两个同学分别在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不会被这两个同学发现（画图用阴影表示）。
mnAB
实验区试题“背景”水平的提高，体现了新课程的总目标，即培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境和社会”，学会“数学地思考”，运用数学的知识、方法去分析事物、思考问题。
2· 探究水平
从表5.6中可以看到，日本、我国实验区和非实验区的中考几何试题在“识记”水平上的百分比分别为12.5%、24.13%和20.68%；在“理解”水平上的百分比分别为50%、37.94%
和37.94%；在“应用”水平上的百分比分别为37.5%、27.58%和34.48%；在“探究”水平上的百分比分别为0、10.34%和6.89%。如图5.10所示。
60%40%非实验区实验区日本
20%0%识记
图5.10：中日中考几何题在探究水平上的比较
从图中可以看到，中日两国中考几何题在“理解”水平上差异较大，日本在“理解”水平上，比我国非实验区高8个百分点，比我国实验区高11百分点，而在“识记”水平上，日本比我国实验区低8个百分点，比实验区低12个百分点。这是因为在日本的中考几何题中很少有类似于我国下面的中考几何试题：
题5.4 在半径为1的圆中，120º的圆心角所对的弧长是（ ）；（2005年辽宁省非实验区中考题。）
题5.5．如图1，AB∥DC，AD∥BC，如果∠B =50，那么∠D = 度。（2005年贵州省实验区中考题。）
另外，在“应用”水平上，日本比我国非实验区高7个百分点，比非实验区高出11个百分点；在 “探究”水平上，实验区所占的百分比为10%左右，非实验区所占的百分比为8%，都高于日本。这说明，我国中考试题的“探究”水平已经有了显著的提高，如我国实验区和非实验区的中考试题中，都会有1道或2道类似于下面的开放题：
题5.6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；图9
BCBCBCADADAD理解应用探究
A图1DBC
图9
（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有
组；
（2）请在图9的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的 两条直线有什么规律？（2005年贵州省实验区中考题。）
3· 知识含量水平
从表5.6中可以看到，在日本、各国实验区和非实验区的中考几何试题中，只含有“一个知识点”题目的百分比分别为12.5%、17.24%和13.79%，含有“两个知识点”试题的百分比分别为37.5%、37.93%和34.48%，含有“三个知识点”题目的百分比分别为占31.25%、27.58%和31.03%，含有“四个知识点”试题的百分比分别为18.75%、17.24%和20.68%。如图5.11所示。
40%20%非实验区实验区日本0%1个知识点2个知识点3个知识点4个以上
图5.11：中日中考几何题在知识含量上的比较
从图5.11可以看到，日本中考几何试题中含有“1个知识点”的试题百分比略低于我国实验区，高于我国非实验区；含有 “2个知识”的试题百分比和我国实验区接近，低于我国非实验区5个百分点；含有“3个知识点”的试题百分比和我国非实验区接近，比实验区高出3个百分点；含有“4个知识点”的试题百分比由高到低的排列是我国非实验区、日本、我国实验区。
这样，综合起来，我国非实验区中考几何试题的“知识的综合程度”最高，其次是日本，我国实验区中考几何试题的“知识综合程度”最低。
4·
推理水平
从表5.6中可以看到，在日本、我国实验区和非实验区的中考几何题目中，含有“简单推理”试题的百分比分别为56.25%、62.06%和55.17%；含有“复杂推理”试题的百分比
分别为43.75%、37.93%和44.82%。如图5.12所示。
70%60%50%40%30%20%10%0%无推理
图5.12：中日中考几何题在推理水平上的比较
由此看出，日本和我国非实验区的中考几何试题在“简单推理”水平上，比我国实验区低6个百分点，而在的“复杂推理”水平上比与我国实验区高6个百分点。
综合起来看，日本中考几何试题的“推理水平”和我国非实验区中考几何试题的“推理”水平相近，比我国实验区中考几何试题的“推理” 水平高。
5·
运算水平
从表5.6中可以看到，在日本、我国实验区和非实验区的中考几何试题中，不含有运算成分的试题分别占31.25%、34.48%和24.13%；含有“数值运算”的试题分别占37.5%、44.82%和48.27%；含有“简单符号运算”的试题分别占25%、17.24%和20.68%；含有“复杂符号运算”的试题分别占6.25%、3.44%和6.25%。如图5.13所示。
非实验区实验区日本简单推理复杂推理
运算水平60%40%20%0%算算算运运运号无值号运算非实验区实验区日本符数单简
图5.13：中日中考几何题在运算水平上的比较
复杂符
由此可以看出，我国实验区中考几何题中“无运算”或只包含“数值运算”的题目所占百分比高于日本；而在“简单符号运算”和“复杂符号运算”两个水平上的百分比则低于日本；我国非实验区中考几何试题中“无运算”题目的百分比比日本低7个百分点，在“数值运算”水平上比日本高近10个百分点，在“简单符号运算”水平上比日本低5个百分点。可以看出我国实验区和非实验区中考的几何试题在运算方面比较重视数值运算，而日本则更偏重于符号运算。
6· 综合难度
为了整体地比较日本、我国实验区和我国非实验区中考几何试题的综合难度，我们将表5.6中各难度因素的加权平均值汇总成下表：
表5.7 中日两国中考几何试题各难度因素的加权平均
样本
日本
实验区
非实验区
由此，我们便得到了中日中考几何试题综合难度的如下直观模型：
背景
1
1.44
1.37
探究
2.25
2.24
2.27
运算
2.06
1.89
2.10
推理
2.43
2.37
2.45
知识含量
2.41
2.17
2.58
背景32推理10运算非实验区实验区日本探究知识量
图5.14：中日中考几何题在综合难度上的比较
从图中可以看到，日本中考几何试题的综合难度总体上略低于我国非实验区，高于我国实验区。特别是，在“运算”、“知识量”、“推理”和“探究”这四个因素上都高于我国实验区的中考几何试题，但在“背景”这因素上低于我国实验区，这个结果和我们对中日教材中几何题的比较结果基本一致。这说明，日本中考几何试题和我国非实验区一样，侧重于基本知识与技能的考查，而我国课改实验区的中考几何试题在“实际背景”的变化方面越来越丰富，“开放性试题”、“非常规试题”在我国中考试题中的出现，明显地提高了我
国中考试题的“探究”水平。
另外，从图形的整体态势上看，我国实验区中考几何题在五个因素上，相对比较平衡；而日本和我国非实验区的中考几何试题则明显侧重与“知识量”、“运算”和“推理”这三个因素。当然，这五个因素应当处于一个什么样的“平衡”状态，在这平衡中又如何有所侧重，仍是一个需要研究的课题。
3．中日两国几何课程中“空间图形”的内容
从第四章的研究结果看，日本几何课程的广度不如我国新几何课程和旧几何课程；日本几何课程的深度高于我国新几何课程，低于我国旧几何课程。但在“空间图形”这部分，中日两国确有着截然相反的结果。日本几何课程中有关于空间图形的知识点比我国新几何课程和旧几何课程的知识点都多，具体是多了以下内容：确定平面的条件、直线与平面的位置关系、直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定、点到平面的距离、直线与平面平行的定义、两平面的位置关系、两平面垂直的定义、两平面平行的定义、两平面之间的距离、两平行平面与第三个平面相交的交线平行等内容。
另外，日本几何教材的编排也以培养学生的空间观念为主。在《中学数学》这套教材中，一年级教材的第六章是“空间图形”，讲授的内容是空间两直线位置关系，空间直线和平面的位置关系，空间平面和平面的位置关系，立体图形的构成，立体图形的展开，一些立体的体积和表面积；在三年级讲“平行线分线段成比例定理”时，类比地介绍了“空间平行平面分线段成比例定理”；在“勾股定理”一章，有一节的内容是讲“勾股定理在空间图形中的应用”。
我国新几何课程和老几何课程相比，新几何打破了二维、三维的界线，改变了欧几里德《几何原本》中的公理体系为主线呈现几何内容的处理方式，在初中几何课程中增加了三视图、阴影、中心投影、平行投影等内容。
由此可见，日本几何课程中关于空间图形的内容最丰富，其次是我国新几何课程。心理学认为“想象是人脑对未曾经历过的新事物的形象的反映。想象的新形象，不是凭空产生的，它是以头脑中原有的表象为基础的。……人们的实践活动越丰富，在头脑中唤起的表象越多，想象的形象也就越丰富。”[86]因此，从心理学角度分析，日本几何课程给学生提供了较多的使用空间语言和认识空间图形的实践活动，丰富了学生头脑的空间图形表象，有利于学生空间想象能力的发展。
2．中日两国几何课程中“空间图形”的习题难度
由于中日两国关于空间图形的内容都散落在各自几何课程的不同内容中，很难准确地计算出学习这部分知识的时间，也就无法计算出这部分内容的难度系数，进行内容难度的比较。因此，我们决定只对中日两国教材关于空间图形的习题难度进行比较。
我们对中日两国教材中有关空间图形的习题逐一进行了鉴定，并利用公式（4·2）计算每个难度因素的加权平均。其结果如表6·7所示。
表6·7：中日教材中空间图形习题难度比较
题量（占总习难度因素加权平均
教材 题量的百分背景 探索 计算 推理 知识含量
比）
1.83 1.65 1.89 2.03
日本 65（16.7%） 1
华东版 38（4.4%） 1.12
1.71 1.45 1.56 1.88
人教版 22（1.4%） 1.1
1.80 1.66 1.78 1.97
从统计结果看，日本教材有65道关于“空间图形”习题，占日本教材几何题总数的16.7%；我国华东版教材有38道关于“空间图形”的习题，占教材几何题总数的4.4%；在我国人教版教材中，有22道与空间图形有关的习题，占总几何题数的1.4%。仅仅从数量上看，在空间图形这个课题上的训练强度，日本教材是华师版教材的1.7倍，是人教版教材的3倍。
根据表6·7的统计结果，我们得到了中日两国几何教材中空间图形部分的习题综合难度的直观模型，如图6·2。
推理背景2.521.510.50运算非实验区实验区日本探究知识量
图6·2：中日两国几何教材中空间图形部分的习题综合难度比较
从上图可以看到，日本几何课程中关于空间图形的习题除在“背景因素” 略低于我国华东版教材，“计算因素” 略低于我国人教版教材外，在其他三个难度因素上都比我国教材中空间图形的习题高。
下面几道日本教材和中考中层次不同的习题，可使我们了解到日本几何课程中关于空间图形习题的质量特征。
题6.1 平面P和平面Q平行，能说平面P内的任意条直线都和平面Q平行吗？（相当于华东版教材中的练习题）
题6.2 在右面图1的长方体的表面上，
从顶点A向顶点G拉一条绳子，绳子可过
BC边到G点，也可过CD边到G点，哪
A
5cm
D C
B
3cm
E
9cm
H
图1
种情况下绳子短？请画出展开图进行对比。
（相当于华东版教材中每章后面的复习题）
题6.3 右图2是一个正四棱锥，Q、P
分别是棱OC、棱OD的中点，底面正方形
的边长和棱长都为8cm，请回答下列问题。
（1）求连接AQ、QP、PB所围成的梯
形ABCD的面积。
图2
（2）经过棱锥的侧面，连接A点和C点，
求最短的距离。（三年的总复习题）
题6.4 在右图2的正方体ABCD—EFGH中，
从除了A点的其他7个点中选2个点，在连接这
两个点和A点构成的三角形中，有多少个直角三
角形？（东京都立国立高中2005年入学考试题） 图3
题6.5 如图4，在宽6cm，长15cm的长方形两侧，分别剪去两个直角边为3cm、6cm的直角三角形，剩下的四边形可分割成四个全等的三角形，将四边形沿着虚线对折，构成一个如图4的四面体ABCD，图4中的A、C、D分别是四面体的顶点A、C、D。（日本秋田县2004年公立高中入学考试题）
(1)图4中的α,β,γ各点分别 A α β
是四面体的哪个顶点？
C D γ
图4
A
(2)求出图5的四面体的体积。
B
C
D
图5
O
P Q
D C
A H B
这些层次不同、难度各异的习题，可以使学生从各种角度进行观察、比较，以及研究空间点、线、面的位置关系，鉴别一些几何体的特征，在学生大脑中形成了丰富的空间图形表象，表象越多，空间想象越丰富。
综上分析不难看出，日本初中生之所以空间想象能力的测试成绩高，是与日本几何课程中丰富的空间图形内容和难度不同的习题训练有关的。当然，影响学生空间想象能力发展的因素有很多，如日本学者冈本光司的研究表明：“学生的美术和手工成绩与学生的空间想[87]象能力的测试成绩具有显著的相关性。”在这里，我们只是从中日两国几何课程内容设置、体系编排和习题难度差异的角度，定性地分析了对两国初中生空间想象能力成绩差异的原因。诸如家庭、社会、文化等因素对学生空间想象能力发展的影响，仍是一个需要研究的课题。
三、几点思考
1．自1980年全美教学教师联合会（NCTM）提出“问题解决（Problem Solving）是80年代学校数学的焦点”之后，受到了世界范围内许多国家的重视。日本结合本国实际情况提出了“课题学习”，我国《全日制义务教育数学课程标准》中设立了“实践和综合应用”领域，这些和问题解决思想是一致的。笔者认为，从目前中国的实际情况出发，首先教科书中要设计一些具有启发性、综合性、发展性和应用性的数学问题，激发学生的求知欲，启发学生去思考，去探索。
2．无论是教科书的编写还是实际教学要侧重于“教”：可以直接教给学生完整的猜想过程，也可以较多地启发、诱导、点拨学生，使学生学会探索、学会猜想、学会发现、学会思考。此外，在探索、思考、猜想的方向上，要把好舵，不要让学生在任意方向上去费劲，让学生逐步养成求知、好问的习惯和独立思考、勇于探索的精神。我想日本教材中“课题学习”的上述特点是值得我们参考的。
3．在问题解决的过程中，不要只注重结果，要把重点放在学生学习的欲望和态度上。教材和教学对“课题或问题”的处理要从易到难、由浅入深，设法使学生体会到探究课题的成就感、数学活动的快乐感，提高学生对数学学习的自信心。
高中数学指导要领
日本中央教育审议会在中间总结报告中指出（1997，11，17），现在的学生虽然能比较好地掌握数学的基础知识和基本技能，但是，积极主动地活用数学的思想、方法，解决和判断问题还不够；随着年级的升高，抽象的数学内容不断增加，在数学学习中出现了两极分化的现象，讨厌数学的学生越来越多；又因为数学的内容具有系统性，在某一阶段没有理解的学生，以后的学习就会落后或出现困难，所以，数学教育要重视学习方法，问题解决能力和创造性基础的培养。
根据上述思想，新高中学习指导要领的高中数学课程的总目标是：“加深对数学基本概念、原理和法则的理解，提高学生数学地观察和处理事物现象的能力，通过数学活动培养学生创造性的基础的同时，使学生认识到数学思想方法的优越性，进一步培养学生积极运用数学知识和数学思想方法等的态度。”
新的目标在内容上基本上体现了现行目标的特点，比如，重视基础知识的理解、能力和态度培养；重视对数学思想方法优越性的认识，并在此基础上又有所发展，增加了“通过数学活动培养学生创造性的基础”，突出强调在数学活动中培养学生创造性的基础。
早在1996年，日本中央教育审议会第一次报告就指出，今后的数学教育应从以前的以传授知识为主的教育，转变为以培养自学能力、独立思考能力等创造性的基础为主的教育，并且要重视问题解决学习和数学活动的丰富。创造性的基础不仅包括自学能力、逻辑思维能力、表达力、判断力、想象力、直觉能力，欣赏数学表现和处理的美、领会数学思想方法的优越性等丰富的情感也属于创造性的基础。
数学活动一般包括观察、操作、实验等外部的操作性活动和类推、归纳、演绎等内在的思维活动，高中的数学活动主要是指以下思维活动，⑴将身边的事物现象数学化、设定为数学课题的活动；⑵基于已经学过的数学事实、公理和定义等对设定的课题进行数学地考察和处理，将解决课题过程中发现的各种数学性质(法则、定理等)系统化、构建新的数学理论的活动；⑶反省构建新数学理论的思维过程，用新的数学知识解决或说明当初的事物现象，进一步活用新的数学知识考察其他事物现象的活动。高中的数学活动虽然以上述解决问题、发现新知识等思维活动为核心，但也包含观察、操作、实验等外部的操作性活动，其整个数学活动的过程如图2。
图2 高中的数学活动
数学化
数学课题
身边
的 数学的
事物 考察·处理
现象
新数学理论
运用·解决 发现·建构
通过上述数学活动，使学生认识到数学与现实生活的联系，数学在人类文化和社会生活中的作用，增强应用数学的意识，学会运用数学解决实际问题的方法。在解决问题、探索知识、建构知识的过程中，使学生认识到数学的价值，享受到创造的乐趣和学习的充实感。其宗旨是提高学生对数学学习的兴趣和关心，培养学生运用数学知识、方法考察和处理事物现象的态度，提高学生问题解决能力和逻辑思维能力，使学生能够积极主动地进行探索，发现问题、解决问题，创造出新的数学知识，将学生的数学学习从被动学习转移到主动的探究学习上来。
新的高中数学课程保持了现行高中数学课程的多层次、“必修加选修”的课程模式，并将现行的高中数学课程结构、学分进行了以下的修改。
表2 新的高中数学课程结构及变化
新课程 现行课程
科目 学分 性质 科目 学分 性质
数学基础 2 选择必修
数学Ⅰ 3 选择必修 数学Ⅰ 4 必修
数学Ⅱ 4 选修 数学Ⅱ 3 选修
数学Ⅲ 3 选修 数学Ⅲ 3 选修
数学A 4(2) 部分选修 数学A 4(2) 部分选修
数学B 4(2) 部分选修 数学B 4(2) 部分选修
数学C 4(2) 部分选修 数学C 4(2) 部分选修
从2002年起，日本的学校由每周6天授课制改为5天授课制。为了适应这一变化，使学生在宽松愉快的学习中，切实掌握基础知识和基本技能，现行小学（1—6年级）数学的
教学内容将相应地减少30%；初中（7—9年级）数学的内容也相应地减少36%，新高中数学课程同样对较繁杂的内容进行了精简，例如“复数和复平面”的部分内容被精简。
表3 新高等学校数学课程的内容
科目
数学基础
内容
数学和人类的活动
社会生活中的数理考察
身边的统计
方程式和不等式
二次函数
图形和测量
科目
数学A
内容
平面图形
集合和推理
排列、组合和概率
数列
向量
统计和计算机
数值计算和计算机
矩阵和它的应用
代数式和二次曲线概率分布
统计处理
数学1 数学B
数学2 代数式和证明、高次方程 数学C
图形和方程
各种各样的函数
微积分的思想
极限
微分法
积分法
数学3
此次高中数学课程改革中最引人注目的新举措是新设置了选择必修课《数学基础》。《数学基础》并不是学习其他学科的基础，其目的是使学生理解数学与人类的关系以及数学在文化和社会生活中的作用，提高学生对数学的兴趣和关心，使学生认识到数学的认识方法和思考方法的优越性，进而养成灵活应用数学的态度，给学生以学习数学的动力和信心。《数学基础》的内容包括以下三部分:
⑴数学和人类社会
如和中小学数学内容有关的数学史知识，古埃及、罗马和中国的数制、二进制与电子计算机的发展、勾股定理的发现等数学史话题。旨在使学生理解数量和图形的有关概念在人类活动中的发展过程，提高学生对数学的兴趣和关心。
⑵社会生活中的数学考察
例如，一卷胶带的内径是5厘米，外径是10厘米，胶带纸厚度是0·01厘米，这卷胶带纸有多长？
这个问题可以从不同的角度求解，学习指导
要领从横截面的角度给出了下面的解法：
这卷胶带的横截面是一个圆环，其面积为
(10252)，胶带纸的厚度为0.01厘米，所以 O B A
胶带的长度为：(105)0.017500236m
此题还可从微积分的角度思考。
在这一部分中还有如何利用数列、指数函数考虑储蓄、贷款、电话费等问题，这些都是人们现实生活中经常遇到的问题，通过对这些问题的数理考察，使学生了解数学的有用性，丰富学生数学的认识方法和思考方法。
⑶周围的统计
22
在高度信息化的今天，具有统计方面的知识和素养是非常重要的，因此必须使学生能够根据目的收集资料，用表和图整理他们的同时，理解用代表值把握资料倾向的统计思想，并能够灵活应用它。如1公斤大米有多少粒米？调查某一公司职工工资时，平均数、中位数以及众数哪个更具有代表性？
可以看出，日本高等学校数学教育改革具有如下特点：
（1）重视学生的多样化。如下图所示，改革后的高中数学课程根据学生的能力、兴趣以及将来就业和升学的需要、考虑到数学学习的系统性和学生选择的多样性，使学生选择的自由度更大、灵活性更强。在必修课《数学基础》和《数学I》中，可任选其一，增加了必修课的选择性；《数学A》、《数学B》和《数学C》的每门课程的内容是4学分，学生可以根据自己的兴趣和关心，选择2学分的内容学习。此外，课程选择的顺序和方式也变得灵活多样，《数学A》可以和《数学基础》或《数学l》并行选修、也可在《数学基础》或《数学1》之后选修。《数学Ⅱ》和《数学B》是《数学I》的后继课程，《数学C》是《数学l》以及《数学A》的后继课程。
（2）重视提高学生对数学学习的兴趣和关心。《数学基础》的设置，可以使学生通过数学概念、定理产生和发展的过程、数学对人类文化社会生活的作用、现实生活中的数学问题等课题，来提高学生对数学学习的兴趣和关心，使学生对自然界和社会生活中的数学现象具有好奇心和探索心，给学生以学习数学的动力。并让学生能够从数学的角度考察和解决身边的事物现象，培养学生运用数学知识和方法的态度，提高问题解决能力。
（3）重视通过数学活动培养学生的创造性。新学习指导要领强调了通过发现问题、解决问题的数学活动等，来培养学生的数学能力和创造性。例如，通过将身边的事物现象转化为数学课题，并在解决课题的过程中发现定理、法则，培养学生的思考能力和探索能力。这次改革，虽然总的静态的知识量有所减少，但对学生通过数学活动，理解，掌握和发现数学知识和方法，培养学生多方面观察事物的能力、逻辑思维能力等创造性的基础的要求大大增加。
三、日本中学数学教材
日本的中小学数学教材经历了“一纲一本”到“一纲多本”的过程，其分界点是1950年。现在，日本的教材由国家审定、民间教科书出版公司出版发行，供各学校选用。现有6个出版公司出版发行了6种小学算术和中学数学教材，这些书都通过了国家审定。作为中等教育后期的高中，为了适应学生的分化，已由13个出版公司出版发行了多种高中数学教材。
日本中小学数学教学内容的编排不完全由学习指导要领规定。学习指导要领中只对各年级要教的内容做了规定，至于每个学年之内的内容如何安排则由教科书编者灵活处理。各种数学教科书虽然都是根据统一的学习指导要领编写的，但是在每个年级内容的编排上，教材的处理上，以及编写的风格上不完全相同。我们这里主要以下列教材为基础，介绍一下日本教材的特点及其精彩片段。根据新的学习指导要领，由日本数学教育学会会长、东京理科大学教授泽田利夫领衔主编、教育出版株式会社2001年出版的《算术》、《中学数学》。由于新的高中数学教材2003年3月才能出版，我们只能以现行的由大板大学名誉教授永尾泛为主编、数研出版株式会社出版的高中数学教科书。
（一）教材在内容编排上的特点
1、各领域的内容齐头并进，相互融合
日本教材从小学一年级起，数、量、图形和数量关系齐头并进。例如，小学一年级在数和计算领域，认识100以内的数，教学20以内的加减法和100以内的简易的不进位加法和不退位减法；在量和测定的领域，通过物体长度、容器大小的比较，初步了解长度、容积的概念，初步认识钟面上的时刻（整时数和几时半）；在图形领域，初步认识长方体、正方体、
圆柱、正方形、长方形、三角形和圆；在数量关系领域，虽然教学大纲从三年级才做安排，但是实际上在一、二年级也含有数量关系的因素，例如用加、减法算式表示数量关系，加法的交换法则等。
中学教材分为三册，每册都包含数与式、图形、数量关系三部分内容，并且各个不同领域的知识相互融合。如在学“一元二次方程的解法”时，教科书出的题目有:用方程的知识求长方形土地的面积问题，使学生学会了方程在几何中的运用。
高中数学教材中数学知识、算法知识以及计算机程序相互融合，使学生能用现代化技术解决数学学习中的问题。这种各领域内容齐头并进，相互融合的方式，有利于学生知识和技能的全面发展。
2、各部分知识适当划分阶段，由易到难分散安排
小学教材在计算领域不仅整数划分几个阶段，而且分数、小数也适当划分几个阶段排在三至六年级，逐步加深。在图形的认识和求积方面，从低年级到高年级逐步加以安排。一年级直观认识的认识身边的立体图形；二年级出现三角形和四边形；三年级出现正方形、长方形球和直角三角形的初步概念；四年级进一步认识等腰三角形、等边三角形、圆和球，结合长方体的认识使学生了解空间的直线与平面的平行与垂直；五年级认识梯形、菱形和多边形六年级认识圆柱、圆锥，并计算长方体、正方体的体积。
中学教材也一样，在数量关系领域，一年级学习正比例函数和反比例函数；二年级学习一次函数；三年级学习二次函数（y=ax²）。这样分散安排、由易到难比较符合学生学习的认知特点，有助于逐步提高和巩固所学的知识。
（二）教材编写特点
1．重视数学史的知识
日本的数学教材非常重视数学史的记载、描述和论述。这些关于数学史的记载和论述紧扣所教的数学内容，如通过数学史话引入所学的内容、解决一些数学史上的问题。它能使学生了解这些知识和思想方法形成的历史，提高学生对数学学习的兴趣和关心。
例如，在中学二年级新教材第四章“平行和全等”的章首，就有下面一段数学史话：
“如右图，B点到船的距离是多少
米？
在海上测量距离很困难。可是，
距现在2600年前，古希腊数学家泰
勒斯把海上的距离转换为陆地上的距
离，求出了B点到船的距离。”
右边是教科书上配的图形。 A
B
C
在中学一年级新教材的[数学小知识]栏目中有“方程的历史”，并在史话后面提出了问题。
课文：《九章算术》是中国最古老的数学书籍，一般认为是距现在1900年前的数学书籍。这本书正如书名所示，全书由9章构成。
这本书的第八章是方程。古代，中国人解方程时，用叫“算筹”的工具，其解法与我们现在的解方程方法完全不同。
开始研究象现在这样方程的，是距现在1700年前的希腊数学家丢番图。在他的墓志中有这样一段话：“丢番图一生的1/6为童年，1/12为青年，1/7为单身汉，结婚5年后，生
了个儿子，儿子在他最终年龄的一半时，比他的父亲早4年死去。”
问：求丢番图的年龄。
在中学二年级新教材的[数学小知识]栏目有“鹤龟算的历史”
课文：古代中国的数学书《孙子算经》（大约成书于3—4世纪）中，记载了以下问题：
“将野鸡和兔子装进同一笼子里，有35个头，94条腿。问：野鸡有多少只，兔子有多少只？”
在日本，这个问题最初出现在江户时代的数学书《因归算歌》（1640年）中。后来出版的数学书《算法点窜指南录》（1815年）把野鸡和兔子换成鹤和龟，于是，上述问题就被称为“鹤龟算”。
“鹤龟算”这类问题用本章学过的“方程组解应用题”的知识，很容易就能解决，请你试一试。
在中学三年级新教材的[数学小知识]栏目有“自然数的和”
课文：18世纪德国数学家高斯刚入小学不久，就很快解答了老师提出的问题“求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的和。”使老师非常吃惊。
据说高斯是用下面方法求解该问题的。
1 +2+ 3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
+） 10+9+ 8 +7 +6 +5 +4 +3 +2 +1
11+11+11+11+11+11+11+11+11+11
10
问：（1）求1+2+3+……+98+99+100的和
（2）从1开始连续n个自然数的和，可用式子n（n+1）/2求。请问当和是66时，是从1开始连续几个自然数的和？
另外，新高中数学课程改革中设置了选择必修课《数学基础》。《数学基础》中的一部分内容就是“数学和人类社会”，讲一些和中小学数学内容有关的数学史的知识。由此不难看出日本数学教材对数学史的重视。
2．重视通过学生观察、操作、实验等具体的活动抽象概括出数学知识
新学习指导要领最后关于教学内容的处理上特别强调要丰富学生的数学活动，让学生通过观察、操作、实验等具体的活动抽象概括出数学知识，发现新的结论，使学生体验到数学活动的快乐。在编写各套教科书时，编者也注意体现这一点。例如，小学三年级学习圆的认识时，先让学生把物体的圆形底面放在纸上沿它的一周画圆，然后用带孔的木条固定一点画圆，再用圆规画圆，在此基础上再学圆心、半径和直径，并用纸剪圆，折叠直径、半径。
中学二年级学习圆周角时，新教材首先中给出下面两图，然后提问，量一量下图中∠AOB、∠APB，∠AQB、∠ARBD的大小。从图（1）中，你得到什么结论？从图（2）中，你能得到什么结论。
P Q
Q P R
R
O O
A B A B
图（1） 图（2）
中学三年级学习勾股定理时，也是让学生观察彩色瓷砖铺成的地面，自己发现勾股定理。
3．重视启发学生思考
日本数学学习指导要领最后关于内容处理的第一点就是适当设计一些思考问题，培养学生的思考力。这一点与加强观察、操作、实验等活动是紧密联系着的。在教科书中也注意体现了这一点。例如，教材中的例题，不但给出了解法，还给出了思考方法。“火柴棒的数”的中学一年级新教材[挑战角]栏目中的一个题目，充分体现了日本教材对启发学生思考的重视。
课文：火柴棒的数
把火柴棒象下图那样拼成正方形，当正方形的个数n和火柴棒的根数具有怎样的关系？
……
问：（1）A同学和B同学按着下面图形思考的。请说明两人的思考方法，并根据两人的思考方法列出求火柴棒根数的式子。
…… ……
A同学的思考方法 B同学的思考方法
（2）下面的式子是怎样思考得到的？并说明思考的方法。以这个式子为基础，提一个别的问题。
2n+（n+1）
（3）不改变火柴棒的摆放方法，编制一个求周长和面积的问题。
（4）改变火柴棒的摆放方法，作成别的图形（如下图），你能编制出怎样的问题？
……
……
（5）改变问题的条件，能编制出各种各样有趣的问题。请参考上面的各种情况，编制
新的问题。
不难看出，从问题到问题，题目不断加深难度，始终注意让学生自己动脑思考，并说明自己是怎样思考的，使学生学会思考问题，学会提出问题。
4．内容编写尽量符合学生的认知特点
日本的教材在内容编写方面，尽量符合学生的认知特点，便于教师教学和学生学习。例如，中学二年级新教材在处理“多边形内角和”这一内容时，先指出学习本内容的目标：根据三角形内角和定理，能否求多边形的内角和呢？然后给出了多边形的内角和外角的定义，接着把一个四边形用一条对角线分成两个三角形，根据这种分法，提出下面问题：①请说明四边形的内角和为360º；②从多边形的一个顶点引对角线，能把这个多边形分成几个三角形？请根据这种分法完成下表：
多边形的边数
三角形的个数
多边形的内角和
四边形
4
2
180º×2
五边形
六边形
七边形
③在上表中，多边形的边数和三角形的个数有什么关系？多边形的边数和它的内角和有什么关系？最后给出了多边形内角和定理。
从上面的例子中看出，教材根据学生的认知特点，明确地给出了知识发生、发展的过程，
特别是思考问题的顺序和重点，教师按照给出的思考问题，分步教学，就可以顺利地完成教学任务，这对于指导教师教学起着重要的作用。同时，也有利于学生自学。
5、重视计算机和信息技术的应用
计算机对于信息社会来说是非常必需的，时至今日已经广泛地存在于学生的生活环境中。不利用计算机，日常生活就不能顺利地进行。因此，对于学校的数学教学来说，利用计算机也十分重要的。对于学校的数学来说，计算机有两种利用方法：
（1）为了促进学习，作为教具利用；
（2）作为使用工具，进行操作学习。
利用计算机辅助教学，可以加深学生对内容的理解，同时计算机作为一种工具，能够帮助我们解决各种问题。
日本教材非常重视将数学内容、计算方法和计算机有机地结合起来，运用计算机和信息技术解决问题的教学。例如，高中现行教材《数学A》中的第四章介绍了计算机的基本原理和简单应用；《数学B》在《数学A》的基础上，进一步学习计算机的功能、各种算法和计算机制图等方面的知识；《数学C》主要是利用计算机解决矩阵、方程组、各种曲线、数值计算以及统计处理等方面的问题。例如，《数学B》中的“数列和算法”内容如下：
正数a的平方根a是抛物线y=x²-a与x轴正方向交点的横坐标。
Y
a q p
X
如上图，P是一个比a大的数。抛物线y=x²-a在点（p，p²-a）处切线的斜率为2p，
切线的方程为：y-（p²-a）=2p（x-p），
即y=2px-p²-a，
于是，切线与x轴交点的横坐标为：q=(pa1)，这个值比p更接近a。
p2设x1为第一个正数，则数列x1,x2,x3,的各项依次为：x21a1a1a(x1),x3(x2),x4(x3),
2x12x22x3由上式可知x1比a大，xn逐渐接近a。根据前面学过的求近似值的牛顿法，求a
近似值的计算机程序（BASIC语言）为：
10 INPUT “a=”；A
20 p=A
30 Q=（P+A/P）/2
40 PRINT Q
50 P=Q：GOTO 30
60 END
6。重视问题解决及其思考方法的教学
日本的数学教材的习题数量少，但题目具有灵活性、多样性和趣味性，重视问题解决及其思考方法的教学。问题的范围大致有以下几个方面。
（1）反映日常生活的问题。例如，中学一年级教材出现这样的问题：“从A点出发去河边提水，然后去在B点的研究所。在河边的什么位置取水好呢？”如下图：
B 研究所
A
然后，又问：“一个人骑自行车从A点到B点，在什么位置时，人与C点的距离比与D点的距离近？”如下图：
C
A B
D
（2）适当安排一些和其他学科的联系的问题。例如，中学二年级在“1次函数的运用
中出现了下面的例题：“有一个长为15厘米的弹簧，请调查一下弹簧的长度和弹簧下面所挂的砝码重量之间的关系。”
当砝码的重量为x克，弹簧的长度为y厘米时，下表表示了它们之间的关系。
X克
Y厘米
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270
15 18 21 24 27 30 33 38 45 54
以上表中x和y对应的数组为坐标，在坐标系中画出相应的点（图略）。
因为当0x180时，图中的点几乎在一条直线上，所以y是x的一次函数。
问：①当0x180时，用含有x的式子表示y。
②当弹簧的下面挂一个80克重的砝码时，求弹簧的程度。
③当弹簧的长度是17厘米时，求所挂砝码的重量。
（3）拓宽知识范围的问题。例如，高中教材中出现了“运动和导数的问题”。
“从地面上，以每秒24.5米的速度向正上方抛一个物体，t秒后物体的高度为h米，则h可用下式表示。”
h=24.5t-4.9t²
于是，物体t秒后的速度为：
v=dh/dt=24.5-9.8t
例如，这个物体2秒后的速度是24.5-4.9×2=4.9
3秒后的速度为24.5-4.9×3=-4.9
其中，速度的正负表示物体的运动方向，绝对值表示速度的大小。既物体2秒后以4.9m/秒的速度上升，3秒后以同样的速度下降。
另外，物体到达最高点时，速度等于0。
问：①求物体到达最高点的时间。
②求物体到达地面上时的速度。
（4）安排一些具有挑战性的开放题。所谓开放题有许多不同解释。其中给学生一个具体场面，让学生由此找出与数学有关的内容，找出多种数量关系，解决一些具体问题，就是开放题的一种类型。
日本中小学数学教育界十分重视通过这类题目，培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使之明白用数学处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学用于日常生活的态度，以此达到日本数学课程的目标。
例如，在小学三年级第二学期教材中就有下面的内容：“我居住的小镇”
枚子写了一篇介绍自己家乡的文章，文章的内容是：“我们的小镇有居民18574人。从车站步行450m是电视塔。从电视塔走1km200m就到了游览船的码头，乘游览船40分钟可绕湖一周。游览船的船票是儿童每人280日元，我们5人乘船的话……”（如下面的简易图）
美术馆的门票 游览船的船票
公 园 大人 340元 大人 520元
儿童 170元 儿童 240元
游览船
700m 美术馆 码头
1km200m
电视塔
450m
车 站 图3
参照上图，提出下列问题：
（1）5个儿童乘游览船，需要多少钱？
（2）从车站经过电视塔到游览船的码头，有多少米？
（3）游览船午后2点30分出发，绕湖一周，何时能返回码头？
（4）你还能提出别的问题吗？
由此不难看出这个教学内容的综合性是很强的，包含着许多方面的知识，如长度、时间、货币等。同时由于这道题来源于生活，学生感到很亲切，感觉不到它的难度。因此，学生可以在十分轻松愉快的气氛中，解决许多问题。
从上面这些例子，我们不难体会到日本教材对问题解决及其思考方法的重视。通过这些问题，使学生不但掌握数学的某些知识，还使学生认识到学习数学的意义，不断体会到用数学处理问题的好处。对于培养学生对日常事物进行有条理思考的能力，明白数学的用处等是十分重要的。同时，与生活实际相联系的问题、开放型应用题能活跃学生们的思路，让学生自己在问题中去寻找条件，解决问题，没有任何框框，可编写出许许多多应用题，使学生在解题过程中不断提高分析问题的能力。
四、日本中小学的数学课堂教学
1988年，美国伊利诺洲的数学教师协会派了一个代表团到日本考察数学教育，团长是南伊利诺洲立大学的贝克（Jerry P·Becker）教授。考察报告有100多页，我们在此仅就
报告中有关日本课堂教学的部分摘取出来，看看美国学者对日本数学课堂教学的看法。
·在每堂课开始和结束时，学生都要起立和敬礼。教师倍受尊重。
·在我们所访问的所有班级里，我们看到一种清晰的、目标明确的教学风格。授课计划使人们清晰地看到这种有目的进行的学习情境。
·在许多教室里，特别在义务教育阶段，我们看到学生们在教师很好地组织之下，分小组一起学习课题。然后，教师也将全班学生的注意力吸引到各小组的学习结果上来。我们看到许多关于如何组织这类教学的例子，我们觉得美国的教师应当更广泛地采用这种方法进行教学。
·我们看到在许多课堂教学中，教师在小组学习活动之后，有目的地为各种不同水平的学生（或小组）提供各不相同的机会去思考一个问题并试图解决它。我们觉得这是发展学生思维的极好方法。但是，课堂管理者必须为这种课程作好必要的准备。
·日本教师在教室，口头讲授时间较美国要多，他们较少布置很长的学生课堂活动和同类题目的作业。
笔者在日本进修学习期间，也亲自考察过日本小、中、高的数学课堂教学的实际。感到日本特别重视“课题学习”，基本教学形式是：①创设问题情境，引起学生的兴趣；②学生在教师地组织之下，分小组一起讨论课题；③各小组发表自己的结果，并说明思考的方法；④全班学生讨论各小组的得出的结果；⑤教师归纳总结；⑥推广结果或激发学生向类似问题挑战。笔者想通过自己亲自看到的日本大阪教育大学附属小学三年级的一节“课题学习”和日本筑波大学附属中学教师相马一彦的“电话线问题”的教案，来管中窥豹。
本节课讲授的是算法（Algorithm）概念。这节课一开始是通过“比身高”这个“课题”把学生的学习兴趣充分调动起来了。教师叫6名学生到前面来，并问：同学们，有什么办法可以确定他们之间谁高呢？然后，让学生分成小组进行讨论，试图让学生找出解决这个问题的办法来。经过讨论之后，老师让学生发表自己的看法。例如，有的学生说，可以让这6个同学站成一排，立刻就会比出谁高了；还有的同学说，可以用尺子去量一下每个学生的身高……。教师说，如果说有6个同学的情况，你们提出的办法是可行的，但是，如果有60人，600人，6000人，又该怎么办呢？学生们哑口无言了。这时，教师又组织学生讨论：无论有多少人，都有效的办法是什么？在老师的引导下，师生之间，学生之间经过充分的交流、讨论之后，有的学生以6名同学的情形为例，找到了算法——它是解决这类问题的有效策略——逐次淘汰矮者，最后不被淘汰者就是最高的。据任课教师介绍，下节课老师指导学生编写找最大数的程序，并上机进行操作。
筑波大学附属中学教师相马一彦的“电话线问题”的教案：
教 案
——筑波大学附属中学 相马一彦
1．时间：1988年9月18日，第三节（10点20分——11点10分）
2．学生：筑波大学附属中学 1年1组（男21人、女20人、合计41人）
3．内容：电话线的条数问题：
若每家都能直接通电话，并且每家之间只能用一条电话线连接，问有20户人家，共需要多少条电话线？
4．本节课的目标：
① 培养学生重视解决问题过程的态度和思考能力；
② 能够从不同的角度、用多种方法解决问题。
5．教学意图：
本节课的重点是让学生学会从特殊到一般的思考方法，意识到用不同方法解决问题的重
要性。有时间的话，让学生求20边形有多少条对角线？
6．教学过程
教学内容
1． 问题提示
[提问]
（预测）
〈5分钟〉
2． 归纳自己的思考过程
3． 介绍思考方法
4． 再归纳一下自己的思考方法。
〈10分钟〉
5． 发表答案
式子
思考方法
〈10分钟〉
6． 有100户人家时候，需要多少条电话线？
〈5分钟〉
主要的提问
·发测试纸
[关于这个问题有没有什么疑问？]
[想一想，有多少条？]
[请把自己的思考过程和解法写在笔记本上。]
·巡视学生（约2分钟）
[发现有各种各样的思考方法，谁能介绍一下你是怎样思考的。]
[那么，请参考一下这位同学的思考方法，归纳一下自己的想法。]
·巡视学生
[有得出答案的吗？]
[答案虽然是190，但可用各种各样的式子去求。那么，谁能介绍一下你的算式。]
[那么，请说明一下你是怎样思考的。]
[从1到19 的和确实是190吗？为什么？]
[你能说明式子2吗？]
学生的活动和反应
·各家的位置是怎样的？
·200条、50条、150条……。
·把自己的思考过程和解法写在笔记本上，
①2户、3户……从少的情况开始考虑；
②画图考虑；
③考虑从某一户能引出几条；
④用式子直接求；
·再一次把思考过程写在笔记本上。
备注
·把问题写在小黑板上。
·引起学生的学习欲望。
·也有没有线索的学生
·向全体学生介绍
· 即使全体学生都没有解出来也可以。
·确认答案后，继续问为什么？
·有式子相同，但思考方法不同的时候，怎样思考的？思考方法有什么不同？
· 没有出现的情况要介绍，从表中发现规律。
· 确认求自然数和的方法，介绍高斯的求法。
·190条
式子1
19+18+……+2+1
式子2
19×20÷2
·关于式子1的思考：
①从第一户人家引出19条，第二户人家引出18条……依次减少一条。
②从少数人家开始考虑，明白了这个结论。
③2户、3户……列表考虑
·第二个式子是一个很聪明的求法，
·说明理由
·从每户人家都能引出19条电话线，有20户，所以19×20。但每1条都重复一次，因此除以2。
·用上面的各种方法求答案。
作为练习考虑。
7．有时间的话 求20边形有多少条对角线？
可以看出，日本学校数学课堂教学有如下特点：
（1）注重激发学生的学习兴趣。上面两节数学课的“课题”选取和“活动”设计都非常重视调动学生学习的兴趣。学生对课题的浓厚兴趣产生了指向目标的有益态度,这种态度反过来又以更强烈的积极方式导致或加强学习的愿望，从而使学生以积极主动的姿态投入学习中。
(2)重视启发学生思考。日本教师在课堂教学中，能从学生实际出发，创设问题情境，调动学生学习的积极性。并给学生充分思考的时间，让学生从不同的角度、不同的方面思考问题。学生回答问题时，不但说结果，还要说明是怎样思考的，说明自己思考的过程和方法。循循善诱，促使学生积极思维。
（3）重视教会学生解决问题的方法。“电话线问题”的教学目标和重点不是解决这个问题，而是使学生在解决问题的过程中，学会从少到多、特殊到一般的思考方法，意识到用不同方法解决问题的重要性，充分体现了日本数学课程的目标：使学生体会到用数学思想方法处理问题的益处，达到培养学生发展性地运用数学知识，数学思想方法等的态度。
五、启示与思考
上面我们介绍和分析了日本新的小、中、高数学学习指导要领、教材以及数学教育改革情况。不难看出，日本新的课程改革既富有时代特征，又体现其本国特色。这些改革在整体上反映了一种新的课程观，从中我们可以得到以下几点启示：
1．丰富学生的数学活动。江泽民同志提出，全面推进素质教育必须以培养学生的创新精神和实践能力为重点。那么，怎样培养学生的创新精神呢？日本这次改革特别强调“通过数学活动培养学生创造性的基础”，是值得我们借鉴的。在数学活动中，学生经过观察、比较、分析、综合、抽象、概括等步骤，提出科学的猜想和假设，得到新的命题；然后再应用已掌握的数学理论与方法，对新的命题加以论证，从而获得新的理论和方法；最后再运用所得的理论和方法去解决一些实际问题。例如本章第四部分介绍的日本大板教育大学附属小学三年级算法（Algorithm）概念的数学课，通过“比身高”这个“活动”，在老师的引导下，师生之间，学生之间经过充分的交流、讨论，找到了算法——逐次淘汰矮者，最后不被淘汰者就是最高的，然后，指导学生编写找最大数的程序，并上机进行操作。这种数学学习过程与科学探索的过程是一致的，是培养学生创新精神、提高实践能力的重要途径。
2．渗透人文精神。1994年7月，日本四大学会——日本数学教育学会、日本数学会、日本应用数学学会、实践数学教育研究学会联合发表了“数学教育危机”的声明，声明中指出“近年来，在学校数学教育中，学生讨厌数学，逃避理工科的倾向十分显著……，这种数学教育中的危机状态，对我国的将来是一个严重的问题。”为了解决这种危机，声明中还指出；“在数学教学中对大多数学生来说感到痛苦的现实，这无论对学生来说，还是对数学来说都是一种不幸。必须使数学教育变成一种轻松愉快的教育。”针对这种状况，日本在这次高中数学课程改革中，设置了《数学基础》这门课，中小学教材中也包含了大量数学史的内容，旨在提高学生对数学的兴趣、关心和学习的欲望，给学生以学习数学的动力。我国正在全面推进素质教育，但素质教育绝不是在原有的学科教育的基础上添加一些素质教育的内容所能奏效，必须对原有课程内容进行整合。在课程内容上增加一些数学家的趣闻轶事、数学发现的奥妙以及数学应用的故事等，使学生感受到数学也有生动有趣的一面。在内容展开上可选择若干典型课题或实际问题，引导学生探幽索微，直至问题解决获得新的理论，让学生从中领略到数学创造的真谛。总之，通过课程内容的趣味性和人文性，使学生爱学乐学。
3．注重培养用数学思想方法考察和处理问题的能力。要提高学生的数学素养,不仅要使
学生掌握数学知识,而且要培养学生运用数学知识和数学的思想方法考察和处理问题能力，使他们能用数学知识和方法去解决实际问题。这一目标要求在日本的数学课程目标中的体现是十分明确的，在教材的编写时也非常重视培养学生对日常事物进行有条理的思考能力，使之明白用数学思想方法处理问题的好处，并培养学生自觉地把数学和数学思想方法用于日常生活的态度，以此达到日本数学课程的目标。一般地，在处理中小学数学思想方法上有两种基本作法:其一是通过学习数学知识的活动,逐步使学生理解和掌握数学的思想和方法；其二是通过解决数学问题或实际问题的活动,包括提出问题、设计任务、收集信息、选用数学、运用策略、获得结论、检验和解释结果等。使学生在掌握数学内容的同时,形成对人的素质有影响的那些基本思想方法,如试验、猜想、模型化、合情推理、系统分析、优化思想等。
4．增强课程结构的层次性和选择的多样性。随着社会的多样化，学生关于自己的前途的思考和学习对策也日趋多样化。为了满足学生的多样化要求，促进学生的全面发展，日本这次课程改革又加大了高中课程结构的层次性和选择的多样性（如下图4）。
《数学基础》（选择必修）
（并行） 《数学I》（选择必修） 《数学Ⅱ》 《数学Ⅲ》
《数学A》 《数学B》 《数学C》
图 4
其中，《数学基础》作为培养终身学习基础的课程，可以和《数学I》任选其一作为必修课，其目的是提高学生的数学文化素养。考虑到学生的多样性和高中数学学习的整体性、系统性，设置了一门高中数学的基础性课程《数学I》，它是学习选修课程《数学Ⅱ》、《数学Ⅲ》以及部分选修课程《数学B》、《数学C》的基础。另外，学生还可以在学习《数学基础》或《数学I》时，同时选修《数学A》中的部分内容，用来补充必修课程的内容。可见学生选择的自由度更大、灵活性更强。
我国1996年5月公布的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供实验用）》中规定了高中数学课含必修课、限定选修课和任意选修课，这和原来的单一结构相比是一个进步。但是，由于必修课和限定选修课均属于高考数学命题的范围，这样一来，限定选修就和必修课没有什么区别了。至于任意选修课，因为它不是高考命题范围，在当前这种“千军万马过独木桥”的升学考试形势下，恐怕也就形同虚设了。为了使课程内容既能适应学生的全面发展的基本要求，又能适应学生升学、就业、发展个性和学生的不同接受能力的需要，课程的结构必须既要重视数学学习的系统性，更要强调学习者的兴趣、动机和需要等方面的差异，实现多层次、弹性大、灵活性强的修学方案。
5．加强信息技术的应用。日本的数学教育一向注重计算机的应用，新《高中数学学习指导要领》又特别强调了计算机和信息网络技术对数学学习的促进作用。和日本相比，目前我国高中数学课程内容明显缺少信息技术的内容，这和“教育要面向四个现代化、面向世界、面向未来”的目标是很不适应的。过去学校的数学问题多是通过简单的笔算就能解答的问题，在高度信息化的今天，很多问题是经过数学的整理用计算机解决的。因此，高中数学课程不但要增加信息技术的内容，而且要将数学内容、计算方法和计算机有机地结合起来，使学生能够积极主动地应用计算机和信息通讯网络等技术解决问题，以适应时代的变化。
以上介绍和分析了日本面向21世纪数学课程改革情况和特点，但日本数学课程也有些不足之处。例如，中小学数学内容删减的太多，教材中的基本练习显得少了些；高中内容虽
然有所删减，但为了保证大学教育的质量，高中数学内容的深度基本没有什么变化，并且还增加了一门新课《数学基础》，可以看出高中学生的负担并没有减轻。新的中小学数学教科书已经使用，新的高中教科书2003年4月开始使用，情况怎样，还需要经过一段时间的实践检验。
参考文献
1、中央教育课程审议会《关于幼儿园、中小学、聋哑学校以及养护学各科数育课程的改革》1998月22日。
2、日本文部省《文部广告》1997年8月8日。
3、日本文部省《小学校学习指导要领》实教出版株式会社1999年12月。
4、日本文部省《中学校学习指导要领解说 教学篇》大阪书籍株式会社1999年9月
5、日本文部省《高等学校学习指导要领 总则篇》东山书房1999年12月
6、日本文部省《高等学校学习指导要领 数学篇·理数篇》实教出版社株式会社1999年12月
7、泽田利夫主编《小学算术》、《中学数学》教育出版株式会社2001年月
8、永尾泛主编《高中数学》数研出版株式会社1996年
9、《日本数学教育学会志》第83卷、日本数学教育学会2000年
10、三轮辰郎编著《日美数学问题解决的指导》东洋馆出版社1992年
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