本世纪未解的数学难题

2024年1月22日发(作者：数学试卷分析发家长)

本世纪未解的数学难题

数学的前沿与一般人的印象大不相同，这是由于通过中学教育学的数学大都是300年之前的东西，而物理学、化学、生物学的内容则是近300年、300年、100年、50年甚至最近的成果。可是在这300年中数学已发展成为极为庞大的领域，有十几个二级学科，一百多个三级学科以及成千上万的分支。每一个学科和分支都有大量的象哥德巴赫猜想那样的未解决的难题。明确提出，写在文献中的数伦难题上万个，群论难题上千个，各学科的重要猜想也不下几百个。这些难题当然重要性各有不同，最重要的难题就像刚解决不久的费尔马大定理一样，处于数学主流当中，它的进展能够带动许多学科的发展，并且产生出许多新问题推动数学向更高的水平前进。由于90%的数学问题对于隔行的人难以理解，这里只选择2个比较易懂的重要难题（更正确说是难题组），其中有的有上百年的历史，它们是公认的重大的数学问题，它们的解决对数学将有巨大的推动。

黎曼猜想

这是1859年由德国大数学家黎曼提出的几个猜想之一，而其他猜想均已证明。这个猜想是指黎曼函数：



(s)n11nssit

的非平凡零点都在12的直线上。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式P(x)的零点也就是代数方程P(x)=0的根。根据代数基本定理，ｎ次代数方程有ｎ个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法，即

nn1a1xa0an(xx1)(xx1)(xxn)

P(x)anxan1x 当s为大于1的实数时，(s)为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：



(s)n11nsP1(11p)

但是，这样的(s)用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中，因此，(s)的零点就成为大家关心的头等大事。(s)有两类零点，一类是s=-2，-4，„-2n，„时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也

就是所有复零点都在12这条直线（后称为临界线）上。

这个看起来简单的问题并不容易。从历史上看，求多项式的的零点特别是求代数方程的复根都不是简单的问题。一个特殊函数的零点也不太容易找到。在85年前，哈代首先证明这条临界线上有无穷多个零点。10年前我们知道有2/5的复零点都在这条线上，而且这条线外至今也没有发现复零点，因此，黎曼猜想是对是错还在未定之中。

这个简单的特殊函数在数学上有重大意义，正因为如此，黎曼猜想总是被当成数一数二的重要猜想。在这个猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素数定理就是在100年前由于黎曼猜想的一个重大突破而证明的。当时只是证明复零点都在临界线附近，如果黎曼猜想被完全证明，整个解析数论将取得全面进展。

更重要的是，在代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论等学科中都引入各种(s)函数和它们的推广L函数，它们各有相应的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已经得到证明，使得该分支获得突破性的进展。可以设想，黎曼猜想及其各种推广是21世纪的中心的问题之一。

100年前，庞加莱为组合拓扑学奠定基础，他引进一系列同调不变量以及基本群，它们都是拓扑不变量。他研究的对象是流形，流形可以看成曲线（一维流形）、曲面（二维流形）的推广。用解析几何可以把它们表示出来。例如一维的圆的方程是：x2y21

二维球面的方程为：x2y2z21

我们不难推广到高维，例如三维“球面”的方程为：x2y2z2t21

当然我们可以进而推广到n维。通常球面有一个基本的性质，就是它上面的圆可以连续变形为一点用拓扑学的话讲就是基本群10。宠加莱猜想就是：如果一个3维闭流形的庞加莱猜想 （已证）

10，那么它是否和3维球面同胚。所谓同胚也就是从拓扑学上看来一个样。这个问题曾许多次被宣布证明，但结果都不对。

1960年美国数学家斯梅尔（）跨过这个极难的维数，进而把庞加莱猜想推广到n>3维。他一举对n>5证明了这个所谓的广义庞加莱猜想，并因此荣获1966年菲尔兹奖。但是他的方法以对n=3,4维不行。一般认为4维流形更难，没有想到，1982年，美国数学家弗里德曼（an）一举证明了4维庞加莱猜想，为此他荣获了1986年菲尔兹将。由此，他开辟了4维流形研究的新领域，而原先的宠加莱猜想成为仅有的尚未解决的难题了。

伽罗华理论逆问题

在数学中，代数方程的求解有悠久的历史。很早就会解1次和2次方程，16世纪也会解3次和4次方程，它们的根都可以表示为系数的根的四则运算，我们称它们有根式解。5次和5次以上代数方程求解遇到了严重的障碍，经过300年的努力仍然得不出求解公式。经过多次失败之后，阿贝尔和伽罗华从反方向来看问题。在19世纪20年代，他们证明：一般的5次和5次以上代数方程没有根式解。而伽罗华走得更远，他引进群的概念来判断一个5次或5次以上方程是否有根式解。

关于代数方程理论，许多人对于伽罗华的结果往往有误解。第一个误解是以为5次和5次以上方程就没有根了，这是大错特错了。因为根据代数基本定理，n次方程总有n个根（实

根、复根以及重根统统计算在内），只不过一般这些根不能表示为系数的根式而已。第二个误解是认为所有5次和5次以上方程都不可能用根式解，实际上并非如此。有相当数量的5次和5次以上代数方程是可以用根式解。现在的问题是：给定一个方程，如何判定它能否用根式解。伽罗华的贡献在于他给出一个明确的判据，他把每一个方程同一个根的置换群联系起来，这个群称为该方程的伽罗华群，是一个有限群，可由方程具体地计算出来。如果伽罗华群是可解群，则方程可以用根式解，如果伽罗华群不是可解群，特别是单群（非交换），则方程不能用根式解。

那么伽罗华理论的逆问题就是，是否任何有限君都是某一个有理系数代数方程的伽罗华群？这个问题在100多年前首先由大数学家希尔伯特取得突破。他证明如果群是对称群Sn和交错群An,则答案是肯定的,也就是有这样的有理系数代数方程,以Sn或An为其伽罗华群。到本世纪10年代，有史以来最伟大的女数学家爱米·诺特建立了一般的理论。1954年苏联数学家沙法列维奇对可解群肯定解决伽罗华逆问题（证明中的一些错误后来补正），现在问题更集中于单群了。1980年随着声称有限单群分类完成，对单群的伽罗华理论逆问题开始热起来，有不少单群已得到肯定的结果。但是，整个问题还没有解决，特别是还没有统一的证明方法。

拉姆塞是位天才的英国科学家，只活了26岁。在他去世的1930年，他发表了一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆塞理论。

拉姆塞理论可以用通常的语言来表述。在一个集会上，两个人或者彼此认识，或者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，当集会人数大于或等于6时，则必定有3个人，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识。6称为拉姆塞数，记r(3,3)。进一步当集会人数大于或等于18时，则必定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此都不认识，用记号表示就是r(4,4)=18。可是集会有多少人，才能有5个人都彼此认识或都不认识呢？至今为此，r(5,5)的精确数目我们还不知道，至于其他的r(n,n)当然就更不清楚了。不过，我们的确证明r(n,n)是一个有限数，的确存在，甚至有精确的上界和下界。只是其中究竟哪一个是拉姆塞数，就不得而知了。因此，求r(n,n)的精确值是我们的头一个难题。

拉姆塞理论还有进一步的推广，一个最简单的推广是r(s,t)，也就是集会至少有多少人，才能有s个人互相都认识或者t个人互相都不认识。可以证明r(s,t)=r(t,s)，因此，我们不妨假定s≤t。现在知道的精确的r(s,t)的值极少，只有如下的9种情形:r(3,3)=6

r(3,4)=9 r(3,5)=14 r(3,6)=18 r(3,7)=23 r(3,8)=28 r(3,9)=36 r(4,4)=18

r(4,5)=25

而且我们还知道r(3,t)的一个上界：

r(3,t)≤t322拉姆塞（Ramsay）理论

abc猜想

1995年维尔斯完整证明了费尔马大定理，成为本世纪成就最突出的数学家之一。但是有关的数学问题并没有就此完结，仍有成千上万的重要猜想有等解决，特别是能推出整个或部分费尔马大定理的一些猜想，它们看起来形式上也非常简单。abc猜想就是其中最突出的一个。

abc猜想是关于满足方程:a+b=c的任何非零互素整数解a,b,c的性质，它断言，对任何0，存在常数C()满足:max(a,b,c)C()N()abc1其中max表示这3个数中最大者。N（abc）表示abc的不同的素因子的乘积。

由abc猜想可推出大指数的费尔马猜想，它还可以推出一系列重要猜想。

哥德巴赫猜想

哥德巴赫（Goldbach C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。

1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。他写道：

\"我的问题是这样的：

随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：

77=53+17+7；

再任取一个奇数，比如461，

461=449+7+5，

也是三个素数之和，461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。这样，我发现：任何大于5的奇数都是三个素数之和。

但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。\"

欧拉回信说，这个命题看来是正确的，但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。但是这个命题他也没能给予证明。

不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：

2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4.

若欧拉的命题成立，则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和，于是奇数2N+1可以写成三个素数之和，从而，对于大于5的奇数，哥德巴赫的猜想成立。

但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

二百多年来，尽管许许多多的数学家为解决这个猜想付出了艰辛的劳动，迄今为止它仍然是一个既没有得到正面证明也没有被推翻的命题。

十九世纪数学家康托（Cantor G.F.L.P.,1845.3.3~1918.1.6）耐心地试验了1000以内所有的偶数，奥培利又试验了1000~2000的全部偶数，他们都肯定了在所试验的范围内猜想是正确的。1911年梅利指出，从4到9000000之间绝大多数偶数都是两个素数之和，仅有14个数情况不明。后来甚至有人一直验算到三亿三千万这个数，都肯定了猜想是正确的。

1900年，德国数学家希尔伯特（Hilbert D.,1862.1.23~1943.2.14）在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个最重要的问题供二十世纪的数学家来研究。其中第八问题为素数问题；在提到哥德巴赫猜想时，希尔伯特说这是以往遗留的最重要的问题之一。

1921年，英国数学家哈代（Hardy G.H.,1877.2.7~1947.12.1）在哥本哈根召开的数学会议上说过，哥德巴赫猜想的困难程度可以和任何没有解决的数学问题相比。

近一百年来，哥德巴赫猜想吸引着世界上许多著名的数学家，并在证明上取得了很大的进展。在对一切偶数的研究方面，苏联人什尼列尔曼(1905~1938)第一个取得了成果，他指出任何整数都可以用一些素数的和来表示，而加数的个数不超过800000。1937年，苏联数学家维诺格拉夫（1891.9.14~1983.3.20）取得了进一步的成果，他证明了任何一个相当大的奇数都可以用三个素数的和来表示。中国数学家陈景润（1933~ ）于1966年取得了更大的进展，他证明了每一个充分大的偶数都可以表示为一个素数与另一个自然数之和，而这另一个自然数可以表示为至多两个素数的乘积。通常简称此结果为大偶数可表为\"1+2\"。在陈景润之前，关于大偶数可表示为s个素数之积与t个素数之积的和的\"s+ t\"问题的研究进展情况如下：

1920年，挪威的布龙证明了\"9+9\"；

1924年，德国的拉特马赫证明了\"7+7\"；

1932年，英国的埃斯特曼证明了\"6+6\"；

1937年，意大利的蕾西先后证明了\"5+7\"、\"4+9\"、\"3+15\"和\"2+366\"；

1938年，苏联的布赫夕太勃证明了\"5+5\"，1940年他又证明了\"4+4\"；

1948年，匈牙利的兰恩尼证明了\"1+C\"，其中C很大；

1956年，中国的王元（1930~ ）证明了\"3+4\"；1957年，他又先后证明了\"3+3\"和\"2+3\"；

1962年，中国的潘承洞（1934~ ）和苏联的巴尔巴恩证明了\"1+5\"；

1962年，中国的王元证明了\"1+4\"；1963年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证也证明了\"1+4\"；

1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉夫及意大利的波波里证明了\"1+3\"；

1966后，中国的陈景润证明了\"1+2\"。

最终将由哪个国家的哪位数学家攻克大偶数表为两个素数之和（即\"1+1\"）的问题，现在还无法予测。