2023年重庆市南开中学高考数学第七次质检试卷+答案解析(附后)

2024年1月6日发(作者：初二数学试卷期末考试分析)

2023年重庆市南开中学高考数学第七次质检试卷1.

已知函数A.

2.

已知向量A.

3.

已知方程则复数的定义域，值域，则( )B.

，C.

，若向量与D.

垂直，则实数( )B. C. D.

，其中i为虚数单位，在复数范围内有一根为在复平面上对应的点在( )A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D.

第四象限生活中有很多球缺状的建筑.球被平面截下的部分叫4.

如图，做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高.球冠面积公式为，球缺的体积公式为，其中R为球的半径，H为球缺的高.现有一个球被一平面所截形成两个2，则这两个球缺的体积之比为( )球缺，若两个球冠的面积之比为1：A.

5.

已知A.

46.

已知A.

，B.

，且C.

，则D.

的最小值为( )B.

6，，C.

8C.

，D.

12D.

，则( )，则a，b，c的大小关系为( )B.

7.

已知角，满足A.

8.

如图，椭圆B. C.

1的左焦点为，D.

2右顶点为A，点Q在y轴上，点P在椭圆上，且满足轴，四边形是等腰梯形，直线与y轴交于点，则椭圆的离心率为( )A.

B.

第1页，共21页

C.

D.

9.

下列命题中正确的是( )A.

一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，x，11，11，去掉x与不去掉x，它们的分位数都不变，则，，，…，与，，，…，，设它们的平均值分别为与B.

两组数据，将它们合并在一起，则总体的平均值为C.

已知离散型随机变量，则D.

线性回归模型中，相关系数r的值越大，则这两个变量线性相关性越强10.

红黄蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红黄蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲调配出红色”；B表示事件“甲调配出绿色”；C表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是( )A.

事件A与事件C是独立事件C.

11.

已知轴，直线，，分别是函数B.

事件A与事件B是互斥事件D.

为函数图象在点A，B处的切线，且，图象上两点，且的交点为P，，与y轴的交点分别为M，N，则下列结论正确的是( )A.

B.

C.

的面积图象相切，，，则下列结论正确的有D.

存在直线，使与函数12.

已知数列( )满足A.

数列C.

13.

已知作答是递增数列B.

D.

，则______

用数字第2页，共21页

14.

将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍纵坐标保持的图象，则函数在的值域为不变，再向左平移个单位长度后得到函数______ .15.

已知函数是定义在R上的奇函数，若不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围是______ .16.

已知抛物线C：的焦点为F，准线交x轴于点D，过点F作倾斜角为为锐平面角的直线交抛物线于A，B两点，如图，把平面ADF沿x轴折起，使平面BDF，则三棱锥弦值取值范围为______ .体积为______

；若，则异面直线AD，BF所成角的余17.

已知与都是正项数列，满足的前n项和为，，，且满足，等比数列求数列记数列，的通项公式；的前n项和为，求满足不等式的自然数n的最小值.18.

在中，a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边，且求角A的大小；记的面积为S，若，求的最小值.19.

有一种水果，在成熟以后进行装箱，每一箱10个.根据以往经验，该种水果每箱含有0，1，2个坏果的概率分别为，，现随机取三箱该水果，求三箱水果中坏果总数恰有2个的概率；现随机打开一箱该水果，并从中任取2个，设X为坏水果的个数，求X的分布列及期望.20.

如图，三棱锥满足：，，，第3页，共21页

求证：；的平面角的正弦值.若D为BC中点，求二面角21.

已知双曲线，点M为双曲线上一动点，且求双曲线C的标准方程；如图，已知直线l：的左、右焦点分别为，，左顶点为的最小值为18，O为坐标原点.与x轴的正半轴交于点T，过点T的直线交双曲线C右支于点B，D，直线AB，AD分别交直线l于点P，Q，若O，A，P，Q四点共圆，求实数m的值.22.

已知函数当若时，求函数，的单调区间；在处的切线，且l与的图像在，设直线l为内有两个不同公共点，求实数a的取值范围.第4页，共21页

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：的值域，，，，，，的定义域，，故选：根据的定义域可求出的值域，从而得出，然后可求出a，b的值，从而求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了根据函数定义域求函数值域的方法，集合的列举法的定义，集合相等的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C

【解析】解：向量，，向量，求得故选：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得t的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．与垂直，，3.【答案】B

【解析】解：方程则方程的另一根为故故复数故选：根据已知条件，先求出a，b，再结合复数的几何意义，即可求解．本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．，，解得在复平面上对应的点，，在第二象限．在复数范围内有一根为，4.【答案】C

第5页，共21页

【解析】解：设小球缺的高为由题意可得，，即小球缺的体积大球缺的体积，则，大球缺的高为，，，则，；小球缺与大球缺的体积比为，故选：设小球缺的高为，大球缺的高为，则，由球冠面积比可得，与R的关系，再把球缺体积用含有R的代数式表示，则答案可求．本题考查球缺表面积与体积的计算，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】A

【解析】解：，，且，，当且仅当整理得：解得或的最小值为故选：依题意，得得答案．本题考查了基本不等式及其应用，考查转化思想与运算能力，属于基础题．，利用基本不等式可得，解之可舍，，时取等号，6.【答案】D

【解析】解：，，，故选：，第6页，共21页

利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用，是基础题．7.【答案】B

【解析】解：由得所以所以故选：根据和角公式可得求解．本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可，，，，8.【答案】D

【解析】解：由题意，作轴于点M，因为四边形则点P的横坐标为可得因为是等腰梯形，则，代入椭圆方程，即，则，，，，，由，则，化简可得，即对于当时，，，当，同时除，可得，，时，，第7页，共21页

在且故选：作时，方程，故应舍，所以有根，轴于点M，得到点P的纵坐标，从而得到PM，然后根据，列出方程，即可得到结果．本题考查椭圆的性质，解答本题的关键在于得到点P的纵坐标，然后根据三角形相似列出方程，得到a，b，c的关系式，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】AB

【解析】解：对于A：一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9， x，11，11，共10个数据，因为，所以样本数据的分位数为第8个和第9个数据的平均数，即，若去掉 x，一组从小到大排列的数据0，1，3，4，6，7，9，11，11，共9个数据，因为，所以样本数据的分位数为第8个数据，即11，，解得，…，，A选项正确；与去掉 x与不去掉 x，它们的对于B：两组数据，，分位数都不变，则，…，与，，，设它们的平均值分别为，将它们合并在一起，有值为，B选项正确；，有，则，则总体的平均对于C：已知离散型随机变量，C选项错误；对于D：线性回归模型中，相关系数故选：的值越大，则这两个变量线性相关性越强，D选项错误．根据百分位数的计算公式，计算即可验证选项A；由平均值的定义和公式验证选项B；由二项分布的方差公式计算结果验证选项C；由线性相关系数的性质判断选项本题主要考查线性相关强度，属于中档题．10.【答案】BD

【解析】解：根据题意，A事件两瓶均为红色颜料，C事件为一瓶红色一瓶蓝色颜料，则事件A发生事件C必定不发生，第8页，共21页

，，，故A，C不是独立事件，是互斥事件，故A错误；若调出红色，需要两瓶颜料均为红色，若调出绿色，则需1瓶黄色和1瓶蓝色，此时调出红色和调出绿色不同时发生，故A，B为互斥事件，故B正确；，若C事件发生，则甲有三种情况，分别为甲取两瓶黄色，甲取1瓶黄色和1瓶红色或蓝色，甲取1瓶红色1瓶蓝色，则故选：对于AB，根据独立事件和互斥事件的概念即可判断；对于C，根据条件概率公式判定；对于D，将B，C事件的各种情形一一分析得出其概率即可．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、独立事件、互斥事件、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．，故D正确．11.【答案】ACD

【解析】解：根据题意，对于函数，其草图如图：对于A，轴，则，而且则确；对于B，由A的结论，又由对于C，直线直线，则的方程为，则有，，当且仅当，变形可得：，变形可得：，时等号成立，B错误；，，，，则有，两直线垂直，A正，必有，即的方程为则，同时，两直线的交点横坐标为，由于第9页，共21页

，必有，则有对于D，假设存在直线直线函数的方程为：，，C正确；，使与函数，，则切线的斜率，变形可得为，故函数，在点H处切线的方程为图象相切，且设切点为H，其坐标为，假设若，解可得，则有方程有解，又由设由于当故方程故选：，则时，，，其导数，则函数，当在，，上递增，，则函数，使与函数存在零点，图象相切，D正确；时，有解，则存在直线根据题意，对于A，由导数的几何意义分析直线等式分析可得B错误；对于C，求出直线出，、的斜率，易得A正确；对于B，由基本不的值，求图象相切，的方程，分析可得P的坐标以及，使与函数的面积，分析可得C正确；对于D，假设存在直线且设切点为H，求出过切点H的切线方程，与直线分析比较，可得D正确；综合可得答案．本题考查利用导数分曲线的切线方程，涉及导数的几何意义，属于中档题．12.【答案】ABC

【解析】解：对于选项A，已知则又，，即数列，，是递增数列，即选项A正确；，，，对于选项B，已知则第10页，共21页

则又对于C：，即当满足上式，即时，，即选项B正确；，，，，累加得对于D：，两边取对数可得：，求和得：故选：由，可判断A；由，故C正确；，，，故D错误．，可判断B；由已知可得，判断C；由已知可得本题考查递推公式的应用，考查运算求解能力，属中档题．，两边取对数可判断13.【答案】63

【解析】解：已知当当所以故答案为：根据展开式，当时，有，当时，有，可计算时，有时，有，，，本题主要考查了二项式系数的性质，考查了赋值法的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：函数变，得到函数

的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍纵坐标保持不的图象，第11页，共21页

再向左平移个单位长度后得到函数由于故所以故函数的值域为故答案为：，，的图象，首先利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换求出函数域求出函数的值域．的关系式，进一步利用函数的定义本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．15.【答案】

是定义在R上的奇函数，【解析】解：因为函数所以所以解得所以所以，，，，在R上单调递增，对任意的对任意的为奇函数，对任意的在R上单调递增，对任意的，对任意的对任意的，则，，对任意的恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，恒成立，因为不等式所以因为所以因为所以因为所以所以令所以第12页，共21页

当令时，，，，，所以在所以所以当所以当令，时，不等式，时，不等式，为，，所以在所以所以，上，单调递减，，，为恒成立，上，，单调递减，综上所述，m的取值范围故答案为：由函数是奇函数可得，解得a，则对任意的的对任意的恒成立，令，则，分析恒成立，可得，进而可得时，当时，当的单调性，由于不等式对任意，时，讨论不恒成立，分三种情况：当等式恒成立时m的取值范围．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】

第13页，共21页

【解析】解：过B作，准线，垂足为M，N，在又，，，，，同理得过A作，轴于H，由于平面平面BDF，平面BDF，且交线为DF，，平面ADF，三棱锥的体积为，，，，，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，第14页，共21页

，，，，当时，，，，，是锐角，异面直线AD，BF所成角等于，异面直线AD，BF所成角的余弦值取值范围为故答案为：；根据抛物线焦点弦的性质可得，，进而根据面面垂直能求出三棱锥的高，由此能求出三棱锥的体积；建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD，BF所成角的余弦值取值范围．本题考查抛物线焦点弦的性质、面面垂直、三棱锥的高、三棱锥的体积、异面直线所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：当当则由所以，故，时，时，，可得；，，，是首项为1，公差为1的等差数列，故的公比为q，，设等比数列则，得即得或，舍，，第15页，共21页

则设则，则数列是一个单调递增数列，，【解析】，则满足的n的最小值为，

根据数列递推关系，构造一个等差数列，然后根据等差数列，等比数列的通项公式进行求解即可．求出数列的通项公式，利用分组求和法进行求解即可．本题主要考查递推数列的应用，根据等差等比数列的通项公式，以及利用分组求和法进行求和是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，，；，，，，即，，，，当且仅当，即，时，等号成立，第16页，共21页

，当且仅当时，等号成立，故【解析】的最小值为

根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；，再对两边同时平方，并结合基本不等式的公式，根据已知条件，先求出三角形面积公式，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．19.【答案】解：三箱水果中坏果总数恰有2个的情况有：有一箱有2个坏果，其他两箱没有坏果，或者有两箱各有一个坏果，另一箱没有坏果，设“三箱水果中坏果总数恰有2个“为事件A，则其概率为；由题意可知：X可取0，1，2，则，，，所以X的分布列为： X P期望为【解析】 0

1

2

根据两种情况以及概率乘法公式即可求解；分别求解X为0，1，2的概率，即可求解分布列以及期望．本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．20.【答案】，因为所以证明：取AB的中点Q，连接CQ，PQ，则，，，所以，第17页，共21页

因为Q为AB的中点，所以又所以因为，CQ、平面PCQ，平面PCQ，所以，平面PCQ，解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设点P在底面ABC内的投影为点O，则点O一定在CQ的延长线上，因为因为在在解得所以点所以中，中，，，，，，则，所以，，，，，即，，，，所以，所以，即，即，，，，设平面PAD的法向量为令，则，同理可得，平面PCD的法向量为所以，所以二面角【解析】的平面角的正弦值为取AB的中点Q，连接CQ，PQ，可证，

，从而知平面PCQ，再由线面垂直的性质定理，得证；以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面几何知识求得点P的坐标，再分别求得平面PAD和平面PCD的法向量与，然后计算，的值，即可得解．本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：点M取点或点M为双曲线上一动点，且可得最小值，的最小值为18，第18页，共21页

，又联立解得，，，，，双曲线C的标准方程为，设设直线BD的方程为，，，代入双曲线C的方程可得：，，，化为，直线AD与AB的方程分别为：可得，，A，P，Q四点共圆，，，，，，，，而，，化为解得因此【解析】或，，满足且

由点M为双曲线上一动点，且，而的最小值为18，可得点M取点，，联立解得a，b，即可得最小值，于是可得出双曲线C的标准方程．，设，，设直线BD的方程为，代入双曲线C的方程第19页，共21页

可得：，即，，直线AD与AB的方程分别为：，，根据O，A，P，Q四点共圆，可得，利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出本题考查了双曲线的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、四点共圆问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：令令所以函数由设则，当当时，时，，，，得，得的单调递增区间为可得直线l的方程为，，，，，单调递减区间为，，单调递增，，设①当由②当存在因为所以在，即使得，，，即，不满足条件，时，在上单调递增，在上单调递增，，上单调递增，在内只可能单调递减或者先减后增，第20页，共21页

又因为所以存在所以只需因为所以只需解得此时存在当，为函数的一个零点，在，上存在一个零点即可，，即可，，使得时，在，满足题意，内再无零点，综上所述，a的取值范围为【解析】由求导得可得直线l的方程为

，分析的符号，进而可得，设，求导分析单调性，由零点的存在性定理，即可得出答的单调性．案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．第21页，共21页