2024年3月31日发(作者：2022重庆一诊数学试卷)
几何证明练习题及答案
【知识要点】
1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；
2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；
3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。
【概念回顾】
1.全等三角形的性质：对应边（ ），对应角（ ）对应高
线（ ），对应中线（ ），对应角的角平分线（ ）。
2.在Rt△
ABC
中，∠
C
=90°，∠
A
=30°，则BC：AC：AB=（ ）。
【例题解析】
【题1】已知在ΔABC中，
A108
，AB＝AC，BD平分
ABC
．求证：
BC＝AB＋CD．
【题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ
的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ.
A
D
E
F
【题3】如图，AD为ΔABC的角平分线且
B
C
BD＝CD．求证：AB＝AC.
E
A
B
G
C
D
【题4】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB
∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF.
【题5】已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝
3，PB＝4，PC＝5．
求：∠APB的度数．
【题6】如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中
B C
A
P
线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。
（1） 求证：AE=CD;
（2） 若AC=12㎝，求BD的长.
【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等.
求证：（1）∠AEF=∠AFE
(2)角
B的度数
【题8】如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，
∠1=∠B，求证：AB=AC+CD.
【题9】如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的
中点，BE的延长线交AC于点F.
求证：AF=FC
1
2
【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A\'B\'CD\'的位
置，若∠B\'CB=30度，求AE的长.
【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE
的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN.
【题12】已知：如图，
AD
、
BC
相交于点
O
，
OA
=
OD
，
OB
=
OC
，点
E
、
F
在
AD
上，且
AE
=
DF
，∠
ABE
＝∠
DCF
.
求证：
BE‖CF
.
【巩固练习】
【练1】 如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF.
（1）请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的
结论。
（2）链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加
一个什么条件？
【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜
边上的一个动点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为E。
（1）求证：PE=BO
（2）设AC=3a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的
函数关系式。
【练3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是
AB、CD的中点，AD，BC的延长线叫MN与E、F
求证∠DEN=∠F.
【练4】如图，若C在直线OB上，试判断△CDM形状。
【练5】已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直
角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD
1、
【练6】如图，等边三角形ABC的边长为2，点P和点Q分别是从
A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射
线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。设PQ与直线AC相交
于点D，作PE⊥AC于点E，当P和Q运动时，线段DE的长度是否
改变？证明你的结论。
【提示】
【题1】分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌
ΔBED．由已知可得：
ABDDBE18
，
ABED108
，
CABC36
．∴
DECEDC72
，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．
【题2】分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转
90
即可．
∵
FABBAEEADBAE90
．∴
FBAEDA
．
又∵
FBAEDA90
，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴
ＤＥ＝ＤＦ．
【题3】分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴
ＥＣ＝ＡＢ．
∵
BADCAD
．∴
ECAD
．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．
【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形
证明的人会在这失手。
证明：∵BF=CE
又∵BF+CF=BC
CE+CF=EF
∴BC=EF
∵AB∥DE，AC∥FD
∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA
又∵BF=CE
∴△DEF≌△ABC（ASA）
∴AB=DE，AC=DF
【题5】顺时针旋转△ABP 60
0
，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。
可得△PQC是直角三角形。
所以∠APB=150
0
。
【题6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的
条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公
共角是否能等于90°，能说明它俩相等。
证明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE
∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°
∵∠D+∠BCD=90°
∠FEC+∠BCD=90°
∴∠D=∠FEC
又∵∠DBC=∠ACE=90°，AC=BC
∴△DBC≌△ACE（HL）
∴AE=CD
（2）由（1）可知 △BDC≌△ACE
∴BC=AC=12㎝，BD=CE
∵AE是BC边上的中线
1
∴BE=EC=
2
BC=6㎝
∵BD=CE
∴BD=6㎝
【题7】解：
∵CB=CE,CD=CF
∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD
∵∠B=∠D(菱形的对角相等）
∴∠CEB=∠CFD
∵∠CEF=∠CFE=60°
∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∠CED+∠CFE+∠AFE=180°
∴∠AEF=∠AFE
(2)设∠B=X,则∠A=180°—X
，
∠CEB=X
∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180°
∴ (180°－X ) +2∠AEF=180°
∴∠AEF=X/2
∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°
∴X+60°+X/2=180°
∴X=80°
∴∠B=80°
【题8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，
只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE
相等，从而证明出来。
证明：∵∠AED是△EDB的一个外角
又∵∠1=∠B
∴∠AED=2∠B
∴∠AED=∠C=2∠B
∵AD是△ABC的角平分线
∴∠CAD=∠DAE
又∵∠AED=∠C，AD=DA
∴△ACD≌△AED（AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵∠1=∠B
∴DE=BE
∴CD=BE
∵AB=AE+BE
又∵AC=AE，CD=BE
∴AB=AC+CD
【题9】解析：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC
又∵BD=DC
∴DG∥BF
∴AE∶ED=AF∶FG
∵AE=ED
∴AF=FG
∴
AF
1
=
FC
2
∴即AF=FC
1
2
【题10】提示：证明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四点共圆。
四边形EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形）
【题11】
所以 ∠BAM=∠CBN ，
证明：因为△ABC为等边三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC，
又因为∠CBM=∠ACN 所以∠ABM=∠BCN
在△ABM和△BCN中，有AB=BC
∠BAM=∠CBN
∠ABM=∠BCN
由三角形全等的判定ASA得
△ABM和△BCN全等
所以 AM=BN
【题12】分析： 要证明
BE‖CF
，只要证明∠
E
＝∠
F
；已知∠
ABE
＝∠
DCF
，又由三角形的外角性质可知∠
E
＝∠
BAO
﹣∠
ABE
，∠
F
＝∠
CDO
﹣∠
DCF
，因此只要证明∠
BAO
＝∠
CDO
.
更多推荐
证明,三角形,线段
发布评论