【DOC】数学对人的发展作用概论

2024年3月6日发(作者：阳光一年级上册数学试卷)

第4章 数学对人的发展作用概论

学习和研究数学不仅可以提高人的数学素养，而且可以优化智能结构、健全心理素质、增强审美意识，完善人格品质。本章从几个侧面说明数学对人的发展的重要作用。

4.1 对勤奋与自强精神的培养

在数学的学习和研究中，证明和求解数学问题是意志的磨练。当人们在证明和求解那些对他们来说并不太容易的数学问题时，就学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待灵感的到来，学会了当灵感到来后的全力以赴。如果在数学的学习与研究中有机会尝尽为证明和求解而奋斗的喜怒衷乐，那么我们就会积累很多成功的经验。这些成功经验能够培养我们对事业锲而不舍的追求。

例如，人们都把牛顿视为有史以来最伟大的数学家。牛顿在1663年，即他21岁时，学习了三角学、欧几里得的《几何原本》，笛卡儿的《哲学原理》等。1664年，牛顿又学了笛卡儿的《几何学》，沃利斯的《无限算术》等。后来还读了韦达，奥特雷德的《数学入门》及惠更斯的著作。由此了解了一批数学家的贡献，并为他后来的研究工作奠定了一定的基础。

牛顿反复研读经典，异常刻苦、勤奋，他曾追忆说，笛卡儿的《几何学》很难懂，只读了大约10页，就不得不停下来，然后再开始，比第一次稍进步一点，又停下来，再从头开始，直至真正掌握全书的内容。至此，牛顿对笛卡儿几何学的理解比对欧氏几何的理解要深刻些，他又开始重读欧氏几何，接着又第二次研读笛卡儿的几何学。后来他还悉心研读他的老师巴罗所编的《原本》和《数据》两书。1676年，牛顿在给胡克的一封信中写道，如果我看得更远一些，那是由于我站在巨人们的肩上。此时的牛顿已是成绩卓著，他就是这样研读经典，推陈出新。

比伯巴赫猜想的证明是一个十分艰辛的过程。它说的是单位圆上单叶函数f(z)的幂级数zazaz，其所有的系数满足不等式：ak,k2,3,。这一猜想是比伯巴赫于1916年提出来的。他只证明了a2.

1923年，一位德国数学家证明了a3。后来，斯坦福的两位数学家证明了a4；1968年证明了a6；1978年证明了a5。这离最终的结论还十分遥远。而且，以这样的方法下去无法达到最终的目标。于是另辟途径，设法先证明aCk,k2,3,，然后，逐渐减小C的值，直到C1。人们一步一步的这样艰辛探索，取得了如下的成果：

aek,e2.71828,k2,3,;a1.24k,k2,3,;

a1.08k,k2,3,;

a1.07k,k2,3,;

1983年，由美国数学家路易斯·德·布朗吉斯证明22nnk23465kkkkk

了ak,k2,3,。

从问题的提出到问题的最终解决，经历了20世纪中67年的努力，是几代人奋斗的结果。其中还有一个十分重要的插曲。

美国数学家布朗吉斯曾用了很长时间研究比伯巴赫猜想，在20世纪50年代，他发表了最初关于这一问题的研究结果，后来他失败了，他的证明是错误的。由于这件事情，他被数学界冷落了30余年，在这个艰辛的历程中，他不仅得不到资助，而且还受到严重打击，在他继续努力的时候，常有人对他说，别再浪费你的时间了，然而布朗吉斯毫不动摇，终于在1983年获得成功.但是，在他成功之时，美国数学界很不信任他，他把最新的证明文稿至少寄给了12位数学家，但没有一个人愿意评审它。最后，他在前苏联找到了支持者。他的证明文稿长达350多页，数学家米林曾5次听他报告，每次4小时，经过仔细推敲，确认其正确。后来，一位美国数学家也终于出来说，布朗吉斯的这项工作比任何数学家起初所能预料的都要好，这是一项伟大的成果。

关于平行公理的探讨，虽然波尔约的父亲提醒波尔约说这是可以吞噬掉好几个牛顿的深渊，但是波尔约仍要闯龙潭。如果把在这个问题上进行探索的人们串起来，那可是一个绵延两千多年的探险队。许多人确实是冒着一辈子一事无成的巨大风险锲而不舍的追求k

真理。

4.2 对其它一些人文素质的培养

4.2.1 敬业与责任

数学的精确性有利于培养人的敬业与责任素质。数学的精确性表现在定义的准确性，推理的逻辑严密性和结论的确定无疑与无可争辩性。这种精确性的训练不仅能够培养我们热爱数学，还能够培养我们的耐心、毅力及对事业的执着精神。数学的精确性蕴含的人文精神能使我们养成缜密、有条理的思维方式，有助于培养我们一丝不苟的工作态度、敬业精神和强烈的责任感。

4.2.2 理智与自律

数学的规则有助于培养我们理智与自律素质。数学中的很多结论是在概念的定义和作为推理基础的公设的约束下形成的逻辑结果，而不是情感世界的宣泄；每个数学问题的解决都必须遵守数学规则。这种对规则的敬重能够迁移到人和事物上，使人们形成一种对社会公德、秩序、法律等的内在自我约束力。

4.2.3 求实与诚信

数学的论证有利于培养求实与诚信素质。数学的许多理论是建立在公理体系之上的，研究起来有法可依，公理本身是人们对有关现象进行大量考察、探索，以实事求是的科学态度建立的。我们学习研究这些理论首先是建立在对公理深信不疑的基础上。在学习研究过程中，需要对这些内容进行推理论证，来不得半点虚假，这种求真务实的学风会直接影响和迁移到我们的日常生活中，对建立诚信社会能起到促进作用。

公理化方法不仅在数学中而且在其它学科中有着广泛的应用。物理学中的力学、量子力学、热力学和统计力学等许多分支利用了公理化方法。特别值得关注的是康德、黑格尔等人在哲学、伦理学等人文科学中也利用公理化的思想方法。

公理化方法起源于数学，数学的公理化思想方法产生广泛影响经历了一个过程，数学本身的公理化程度和水平也经历了三个不同的发展阶段。

首先是实质公理化时期，如欧氏几何的出现，它的原始概念和原始命题（公理）基本上是对已有的不证自明的事实的高度概括，带有明显依赖于经验或感性直观的特征。牛顿的力学体系也使用了公理化方法，他的三大定律作为公理，也具有实质公理化特征；

其次是形式公理化时期，它是伴随着非欧几何的产

生而出现的。此时，公理的起点进一步被形式化，符号化。按照这种思想，希尔伯特把欧氏几何也改造的更加形式化。他甚至指出，几何公理中的点、线、面这样一些术语只具有形式的意义，它们也可以改说为桌子、椅子、啤酒杯。

第三个阶段是元数学时期，以希尔伯特为代表的数学家在进一步推动公理化的过程中，加强了数学基础研究，使公理化进入了元数学时期。此时，概念成了符号，命题成了公式，推理成了公式的变形，形式系统成了研究对象。数学成了更加抽象、更加形式化的系统。

对于普通大学生来说，实质公理化方法就足够了，也是必要的。其所以是必要的，是由于公理化方法不仅使数学本身的内在统一性、和谐性得到充分的体现，而且有利于我们更清楚地从微观到宏观看到数学世界的本质；公理化方法不仅使人更易认识世界，而且为数学发展提供必要的启示和工具；公理化方法不仅对人自身逻辑思维的发展起极为积极的推动作用，而且在一定的程度上使思维经济有效。

在哲学中，物质的定义是这样的：物质是独立存在于人的意识之外的客观存在；从逻辑的意义上讲，它使用了意识、客观、存在这些概念，那么这些概念就应当是已知的。但是，存在的定义是这样的：存在是不依人的意志为转移的客观世界，即物质，这样就用

物质的概念定义了存在，而前面是用存在的概念定义了物质。这就是目前某些人文社会科学中存在的明显的逻辑问题。学了公理化思想，显然可以帮助我们理解这一点。当然，也有利于这些学科的科学化。

4.2.4 合作与民主

数学的研究有利于培养人们的合作与民主精神。数学中许多内容起初的研究都与其它学科相伴而生。

例如，19世纪的数学家起先都关心自然界的研究，因而物理学成为当时数学研究的主要启示，一些高度复杂的数学理论，正是为了处理这些物理问题而创建起来的；

现在数学的应用更是无处不在。数学应用的广泛性，体现了数学是多元复合体，也体现了数学研究的合作与民主。由此而折射出的民主与合作精神是当代高科技精神的突出特点。对人们民主与合作精神的培养有十分重要的意义。

又如现在的人口理论，社会保障系统理论等的研究，就集中了数学工作者，人文科学工作者，控制理论工作者于一体的研究团队，开展学术研究。作为学术民主与合作的必然结果，这些队伍的人数剧增，越来越庞大。相关的国际会议也层出不穷。显示出数学研究对培养民主与合作精神的重要性。

4.3对审美素质的培养

数学美自古以来就吸引着人们的注意力，它不同于自然美和艺术美。数学美是一种理性的美，没有一定数学素养的人，很难感受数学美，更难发现数学美。

数学以其简洁性、对称性、和谐性、奇异性等为特征表现美。一些表面上看来复杂得令人眼花缭乱的对象，一经数学的分析，便显得井然有序，从而唤起理性上的美感。例如1,i,e,这些看上去互不相干的数，居然以e1这样简单的形式和谐地统一在一起，它被认为是充分揭示数学内在美的一个公式。

对称美是数学美的重要组成部分，数学图形及数学表达式的对称，不仅给人视觉上的愉悦，也常给人们理解和记忆上的不少便利。

由此可以看出，一方面，数学美给人以精神享受，从而激发起人们学习和研究的兴趣；另一方面，对于数学美的追求，又会给数学的发展带来积极的影响。数学中的审美原则在数学发现中占有重要地位。M·克莱因曾经指出：“进行数学创造的最主要的趋策力是对美的追求。”研究表明，美感与直觉紧密相关，审美能力越强，则数学直觉能力越强，从而数学发现和发明的能力也就越强。可见数学中充满美，而绚丽多姿又深邃含蓄的数学美需要人们去发现，只有发现才i

能欣赏和享受，在数学美的挖掘和欣赏过种中，要把对这种美的感受和欣赏提高到文化层面上，达到激发我们热爱生活，丰富想象，愉悦情调，涵养道德的目的；就数学的应用而言，数学是现代科技的语言和思想工具，现代科技由于应用了数学而得到意想不到的发展，这种完美结合，体现了客观世界的和谐统一。我们要注意从中提高自己的审美素质。

4.4 对分析与归纳能力的培养

数学的抽象有利于培养我们分析与归纳的思维能力。数学中的许多基本概念都是人们根据各种自然和社会现象所反映的各种具体属性，为了用统一的方法去描述这些属性而产生的。在概念的形成过程中，要经过对现象进行分析整理、归纳加工，抽象概括等一系列思维活动。例如：函数、导数、定积分等概念的形成。这种活动的经验和方法会自觉或不自觉地被移植到以后的工作、生活中，有助于我们分析与归纳能力的提高。

数学中的抽象分为弱抽象与强抽象两种相对的情形。以如下的简单例子来说明这两个概念。按照下面的顺序发展是一个弱抽象过程：

等腰直角三角形直角三角形任意三角形；

反过来则是强抽象过程。人们一般对弱抽象有更强的

抽象感。

数学要求的归纳是完全性归纳，即要求包含多个对象的命题对其中的所有对象都应成立。这一要求，其意义不仅对所有的自然科学是重要的，而且对人文社会科学也是重要的。例如，在人文社会科学的论证方式中，常见一种以例代证的作法，举一两个例子或两三个例子，便作出一个对包含诸多对象的命题的最终判断，这样，其科学性就有疑问。因此，借鉴数学完全归纳的思维方式，可以极大的提高人文社会科学学科的科学性。

4.5 对直觉及想象能力的培养

数学中的许多重要发展对培养人们的直觉与想象能力有重要意义。美国数学史专家M·克莱因曾经指出：“数学与科学中的巨大发展，几乎总是建立在几百年中做出一点一滴贡献的许多人的工作之上的。需要有一个人来走那最后和最高的一步，这个人要能够敏锐地从猜测和说明中清理出前人的有价值的想法，有足够想象力地把这些碎片重新组织起来，并且足够大胆的制定出一个宏伟的计划。在微积分中，这个人就是牛顿”。在数学的发展中，许多新理论的创立都需要借助于直觉,想象和幻想。数学直觉是对数学对象或问题等的直接领悟或觉察。下面我们来看一个直觉

的具体例子。

笛卡儿是一个著名的数学家，1617年，笛卡儿在军营服役时，就经常思考并且成功地解决过一些数学问题。当时笛卡儿认为代数理论比较杂乱，不利于思想的艺术，不像一门改进思想的科学。同时，他又觉得几何学理论过于抽象，而且又过多地依赖于图形。因此，笛卡儿经常甚至是终日沉迷于代数与几何问题的思考。1619年11月10日，他带着一系列思索入睡了，一连作了几个梦，这天晚上他感到自己发现了一种不可思议的科学基础。笛卡儿后来说，第二天，他开始懂得这惊人发现的基本原理。这就是数学史上著名的代数与几何的一次伟大汇合。开创了数学发展的新篇章，，创立了解析几何学。显然，直觉起了先导作用。

著名数学家希尔伯特，十分重视直觉和想象在数学创造中的作用。他说，在算术中，也像在几何学中一样，我们通常都不会循着推理的链条去追溯最初的公理。相反地，特别是在解决一个问题时，我们往往凭借对算术符号的性质的某种算术直觉，迅速地、不自觉地去应用并不绝对可靠的公理组合，这种算术直觉在算术中是不可缺少的，就像在几何学中不能没有几何想像一样。

1. 为了增强我们的直觉能力，先说明一下数学直觉的特点。

(1) 非逻辑性。直觉本身是相对于逻辑而言的，因此这一特性是不言自明的。也许在某个特定的过程中可以看到逻辑的影子，但直觉判断的发生主要不是逻辑的，不是由推理和逻辑判断而出现的结果；

(2) 易逝性。正是由于直觉的非逻辑性而导致了它的易逝性。由于直觉产生的概念和判断并未锁定在一个逻辑的链条之中，所以它可以像一粒散落的珍珠容易丢失。富有经验的人特别留意自己的思想火花，而不轻易让它遗失，紧紧地抓住它，并反复的思索和锤炼它；

(3) 偶然性，自发性。直觉常以顿悟、灵感的形式出现，其出现的时间、地点常出乎意料。但是要特别注意，灵感并不光顾懒汉，灵感是属于那些勤于耕耘、勤于思索的人。但又不是只要勤奋就能产生灵感。它与思维方式等因素也密切相关；

(4) 情感性。 直觉与审美能力有关，与审美情感有关。对数学有巨大热情的人，对数学一往情深的人，更容易产生数学直觉。反过来，从数学获得直觉的结果会使人产生更浓烈的感情、喜悦以至于迷恋其中。

2. 从数学直觉的以上4个特点，可以得到如下几点启示。

(1) 当你持久的思索仍找不到答案的时候，不妨搁置一下，去做做别的事情，这种转换期间获得直觉的可能性是存在的。大脑中这一兴奋中心的抑制常常意

味着另一兴奋中心的开始.这对获得灵感是十分有利的；

(2) 当你百思不得其解时，暂时忘却它，可能还会增加产生其它联想的机会，不仅在不同的工作之间而且在工作与休闲之间转换，有利于产生灵感；

(3) 有意识地进行各种形式的学术交流，阅读同一学科不同观点的论文，阅读一些不同学科的论著，尤其是进行面对面的学术交流或思想碰撞，对产生直觉是十分重要的。

例如，当代英国数学家阿蒂亚从事代数几何方面的研究工作，有一次沃德作有关物理的几何问题报告，因为领域似乎不同，阿蒂亚曾犹豫是否去听，最后还是去了，并且听懂了沃德所讲的内容。经过整整3天的思索，阿蒂亚突然发现这些内容能与代数几何挂上钩，这使他关于瞬时子的工作取得进展。事后阿蒂亚回想，若是那次以为报告与已无关而未去听，可能那个问题还是老样子。

又如，1982年秋天，在加拿大召开的一次学术会议期间，桑迪亚实验室的应用数学部主任辛蒙斯偶然与另一位数学家和工程师瓦洛克一起喝啤酒，谈起因子分解。来自克雷计算机公司的瓦洛克提到克雷计算机与普通计算机有所不同，其内部运行可能适用于因子分解。回家后，辛蒙斯和同事们运用克雷计算机进行了一系列计算，终于获得58位、60位、63位、67

位数的因子分解，并通过进一步努力，终于分解了一个300年未分解成功的69位数。

(4) 别忘了特殊的时间，特殊的地点，特殊的场合会有特殊的效果。

例如，1843年10月16日黄昏，哈密顿和妻子沿着都柏林皇家运河散步，清凉的晚风驱散了一天的疲劳，思维的海洋十分平静，没有一丝波澜，然而谁知哈密顿大脑皮层深处的脑细仍在默默地活动着。突然，他脑海理激起了波涛，顿然领悟到三度空间内的几何运算所要叙述的不是三元，而是四元。后来他追述道，当时我感到思想的电路接通了，而从中落下的火花就是i,j,k之间的基本方程。它们恰恰就是我以后使用的那个样子。我当场抽出笔记本，就将这些做了记录，这一直觉发生在都柏林的布洛翰桥上，带有明显的偶然性。显然，哈密顿清楚这种直觉是稍纵即逝的，所以及时作了记录。但是，这也是千虑一得，是哈密顿经过长达15个春秋的思索之后才以偶然形式出现的。

(5) 偶然迸发出的思想火花应及时记录下来，并进行深层的思索 ，因为直觉地可靠性还需要接受再检验。

(6) 直觉出现的非逻辑性、易逝性及随机性等，并不能说明偶然性在支配一切。务必记住，勤于思索是最重要的基础，没有这一基础，一切机遇都难以抓住。

思考题

4-1浅谈数学对勤奋与自强精神的培养。

4-2浅谈数学对敬业与责任素质的培养。

4-3浅谈数学对理智与自律素质的培养。

4-4浅谈数学对求实与诚信素质的培养。

4-5浅谈数学对合作与民主精神的培养。

4-6浅谈数学对审美素质的培养。

4-7浅谈数学对分析与归纳能力的培养。

4-8什么是数学直觉？它有哪些特点？

4-9从数学直觉的特点中可得到哪些启示。