初中数学常见8种最值问题

2023年12月26日发(作者：高一数学试卷及答案过程)

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的常见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考。

一. 配方法

例1. （2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）可取得的最小值为_________。

解：原式由此可知，当二. 设参数法

例2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数的最大值为________。

解：设由，易知，得

满足。则时，有最小值

。

从而，

由此可知，是关于t的方程的两个实根。

于是，有解得。故

的最大值为2。

例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若可取得的最小值为（ ）

，则A. 3 B. C. D. 6

解：设，则

1

从而可知，当三. 选主元法

时，取得最小值。故选（B）。

例4. （2004年全国初中数学竞赛）实数。则z的最大值是________。

解：由代入得。

满足

消去y并整理成以为主元的二次方程，由x为实数，则判别式。

即整理得

，

解得。

所以，z的最大值是四. 夹逼法

。

例5. （2003年北京市初二数学竞赛复赛）最大值。则解：由。设__________。

得

是非负实数，并且满足，记为m的最小值，y为m的

解得

2

由是非负实数，得

从而，解得又。

，

故

于是，

因此，

五. 构造方程法

例6. （2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b，如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。

解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程根，则因为所以，

，

。

的两个实数解得

所以k的最小值是

四. 由某字母所取的最值确定代数式的最值

例7. （2006年全国初中数学竞赛）已知。若，则3

为整数，且的最大值为_________。

解：由而由所以，当得和时，可知，代入的整数。

取得最大值，为得。

。

七. 借助几何图形法

例8. （2004年四川省初中数学联赛）函数值是________。

解：显然，若，则。因而，当的最小取最小值时，必然有。

如图1，作线段AB=4，令OA=x，则

。

，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，那么，问题转化为在AB上求一点O，使OC+OD最小。

图1

设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O，此时，。作EF//AB与DB的延长线交于F。

在易知所以，因此，函数八. 比较法

。

的最小值为5。

中，

，

4

例9. （2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包成，需付180000元；由乙、丙两队承包天完天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？

解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则

解得

元，则 又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付

解得

于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少。

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