2024年4月10日发(作者：山东疫情停课高三数学试卷)
数学模型习题参考解答
综合题目参考答案
1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D题)
(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.
(2)用多种方法可以证明
n
支球队“各队每两场比赛最小相隔场次
r
的上界”(如
n
=5时
上界为1)是
设赛程中某场比赛是
i
,
j
两队,
i
队参加的下一场比赛是
i
,
k
两队(
k
≠
j
),要使各队每
两场比赛最小相隔场次为
r
,则上述两场比赛之间必须有除
i
,
j
,
k
以外的2
r
支球队参赛,于
后
答
赛程.如对于
n
=8,
n
=9可以得到:
案
(3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的
n
编排出达到该上界的
a
w
.
网
A
5
A
6
A
7
A
8
是
n2r3
,注意到
r
为整数即得
r
.
2
n
3
k
h
d
课
A
1
A
2
A
3
A
4
A
1
A
2
× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3
18
1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2
19
w
w
w
.
A
3
A
4
5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2
19
9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3
19
13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4
18
17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4
17
21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4
17
×
25 16 2 19 7 22 12 4,4,3,2,2,2 17
A
5
A
6
A
7
A
8
81
c
o
m
每两场比
赛相隔场
次数
相隔
场次
总数
n3
,如:
2
数学模型习题参考解答
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
每两场比赛相隔场次数 相隔场
次总数
A
1
A
2
× 36 6 31 11 26 16 21 1
36 × 2 27 7 22 12 17 32
4,4,4,4,4,4,4,
4,4,4,4,4,4,3
3,3,4,4,4,4,4
4,4,4,4,3,3,3
28
27
26
A
4
31 27 35 × 3 18 8 13 23
11 7 15 3 × 34 24 29 19
26 22 30 18 34 × 4 9 14
16 12 20 8 24 4 × 33 28
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
a
w
.
网
1 32 10 23 19 14 28 5
×
答
案
21 17 25 13 29 9 33 × 5
可以看到,
n
=8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4,
n
=9时每两场比赛相隔场次数只
课
后
有3,4,以上结果可以推广,即
n
为偶数时每两场比赛相隔场次数只有
数时只有
n3n1
,.
22
(4)衡量赛程优劣的其他指标如
平均相隔场次 记第
i
队第
j
个间隔场次数为
c
ij
,
i1,2,,n,j1,2,n2
,则平均
n
n
2
1
相隔场次为
r
c
ij
n
(
n
2)
i1j1
w
w
w
.
r
是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算
n
=8,
n
=9的
r
,并讨论它是否达到上
界.
相隔场次的最大偏差 定义
f
Max
i
,
j
|
c
ij
r
|
gMax|
c
ij
(n2)r|
j
1
k
h
d
n
2
c
o
m
25
24
3,3,3,3,4,4,4
4,4,3,3,3,3
23
22
21
3,3,3,3,3,3,4
3,3,3,3,3,3,3,
3,4,3,4,3,4,3 24
A
3
6 2 × 35 15 30 20 25 10
nn
n
2
,
1
,,
n
为奇
22
2
82
数学模型习题参考解答
f
为整个赛程相隔场次的最大偏差,
g
为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小
越好.可以计算
n
=8,
n
=9的
f
,
g
,并讨论它是否达到上界.
参考文献工程数学学报第
20卷第5期2003
2. 影院座位设计
简单的形式,
00
如
g
(
)
;
h
(
)0
(
30
),
h
(
)
h
0
(
30)
.
0
(1)可
30
将作为必要条件,以
最大为最佳座位的标准.
是x的减函数.可得
x
≈1.7m,即第3(或4)排处
30
0
.又通过计算或分析可知
也是
x
的
减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.
k
h
d
2
arctan
H
c
x
tan
H
c
h
x
tan
H
c
x
tan
,
arctan
arctan
x
dx
dx
d
课
后
在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴
x
,可以得到
(2)设定一个座位间隔
l
(如0.5m),
x
从0(或
w
w
w
.
(0
0
~20
0
)
计算
的平均值,得
20
0
时其值最大.
(3)可设地板线是
x
的二次曲线
axbx
,寻求
a
,
b
使
的平均值最大.
实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线.
3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B题)
该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.
宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带
走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物
越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上
原有污物与洗涤剂的总和.
83
a
w
.
网
答
案
30
0
处)到
Dd
按
l
离散,对于
c
o
m
建立满意度函数
f
(
,
)
,可以认为
和
无关,
f
(
,
)
g
h
,
g
,
h
取尽量
数学模型习题参考解答
假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数
c
.
x
0
~初始污水量,
u
k
~
第
k
轮加水量,
x
k
~第
k
轮脱水量
(k1,2,,)
.设每轮脱水前后污物在水中的浓度不
变.于是
x
0
x
1
xx
x
x
,
1
2
,,
n
1
n
,
u
1
cu
2
c
c
u
n
1
cc
在最终污物量与初始污物量之比
x
n
/
x
0
小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量
u
k
(k1,,n)
,使总用水量最小,即
Min
u
k
u
k
k1
n
等价于
s.t.u
1
(u
2
c)
(u
n
c)
a
为常数可得
u
1
u
2
cu
n
c
,即第
2~n
轮加水量
u
k
u
(常数),第1轮加水
量
u
1
u
c
.
令
u
cx
,问题简化为
w
w
w
.
Min
n,u
nx
1
s.t.
1
x
n
其解为
x
0
,即
u
0
,而
n
.这与实际上是不合理的.应该加上对
u
的限制:
v
1
u
v
2
.则得
n
min
nn
max
,其中
n
min
nn
max
,
n
min
1
这样,
n
vc
ln(1/)
2
为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.
参考文献:《数学的实践与认识》第
27卷第1期,1997
84
k
h
d
课
Min
u
k
u
1
(u
2
c)(u
n
c)
后
答
c
n
s
.
t
.
u
1
u
2
c
(
u
n
c
)
a
w
.
网
案
c
o
m
x
n
c
n
.
得到
x
0
u
1
(
u
2
c
)
(
u
n
c
)
数学模型习题参考解答
4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B题)
题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么
职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教
龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k(对于讲师、助理教授、
副教授、教授,k分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如
数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=
a
k
b
k
t,a
k
,b
k
(k=0,1,2,3)根据一定条
件确定.
按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x的教师的工资都应为
按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按
照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行
随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),
再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.
参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001
5. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A题）
设
a
ij
为第i架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即
a
ij
arcsin(
8
k
h
d
课
后
答
薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的.
案
尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提
网
I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,
w
w
w
.
规划模型：
连线的长度），
ij
为第i架飞机相对于第j架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从
i指向j的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），
i
为第
架飞机飞行方向角调整量.
本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞
机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学
a
w
.
r
ij
c
o
m
)
其中
r
ij
为这两架飞机
85
d
2
I
I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x较大时
2
0
.另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函
dx
数学模型习题参考解答
Min
i
i
1
6
s.t.
ij
(
i
j
)a
ij
,
i,j1,,6,ij
i
30
,
i1,
,6
1
2
为了利用LINGO求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出
ij
和
ij
.
其实，
ij
和
ij
也是可以直接使用LINGO来计算的，这相当于解关于
ij
和
ij
的方程，只
是解方程并非LINDO软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO计算
ij
，
可输入如下模型到LINGO求解
ij
：
MIDEL：
1]SETS:
4]ENDSETS
5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:
6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+
7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));
8] ）；
w
w
w
.
11] );
12]DATA:
15]endata
END
计算结果如下：
9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:
10] (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2;
13] X0=150,85,150,145,130,0;
14] Y0=140,85,155,50,150,0;
k
h
d
课
3] link(plane,plane):alpha,sin2:
后
2] PLANE/1..6/：x0,y0;
a
w
.
网
86
答
案
c
o
m
数学模型习题参考解答
a
ij
j=1 2 3 4 5 6
i=1 0.000 5.391
0 2
32.231
0
4.804
0
0.000
0
4.364
7
22.833
7
5.091
8
6.613
5
4.364
7
0.000
0
4.537
20.963
4
5.807 9
2.234
5
3.815
9
2 5.391 0.000
2 0
3 32.231 4.804
0 0
4 5.091 6.613
8 5
4 9
a
w
.
网
7
2.125 2.989 2.309 8
5 8
24.179
8
-42.243
6
12.476
3
0.000 0
0 1
-88.871
1 8
0.000 0
2
5.969 2
-58.786
2
0.310 8-3.525
6
1.914 4
5.969 20.000 0
5 20.963 5.807
6 2.234 3.815
5 9
案
答
ij
也可类似地利用LINGO求得，计算结果如下：
ij
i=1 0.000 0 109.263 -128.250
6
k
h
d
6
0 1
6
1 8
9.000 014.474 9
j=1 2 3 4 5 6
173.065 14.474
9
9.000 02 109.263 0.000 0
课
后
w
w
w
.
3 -128.250 -88.871
4 24.179 8 -42.243 12.476 3
5 173.065 -92.304
6
87
c
o
m
22.833
7
2.125
5
4.4.537 2.989
8
0.000 0 2.309
8
0.000
0
-92.304
-58.786 0.310 8
-3.525.6
1.914 4
0.000 0
数学模型习题参考解答
于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO求解：
MODEL:
1]SETS
2] plane/1..6/:cita:
3] link(plane,plane):alpha,beta;
5] min=@sum(plane:@abs(cita));
6] @for(plane(I):
7] @bnd(-30,cita(I),30);
8] );
9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:
10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))
11] >alpha(I,J);
12] ）;
13]DATA:
…2.309 8 0.000 0
20] ;
21] BETA=0.000 010 9.263 6……
…1.914 4 0.000 0
27] ;
w
w
w
.
28]enddata
END
[注] alpha,beta中数据略去，见上面表格.
求解结果如下：
OPTIMUM FOUND AT STEP 197
SOLUTION OBJECTIVE VALUE= 3.630
VARIABLE VALUE REDUCED COST
CITA(1) 0.2974033E-06 -1.000 000
CITA(2) -0.1424833E-05 -0.715 033 4
88
k
h
d
14] A;[JA=0.000 0 5.391.2…..
课
a
w
.
网
后
答
案
c
o
m
4]ENDSETS
数学模型习题参考解答
CITA(3) 2.557 866 1.000 000
CITA(4) -0.3856641E-04 0.0000000E+00
CITA(5) 0.2098838E-05 -1.000 000
CITA(6) 1.071 594 0.0000000E+00
………. (以下略)
评注：
如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用
LINDO或LINGO求解.
参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，1996
6. 降落伞的选择
每根绳索长度
l
设
C
1
ar
，a,b用表1数据拟合；
k
h
d
b
课
程，其中空气阻力系数要通过表2数据拟合.
后
约束条件主要是伞的落地速度不能超过20m/s
，需要建立并求解降落伞速度满足的微分方
答
目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用
C
1
与伞的半径r的关系。
案
续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整.
网
这个优化问题的决策变量是降落伞数量n和每一个伞的半径r，可先将n和r看作连
力的作用，阻力与降落速度和伞面积的乘积成正比，阻力系数用表2数据拟合；初速为零.
模型的目标函数为降落伞的费用
Cn(C
1
C
2
C
3
)
,其中
C
1
ar
b
,C
2
4162r90.5r,C
3
200
，得
w
w
w
.
m
v
Cn(ar
b
90.5r200)
（1）
2
记时刻t伞的速度为v(t)，高度为x(t),阻力为
krv
，k待定.由牛顿第二定律，v(t)满足
dv
mgkr
2
v
，
v（0
）
=0
（
2
）
dt
其中m=2 000/n(一个降落伞的载重)，g为重力加速度.（2）式得解
2000
g
(1e
kr
2
n
又初始高度为500m，得到
a
w
.
kr
2
n
t
2000
)
（3）
c
o
m
2
r
.降落伞只受重力和空气阻
89
由此可知最优解为：
3
2.56,
6
1.07
（其它调整角度为
0）.
数学模型习题参考解答
x
500
2000
g
2000
g
t
(1e
2242
krn
kr
n
2
kr
2
n
t
2000
)
（4）
落地速度不超过20m/s，即x=0时（4）式的根t代入（3）式后，
v(t)20
.
整个优化模型可记作
MinCn
(
ar
b
90.5
r
200)
t
2000
g
2000
2
g
2000
t
s.t.
500(1e)0
2242
krn
kr
n
kr
2
n
2000
g
(1e
kr
2
n
kr
2
n
t
2000
)20
当参数a ,b ,k
确定后，即可求解模型（5）得到n,r,再作适当调整.
a ,b 利用MATLAB软件估计得到a=4.303, b=3.977 9, 取a=4.3,b=4.估计k时注意到
m=300(n=1),r=3,利用MATLAB软件得到k=18.458.3
将a ,b, k代入模型（5），用MATLAB求解，得到n=6.007 2， r=2.969 5，C=4 824.49.
（4）得落地速度v=19.672 8m/s，符合要求.费用为
C6(35090.53200)4920
元.
7. 会议分组安排（1997年美国大学生数学建模竞赛B题）
这是一个分派的优化问题，优化指标是：董事对相遇（即两位董事在同一组开会）次
数相同；（不同段的）两组内共同董事数量最少.准则是：任一董事不在同一资深职员主持的
两段会中；在职董事均为分派.
据常识29位董事应均匀分派，即上午的6组中5组各5人，1组4人；下午的4组
w
w
w
.
4，…的情况.
准则都作为子指标.
中3组各7人，1组8人.在此基础上可估计董事对的平均相遇次数：29位董事科组合成
2
C
29
406
对，而均匀分派下为董事对提供的相遇次数
532
，平均相遇次数为
k
h
d
将结果调整为n=6 ，r=3，即购买6个降落伞，每个半径3m. 把这个结果代入（3）和
课
a
w
.
网
n1,r2
(5)
后
答
案
以优化的分派是每一董事对的相遇次数为1或2，不出现（或尽量少出现）相遇次数为0，3，
可以构造
整数规划模型，将优化指标转化为目标函数，以准则为约束条件.也可以直
接建立衡量分派方案优劣的指标函数，它由若干子指标加权而成，而上面给出的优化指标和
c
o
m
532
1.3
所
406
90
数学模型习题参考解答
在看到的优秀论文中结果最好的是，相遇次数为0，1，2，3分别有32，218，152，
4（对）.如果相遇0次，3次的对数更少，结果将更好，你能得到吗？.
参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001
8. 飞机排队（1989年美国大学生数学建模竞赛B题）
1）机场仅有一条飞机跑道供起飞，任何飞机起飞占用跑道的时间相同，记作时间窗
口
；
2）第i架飞机在第j个窗口起飞的费用与其它飞机无关；
3）允许飞机最迟起飞的时间相同，记作
，若起飞时间不超过
，则加速飞行仍可
4）转机的乘客误机损失费相同.
设t=0有n架飞机请求起飞，控制塔要设计一个起飞次序，即为每架飞机分配一个窗
口，是总费用最小.
费用包括延迟起飞的附加费和付给乘客的损失费.
设第i架飞机在第j个窗口起飞的
费用为
c
ij
，若安排第i架飞机在第
j个窗口起飞，
定义
x
ij
1
；否则
x
ij
0
，于是总费用为
C
x
ij
应满足
w
w
w
.
x
i1
ij
n
（1），（2）是典型的
0-1规划.剩下的关键问题是确定
c
ij
记第i架飞机在第j个窗口起飞的时间为t，
t
(j
1)
,时刻表上预定起飞的时间
为
t
1
，预定到达下一站的时间是
t
2
，飞行距离是d ,飞行的正常速度和最大速度分别是
v和
v
m
根据最迟起飞时间
的定义有
d(t
2
t
1
)v(t
2
)v
m
，于是
t
2
(t
2
t
1
)v/v
m
(3)
k
h
d
c
i
1
j
1
nn
ij
课
1,j1,2,,n,
x
j
1
n
ij
a
w
.
x
ij
（1）
1,i1,2,
,n
（2）
按时到达；若超过
，则飞机晚点到达，转机的乘客将误机；
后
答
案
网
c
o
m
91
题目给出的条件和信息很少，需作如干简化假设，如：
数学模型习题参考解答
当
t
1
t
时加速飞行导致的附加费与距离和延迟时间成正比，设为
f
1
(
t
)
k
(
t
2
)(
tt
1
)
，系数k可以从经济上确定；乘客抱怨折合的损失费设为
g
1
(
t
)
ap
exp(
(
tt
1
)
1)
，p是乘客人数,
a
,
是待定参数.
当
t
时加速飞行导致的附加费为
f
1
(
)
；乘客抱怨折合的损失费为
g
1
(
t
)
；转机乘客
的损失费设为
f
2
(
t
)
bq
，q是转机人数，b是待定参数.
由上可得
f
1
(
t
)
g
1
(
t
),
c
ij
f
(
)
g
(
t
)
f
(
t
),
12
1
t
1
t
t
9
. 牧场管理
用
x
(
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
,
x
5
)
表示母羊按年龄
(0~1,1~2,
,4~5)
的分布向量，由母羊的
繁殖率和存活率可得种群数量的转移矩为
w
w
w
.
2
01.82.42.01.8
q
P
0.98
0.95
0.80
其中空白处为0，q是0~1岁（即羊羔）的存活率，可以控制
.为保持羊群数量N不变，
T
需满足x=Px,由此可得q=0.136
，
xN
(0.668,0.091,0.089,0.085,0.067)
.
可知当N不变时
每年产羊羔数量为0.668N
，秋冬季存活的母羊数量为0.332N.
设草场面积为
S
(
m
)
，根据各个季节草的需求量（kg）和生长率，应有：
冬季
2.1
0.332N
0.697N
春季
0.668N
2.4
0.332N
1.465N
0.003S
92
k
h
d
[22]
课
参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》，湖南教育出版社，1993
后
可以自己产生一
组模拟数据作计算.
T
答
响.
案
这里只有
a,
,b
是带主观性的﹑比较难以确定的参数，应该估计它们的变化对结果的影
网
a
w
.
c
o
m
(4)
数学模型习题参考解答
夏季
1.65
0.668N
1.15
0.332N
1.484N
0.007S
秋季
1.35
0.332N
0.448N
0.004S
可以算出，只要春季满足
N/S
0.00205
(每平方米草地羊的数量)，夏季和秋季都不
成问题.若夏季贮存草 y
kg
/
m
，保存到冬季用，则需有
1.484
N
/
S
0.007
y
，其中
N/S
以春季需
满足的数值
代入，可得y<0.0039
kg
/
m
，而冬季的需求量是
2
2
0.697
0.00205
0.0014
kg
/
m
2
，故夏季的贮存足够冬季之用
.
10.
零
件的参数设计（
1997年全国大学生数学建模竞赛A题）
这个优化问题的目标是，由产品的质量损失和零件的成本二者构成的费用函数最小.质
量损失取决于产品参数偏离目标值
y
0
大小，由所给数据可设质量损失函数
设零件参数为相互独立的随机变量
x
1
,
x
2
,
,
x
n
,
，期望和均方差分别记作
x
i0
和
i
，（绝
答
案
2
对）容差记为
r
i
3
i
，相对容差记为
t
i
网
r
i
x
i0
2
L
(
y
)
10
5
(
yy
0
)
2
.
失用L(y)的期望度量，记为
Q
(
x
0
,
t
)
=E[L(y)].零件成本取决于容差，第i批零件成本记作
c
i
(
t
i
)
，零件
总成本是
C
(
t
)
c
1
(
t
1
)
c
n
(
t
n
)
.于是优化问题为，求
x
0
和t使目标函数
Z
(
x
0
,
t
)
E
[
L
(
y
)]
C
(
t
)
最小.
5
k
h
d
课
t
(
t
1
,
t
2
,
,
t
n
)
.产品参数记作
yf
(
x
1
,
x
2
,
,
x
n
)
，成批生产时，平均每件产品的质量损
w
w
w
.
使
E
y
和
y
容易计
算.
2
可以导出
E
[
L
(
y
)]
10[(
Eyy
0
)
y
]
，其中
y
是y
的方差
.问题在于怎样简化f
，
注意：
E
y
y
0
是否是最
优解.
决
策变量
x
0
是连续
的，t是离散的，应选择适
当的方法求解这个优化问题.
参考结果为，参数标定值
x
0
=
（0.075
，0.0375，0.125，0.1185，1.1616，19.96，0.5625），
容差等级（B，B，B，C，C，B，B）（平均每件）产品的总费用Z=748.7元.
参考文献：《数学的实践与认识》第28卷第1期，1998
a
w
.
2
(
i
1,2,
,
n
),
再记
x
0
(
x
10
,
x
20
,
,
x
n0
)
，
后
c
o
m
93
数学模型习题参考解答
11.汽车保险
[22]
假设保险公司的保险分为纯粹保险费和附加保险费两部分，附加保险费用于公司的部分
业务支出，客户一旦投保，这部分钱将不再退回.根据数据可以计算出每个客户承担的这部
分钱为
M
0
17.01
元.设M为基本保险费，一年中某客户在t个月后退保，则应退回的保费
为
M
1
(
MM
0
)
索赔而自然退出的两类.还可以假设不同级别的司机获得的死亡赔偿费相同等.
赔偿率和自然注销率等，而且若采用安全带法
由数据可以算
出
各
类别司机中的死亡率，
规后死亡率下降40%，其余的不变，在此条件下，平均医药费会下降20%到40%.由于新投
保人已知，注意考察各类人员的来源（例如0类客户包括新客户与从1，2类客户降级下来
关键之一.
然后根据假设，利用已有的各类司机的数据，计算出每年度各类司机的汽车平均修理费，
医疗费，死亡赔偿费以及偿还退回费.最后计算出这5个年度的收入.利用
收入=支出+修理费+医疗费+死亡赔偿费+偿还退回费
参考结果为（单位：元）：
医疗费下降20%时，每年的保费依次为：637.99，637.00，635.01
，
634.45，633.87.
医疗费下降40%时，每年的保费依次为：580.93，580.11，578.27，577.78，577.24.
12.药物在脑中的分布（1990年美国大学生数学建模竞赛A题）
药物在脑中的传输看作在均匀介质中的扩散，伴随之吸收和代谢引起的衰减，不考虑
w
w
w
.
方程
对流. 题目附图中“左﹑前﹑顶”分别为x，y，z轴，记时刻t，（x
，
y，z）处的药物浓度
为c( x, y, z ,t),x ,y ,z
方向的扩散系数为
E
x
,
E
y
,
E
z
，衰减系数为k，则c( x, y, z ,t)满足扩散
c
2
c
2
c
2
c
E
x
2
E
y
2
E
z
2
kc
（1）
t
xyz
设t=0时注射点为
(
x
0
,
y
0
,
z
0
,)
注射量为M，即初始条件为
(
x
0
,
y
0
,
z
0
,)
处强度M
的点源函数. 因为题目给出的样本的区域比脑的范围小得多，所以可认为扩散过程在无穷空
间进行，于是（1）的解为
94
k
h
d
可估算出今后5年每年度应收取的保费.
课
a
w
.
网
的客户），列出它们之间的关系，编程计算出今后5年客户中各类人的数量.这是解决问题的
后
答
案
c
o
m
12
t
，且假设获赔的司机当年不注销，注销人仅为死亡客户和没要求
12
数学模型习题参考解答
c(x
,
y
,z,t)
M
(4
t
)(
E
x
E
y
E
z
)
2
3
1
2
(
xx
0
)
2
(
yy
0
)
2
(
zz
0
)
2
exp
kt
（2）
tEtEtE
444
xyz
2
（l为圆柱体样
设全部样本数据是在t=1
（单位）瞬间完成的，且可设注射点
y
0
l
本长度）.
（2）式有7个待定参数，得到它们就能计算任意时刻﹑任意位置的药物浓度，从而确
定药物影响区域.
样本不够多难以得到好的结果，应设法
同时估计7个参数是很复
杂的非线性
最小二乘，
尽量减少要估计的参数.
x
0
,z
0
能够直接用样本数
据拟合一个二次函数
zx
2
bz
2
cxzdxezf
，用线性最
小二乘得到.
M和k相关性很强，应先设定一个如M. 至于扩散系数
E
x
,E
y
,E
z
，有数据在x，z方
向的近似对称可设
E
x
E
z
，
需要作非线性最小二乘拟合的只有
3
个参数：
E
x
,E
y
,k
.
这样，
当然，还可以代入它们的拟合值再估计
M和
E
x
.
得到. 7个参数的参考结果：
x
0
3.268,
z
0
2.726,
M
1.4
10
6
,
E
x
E
z
0.375,
E
y
0.275,
k
0.140.
天然的多巴胺在脑中的浓度大于10
计数单位
/立方毫米，所以可以认为c=10
根据资
料，
的边界时药物影响所及的范围. 而由（2）式可知，随着t的增加，这个边界先扩大后缩
小，那么应取最大的那个边界.
w
w
w
.
13.血样的分组检验
k
这个问题还可以作统计分析及灵敏性分析（如参数变化10%时结果变化多少）.
参考文献：叶其
孝，
，湖南教育出版社，1993
《
大学生数学建模竞赛辅导教材》
[17]
设总人数为n，已知每人血样阳性的先验概率为p，记血样阴性的概率为q=1-p.
(1)设分x组，每组k人（
n很大，x能整除n，k=n/x
），混合血样检验x次.阳性组的概
率为
p
1
1q
，阳性组数的平均值为
xp
1
，这些组需每人检验，平均次数为
kxp
1
，所以平
均总
检验次数
Nxkxp
1
，一个人的平均检验次数为N/n,记作
k
h
d
课
作最小二乘
拟合时需将空间离散化，每个圆柱体样本的药物浓度由（2）式按数值积分
a
w
.
网
后
答
案
c
o
m
95
数学模型习题参考解答
E(k)
11
1q
k
1(1p)
k
（1）
kk
问题是给定p求k使
E（k）最小
.
P很小时利用
(1p)1kp
可得
E(k)
显然
kp
1
2
k
1
kp
（2）
k
是E（k）最小. 因为k需为整数，所以应取
k[p
比较E（k），得到k的最优值，见表1.
P 0.01% 0.1% 1% 2% 5%
K 100 32 10 8 5
E(k) 0.020 0.063 0.196 0.274 0.426
表1 一次分组检验结果
后
注：若不取近似，利用导数可得
qk
1
22
答
随着p的增加k减少，E（k）变大. 只要E（k）<1，就应分组.
课
（2）当E（k）>1时不应分组. 由（1）式得
p1k
当p
>0.307
不应分组.
k
h
d
m
（3）将第1次检验的每个阳性组再分y小组，每小组m人（y整除k，m=k/y）.
因为第1次阳性组的平均值为
xp
1
，所以
第 2次
需分
小组平均检验
yxp
1
次，
而阳性组
的
概率为
p
2
1q
（为计算
p
2
简单起见，将第1
次所
有阳性组
合在
一起分小组
）
，阳性小
组总数的平均值为
xp
1
yp
2
，这些小组需每人检验，平均检验次数为
mxp
1
yp
2
，所以平
均总
检验次数
Nxyxp
1
mxp
1
yp
2
，
一个人的平均检验次数为N/n,
记作（注意：n=kx=myx）
w
w
w
.
E(k,m)
解得
1
p
1
11
p
1
p
2
(1q
k
)(1q
k
)(1q
m
),q1p
(3)
kmkm
问题是给定p求k，使E（k，m）最小.]
P很小时（3）式可化简为
E(k,m)
a
w
.
网
lnq
时E（k）最小.
1
k
案
1kp
kmp
2
（4）
km
c
o
m
2
1
]
和
k[p
1
2
]1
，
，检查k=2，3，可知
96
数学模型习题参考解答
k
1
1
3
4
p,mp
2
（5）
2
且要求k，m，k/m均为整数，经过（5）的结果附近计算，比较E（k，m），得到k，
M的最优值，见表2.
p 0.01% 0.1% 1% 2% 5%
m 100 25 12 8 4
E(k,m) 0.0028 0.232
表2 二次分组检验结果
0.0840.1380.305
14.强烈的碰撞（1999年美
国大学生数学建模竞赛
A题）
这个模型有两个主要
部分，一是撞击产生多大能量，并因而形成多大的陨石坑，二
是能使多少冰融化，其后果如何. 因为题目基本没有给出什么条件，所以需要作一些简化假
设，并调查许多有关资料.
计算撞击产生的动
能需要小行星的质量和撞击时的速度，查阅资料得典型小行星
的密度为
2.510
12
k
h
d
kg
km
3
（1）撞击能量和陨石坑的大小
课
，计算直径1 000m的小行星质量为
m1.3110kg
. 为计算
撞击时的速度假设小行星的运动只受太阳﹑地球和月亮的引力作用，服从万有引力定律.
以太阳为坐标原点，记小行星的位置﹑速度﹑加速度为
x,v,a
，太阳﹑地球和月
亮的位置﹑速度和质量为
x
i
,v
i
,m
i
，i=1，2，3，采用离散化计算，即已知t时刻的
x,v,a
后，
按一下公式计算
t
t
时刻的
x,v,a
（引力常数记作k）：
w
w
w
.
3
a
w
.
网
2
与表1比较可知，二次分组的效果E（k，m）比一次分组的效果E（k）更好.
后
答
案
m
i
(x(t)
x
i
(t))
a
(t
t
)
k
3
x(t)x
i
(t)
i
1
v(tt)v(t)a(tt)t
（1）
2
t
x
(
tt
)
x
(
t
)
v
(
tt
)
ta
(
tt
)
而t=0时太阳﹑地球和月亮的特征由资料得到:
c
o
m
12
k 700 50 24 16 8
97
数学模型习题参考解答
太阳(i=1) 地球(i=2) 月亮(i=3)
m
i
(kg)
r
i
(km)
x(km)
1.99
10
30
1.99
10
30
(0,0,0)
(0,0,0)
6
5.97
10
24
6.38
10
3
x
1
(1.5010
8
,0,0)
v
1
(0,29.8,0)
7.35
10
23
1074
10
3
x
2
(0,3.8410
5
,0)
小行星初始时刻在距地球
1.54
10km
任意位置处，相对于太阳的速度与地球相同，
并加上一个大小为10km/s
，指向离地心不超过
9.57
10km
的任意一点的速度，由此计算
撞击的过程.
3
arctan
对于小行星初始时刻的任意位置可以作多次模拟，从太阳系平面内或平面外飞向地球，
这样得到一个参考结果是，约1%的机会撞击在大于南纬
80
的地方；从太阳系平面内撞击
的角度
约
18
，太阳系平面外为
45
；速度u为15km/s，与文献相符.
由此可得撞击产生的动能为
E
mu/2
1.5
10J
，相当于
3.5
10
百万吨TNT.
有资料给出了撞击在地面上的陨石坑的直径：
1
3.4
k
h
d
2
0.1
课
arcsin
x
v
,
u
v
,
,
x
v
x
(0,0,1)
(
x
(1,0,0))
2
(
x
(0,1,0))
2
后
答
处地球纬度
为
案
之和时发生碰撞. 在撞击处记
xxx
2
,vvv
2
，则撞击角度
，撞击速度u和撞击
w
w
w
.
Y
D
0.64
1
20000
0.5
2
(cos
)
u
1
其中
Y是以百万吨TNT计的能量，
1
,
2
分别是目标物和撞击物的密度. 计算时采用
=
30
，冰密度
1
0.9
g
cm
3
，得陨石坑直径为15km.
a
w
.
网
从t=0
开始，给定的
t
（如10s
），按（1）计算当小行星与地球的距离小于它们的半径
20
c
o
m
4
0.083
v(km/s)
v
2
(1.02,0,0)
98
数学模型习题参考解答
资料给出，陨石坑深得与直径之比1：5或1：7，于是直径15km时深度约2.5~3km. 考
虑到撞击角度较小，且冰层下有坚实的岩层，认为陨石坑深度不会超过2km.
2)冰层融化情况及其后果
南极冰层的平均厚度为2km，温度为
76
C
，根据冰融化的物理常数可算出，撞击
产生的全部动能
1.5
10J
能融化
340km
的冰，
即使全部融化的水流入海洋，提高海平面
不到1mm.
203
如果撞击产生的全部动能只用于提高直径1km的小行星下面的冰的温，根据直径1km
的圆下冰的质量为
1.510
kg
及物理常数可算出，水温可提高到
48000
C
（汽化）. 由于
能量不可能全部用于加温冰层，上述结果是过分的.
12
为估计这个过高的水温能融化多少冰，将南极看作厚2km
宽6000km的二维平面，用
热传导方程求解，初始温度是直径1km圆外为
76
C
，圆内为
48000
C
，得到最多融化
5.7
10
7
m
3
的冰，且需要10天时间.这样长的时间即使能融化，也很难流入海洋.
还可以讨论引发地震和海啸的影响.
参考文献：叶其孝，
《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，2001
建模的准备工作之一是计算获各项奖的概率. 29种方案可分为四类，
K
1
：10选
6+1(6+1/10)
型，
K
2
：n选m（m/n
）型，
K
3
：n选m+1（m+1/n）型，
K
4
：n选m（m/n）
无特别号型，分别给出计算概率的公式：
●
K
1
：10选6+1(6+1/10)
型
w
w
w
.
1
2
C
9
14
7
7
5
p
210,810
p
1
p
,1.810
2
3
66
6
5
105
1010
1
1111
1
11
1
2
C
9
C
9
2
C
9
2
C
9
C
9
C
10
C
10
C
9
C
10
4
p
4
p
2.6110,3.4210
3
5
66
1010
2
C
9
3
C
9
(3
C
9
C
9
2
C
9
)
C
10
C
10
C
10
C
9
C
10
C
10
2
p
6
4.199510
6
10
●
K
2
：n选m（m/n
）型
k
h
d
15.彩票中的数学（2002年大学生数学建模竞赛B题）
课
a
w
.
网
后
答
案
c
o
m
99
数学模型习题参考解答
m
11
m
21
m
1
C
m
C
n
(
m
1)
C
m
C
n
(
m
1)
C
m
1
p
1
m
,
p
2
m
,
p
3
,
p
4
mm
C
n
C
n
C
n
C
n
m
22
C
m
C
n
(
m
1)
m
32
C
m
C
n
(
m
1)
m
33
C
m
C
n
(
m
1)
p
5
C
m
n
,
p
6
C
m
n
,
p
7
C
m
n
●
K
3
：n选m+1
（m+1/n）型
p
1
1
C
m
1
n
,
p
2
1
C
n
(
m
1)
C
m
1
n
,
p
3
m
11
C
m
C
n
(
m
1)
C
m
1
n
,
p
4
m
12
C
m
C
n
(
m
1)
C
p
5
m
22
C
m
C
n
(
m
1)
m
1
C
n
,
p
6
m
23
C
m
C
n
(
m
1)
m
1
C
n
,
p
7
m
33
C
m
C
n
(
m
1)
m
1
C
n
●
K
4
：n选m（m/n
）无特别号型
k
h
d
i
(
s
)1
e
(
s
课
评价各方案的合理性的办法有多种，如：
后
m
44
C
m
C
n
m
p
5
.
m
C
n
答
案
m
11
m
22
m
33
C
m
C
n
m
C
m
C
n
m
C
m
C
n
m
1
p
p
,,
p
1
m
,
p
2
34
mmm
C
n
C
n
C
n
C
n
（1）风险决策的效用函数法：可取偏大型正态分布函数
A
(
x
)1
e
a
w
.
网
x
()
2
用函数，
并将彩票方案对彩民的吸引力分为将军的吸引力和中奖率的吸引力两个部分，分别
，并依据有关数据将彩民分为冒险者﹑中立者和避险者
构造两个满意函数A（s）和A（p）
三类，确定其比例，按照各自的最大满意度分别确定相应的满意参数
i
(
i
1,2,3)
，得到满
意度函数
i
)
2
w
w
w
.
,
i
(
p
)1
e
(
p
i
)
2
(
i
1,2,3)
，由此构造出吸引度函
ˆ
47
)
3
(
p
(17)
)]
其中
s
ij
表示
数.
f
a
1
[
1
(
s
1
)
1
(
p
1
)]
a
2
[
2
(
s
23
)
2
(
p
(13)
)]
a
3
[
3
(
s
第i等奖的奖金到第j等奖的奖金的平均值，
p
(
ij
)
表示第i等奖到第
j等奖的概率之和.
以f为合理性指标函数对已有方案进行评价，并对各奖项的设置﹑奖金比例﹑奖金数额
和相应的概率给出约束，可建立非线性优化模型，寻求“更好”的方案.
（2）层次分析法：由于考虑的因素可多可少，比较矩阵和权重的确定比较困难，缺少
可靠的依据.建议综合考虑一等奖金额﹑低项奖金额﹑中奖率和中奖面等因素，并经社会调
查得到彩民对各因素重视的程度，确定相应的权重.
c
o
m
m
1
n
（x>0）为效
100
数学模型习题参考解答
用层次分析法研究这个问题，不是十分有效的方法，使用得当也只能对问题（一）进行
讨论，解决问题（二）却无能为力.
（3）分类加权法：将彩民分为风险喜好型﹑风险厌恶型和中性型三类，不同类型的彩
民对各因素的看法不同. 可根据社会调查或网上资料数据给出相应的权重. 这种方法也有一
定的主观性.
16. 铅球掷远
（1）如下图，出手速度﹑出手高度分别为v，
，h，掷远为L，不难得到
（2）L是v和h的增函数，但是最佳出手角度
只能数值地计算.L对v，
得灵敏度
虽然可以分别用
S
(
L
,
v
)
以发现，L对v的灵敏度远大于
的灵敏度.
（3）运动员展臂过程中用的力为常数F，设F与
无关，则铅球在
方向的加速度为
其中m是铅球质量
.设展臂过程中运动的距离是s，如下图，则出手速度v满足
w
w
w
.
（2）代入（3）得
2
v
u
2
s
（3）
v
(
u
2
sF
/
m
)2
sg
sin
（4）
即出手速度与出手角度
有关，随着
得增大而减小.
设肩高b，臂长
s
1
，肩恰在场地边界，则掷远为
k
h
d
22
2
课
后
dL
dLv
来度量，但是它们也只能数值地计算，可
,
S
(
L
,
)
dvL
d
L
F
m
g
sin
（2）
答
v
L
sin2
2
g
案
2
v
2
hv
2
2
2
g
sin2
g
cos
（1）
2
网
2
a
w
.
c
o
m
101
参考文献：《工程数学学报》第20卷第5期，2003
数学模型习题参考解答
D
L
s
1
cos
（5）
其中用（1）式计算L时，v用（4）式，
h
b
s
1
sin
，且一般
s
1.9
s
1
，于是需要
给定
b
,
s
1
,
u
，讨论F和
的影响.
o
c
网
案
.
答
w
后
课
a
d
h
k
.
w
m
102
w
w
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计算,速度,数学,函数,撞击,模型,数据
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