2024年4月16日发(作者：怎么样写数学试卷评语呢)

高中数学竞赛讲义

复数

一、基础知识

1．复数的运算法则：

三角形式，若z

1

=r

1

(cosθ

1

+isinθ

1

), z

2

=r

2

(cosθ

2

+isinθ

2

)，则z

1•

•z

2

=r

1

r

2

[cos(θ

1

+θ

2

)+isin(θ

1

+θ

2

)]；

(z

2

0),

zr

z

1

r

1

[cos(θ

1

-θ

2

)+isin(θ

1

-θ

2

)]，或记为z

1

z

2

=r

1

r

2

e

i(

1

2

)

；

1

1

e

i(

1

2

)

.

z

2

r

2

z

2

r

2

n

2．棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]

n

=r

n

(cosnθ+isinnθ).

3．开方：若

w

r(cosθ+isinθ)，则

w

n

r(cos

2k

n

isin

2k

n

)

，k=0,1,2,…,n-1。

4．方程

x

n

10(n为自然数，且n2）的n个根

记为：

k

cos

2k

2k

isin(k0,1,2,

nn

2n1

由棣莫弗定理，

,n1)

称为1的

n

次单位根。

1

。 全部

n

次单位根可表示为

1，

1

，

1

，

关于单位根，有如下常用性质：

1

1

1



1

2n1

（0n2)

；

任意两个单位根

i

,

j

的乘积仍为一个

n

次单位根，且

（1）

i

j

ij

(当ijn时，

ij

k

,其中k是ij除以n的余数）

；

（2）设

m

为整数，

n1

，则

1

1

2



n1

（3）1+z

1

+z

2

+…+z

n-1

=0；

（4）x

n

-1

+x

n

-2

+…+x+1=(x-z

1

)(x-z

2

)…(x-z

n-1

)=(x-z

1

)(x-

z

1

)…(x-

z

1

).

特别地：

13

-

13

1的立方根有：1，

ω

＝－＋i，

ω

＝－－i

2222

-

3

＝1 （1）

ω

3

＝

ω

-

＋

ω

-

2

＝0 （2）1＋

ω

＋

ω

2

＝0或1＋

ω

-

＝1 （3）

ωω

-

，

ω

-

2

＝

ω

（4）

ω

2

＝

ω

（5）(1±i)

2

＝±2i，(3±4i)

2

＝－7±24i

5．代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。

6．实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是

2n1

mmm

n

0

(m是n的倍数），

(m不是n的倍数）

方程的一个根，则

z

=a-bi也是一个根。

7．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax

2

+bx+c=0，当Δ=b

2

-4ac<0时方程的根为

x

1,2

bi

.

2a

二、基本方法

1．三角形式的应用。

例1．设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ)

n

=sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？

[解] 由题设得

[cos(

)isin(

)]

n

cosn(

)isin(

)cos(n

)isin(n

)

222222

，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。

2．二项式定理的应用。

例2．计算：（1）

C

100

C

100

C

100

C

100

；（2）

C

100

C

100

C

100

C

100



[解] (1+i)

100

=[(1+i)

2

]

50

=(2i)

50

=-2

50

,由二项式定理

00

(1+i)

100

=

C

100

C

100

iC

100

iC

100

iC

100

i

=

(C

100

C

100

C

100

C

100

)+(

C

100

C

100

C

100

C

100

)i，比较实部和虚部，得

C

100

C

100

C

100

C

100

=-2

50

，

C

100

C

100

C

100

C

100

=0。

5．设n=2001，则

1

2462000

(13C

n

3

2

C

n

3

3

C

n

3

1000

C

n

)

.

n

2

3．复数乘法的几何意义。

例3．以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作

等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。

[证明] 设|BC|=2a，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，则

B，C对应的复数为-a,a,点A，M，N对应的复数为z

1

,z

2

,z

3

,

CAz

1

a,BAz

1

a

，由

复数乘法的几何意义得：

CNz

3

ai(z

1

a)

，①

BMz

2

ai(z

1

a)

，②

由①+②得z

2

+z

3

=i(z

1

+a)-i(z

1

-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=

z

2

z

3

ai

,为定值，

2

所以MN的中点P为定点。

例4．设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：AB•AD+BC•AD≥AC•BD。

[证明] 用A，B，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因

为|A-B|•|C-D|+|B-C|•|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).


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