高中数学通性通法界定探究

2023年12月24日发(作者：山东省学考数学试卷答案)

３２　数学教学研究　第３４卷第７期２０１５年７月　高中数学通性通法界定探究　王明山，邰日昶　（江苏省兴化中学２２５７００）　高中数学通性通法，自新世纪以来，几乎　每年的《考试说明》中都要提及，因此也是高　中数学教学倍受关注的一个问题．那么，如何　界定通性通法，就不只是一个值得探究的问　题，也是个应该明确的问题．　１通性通法的提出　２Ｏ世纪９Ｏ年代中期，随着高考的宗旨　由考知识过渡到了考能力，相应的数学高考　内容，也由考数学基础知识、基本技能的“双　基”演变为考查数学基础知识、基本技能、基　本思想的“三基”，由于基本思想对当时而言　是新加的，所以一段时间内，出现了数学思想　的研究热潮，这些研究还是有一定成果的，影　响较大的是将解题的思路脉络进行了系统的　研究［１］，并将解题的数学思想整理为原则性　思想、方法性思想、技巧性思想三个层次［２］．　此后，数学基本思想的研究出现了两个分支，　一个主阵地在大学，向理论化方向发展，直到　史宁中教授将其概括为“抽象、推理、模　型”【３　；另一支主阵地在中学，出现了“让数学　思想由幕后走到台前”的主张，伴随这些主张　的具体措施是——高考第二轮或第三轮复习　基本成了数学思想横向的专题复习，各种解　题技巧也应运而生，所有这些，导致最直接的　结果是１９９８年、１９９９年连续两年的高考数　学主观题各省所持的评分标准相差过大．对　此结果的分析，首先取得的一个共识是以数　学思想单列为主轴的复习基本无效，其次对　于其中的“奇思妙解”的认识出现了分歧：一　种意见认为这是创新思维的一种体现，应该　继续，进而对试题本身可信度产生了疑问；另　一种意见则认为，这种妙解对大多数学生而　收稿日期：２０１５－０４－１２　言难以达到，且多见于教师间的探讨，因而主　张终止．在这种情况下，国家教育主管部门，　不是武断地去否决某一种认识，而是有意识　地建议将奇思妙解为主的题型设计分配于竞　赛，而在２０００年的高考《考试说明》中，加入　了“注重通性通法，淡化特殊技巧”之语，这是　最早关于此点的公开表述．　‘　可见，通性通法的提出，仅仅是针对奇思　妙解的技巧解题而言的，究竟什么是通性通　法，至少在当时，并没有给出界定｝同时，因为　它本身也是发展变化的，出现争议也就在所　难免．但是，正如鲁迅先生说过的一句话：“这　正如地上的路，地上其实从来没有路，走得人　多了，也便成了路．”经过这十几年的磨合与　探讨，起码为其界定提供了强有力的前奏．　２通性通法内涵的研究进展　一个名词的诞生，不外乎是内涵的理论　完善界定和外延的范围大小界定，通性通法　自提出以来，对其研究和摸索就一直没有中　断过，由于研究的主力是中学教师，因此多数　在于外延的范围大小界定上，对于内涵的研　究则是近几年才热起来．　２．１通性通法的内涵研究　刘治平老师将通性通法内涵界定为：“通　性通法是从解同类若干问题成功的实践中，　总结归纳出的一般方法或模式，是解决一类　问题的共性方法，具有较强的程序性和迁移　性，对解类似的问题起着启发和指导作　用．”ｎ］成为最初对通性通法的普遍认识；中　国教育学会“十一・五优质教育资源评价与　推广课题组”，则将通性通法视作一种通用模　型；潘颖艺老师认为：“所谓通性通法，是指具　

第３４卷第７期２０１５年７月　数学教学研究　ｔ‘＋口＝Ｕ　＋　（ｚ‘，　＞Ｏ），　１　１　２　１　３３　有某种规律性和普遍意义的常规解题模式和　常用的解题方法．，，［５］这些都是对通性通法结　合在一起内涵的探究．　何卫中认为“所谓通性是处理数学题的　共通思维意识和策略，通法是一类题共性特　即（ｕ－÷）。＋（ｖ－－÷）一÷（　＞０，ｖ＞０），　厶　表示一个圆在第一象限的部分，在坐标平面　内作出图形（图１），由图可知：所求直线系ｋ　征，具有普遍意义，，［　；章建跃则认为：“通性　一　＋　的取值范围为（１，２］．　就是概念所反映的数学基本性质，通法就是　概念所蕴含的思想方法．’’［　］这些将通性、通　法分开表述的认识，逐渐将其研究推向了深　入．　２．２通性通法的特性　所谓通性，最终归结为满足一定条件的　知识结论，对这些条件加以汇总的话，首先，　图１　这些结论无论是对教师还是对学生应该是熟　方法２设２　＋２　＝ｔ＞０，则　２　＋２ｙ＝（２　＋２　）。一２×２　・２　悉的、必须的，亦即通性具有孰知性；其次，这　些结论能直接用于解决一类问题，而不是仅　＜（２　＋２，）　，　仅能解决几个具体特定的问题，因而又具有　于是ｔ＜ｔ。，￡＞１；　应用普遍性；再次，这些结论的含义是清晰　另一方面，　的，不能存在歧义或争论，因而又具有确定　２　．２ｙ≤（　）ｚ，　性．　于是　所谓通法，属于解决问题方法中的一类，　２　＋２　如各专家、教师所研究，首先这些方法能解决　≥（２ｚ＋２　）。一２×（—２￣＋２ｙ）。一　一类问题，因而具有普适性；其次，通法对通　百性具有很强的依赖性，是通性具体操作衍生　出的方法；再次，通法的每一步都是较为自　：（　）ｚ，　厶　然、习惯的，不是难于想到的另辟新径的技　・２　即￡≥　，０＜￡≤２，　巧，因此通法又具有有序性；最后，通法是有　所发展、变化的，但在一段时间内，又相对于　等号成立当且仅当２　一２ｙ一１，即ｘ＝ｙ＝０．　通性具有稳定性，因此通法又具有稳迁性．　总之２　＋２　的取值范围为（１，２］．　２．３通性通法内涵的初步界定　以上两个方法中，用到的结论都是师生　由以上对通性和通法的分析，我们可以　熟知、可直接应用的结论，只不过所站的角度　对其内涵界定为：师生熟知、核心可广泛应　是形还是数不同而已，因而都属于通性通法．　用、明确的知识结论称通性；在知识结构相对　３高中数学通性通法的外延界定　稳定的时期内，由通性自然得到的，能解决一　有了通性通法的内涵，就可以对其外延　类问题的普遍方法称通法．更通俗地说，通性　进行初步界定．　指的是“究竟是什么”，而通法则是“通常如何　由通性的含义可知：首先，高中数学教材　做．”　中给出的明确概念、公理、定理、推论、公式是　例已知实数Ｘ，Ｙ满足２　＋２　＝４　＋　属于通性范围的，得到这些结论的方法，一般　４　，求２　＋２　的取值范围．　计人通法之中，这也是多年对通性通法研究　方法１　设２　一　，２　＝　，于是　得出的一致共识；其次，有一部分结论，虽说　没有以定理、公理或公式的形式给出，有的在　

３４　数学教学研究　第３４卷第７期２０１５年７月　习题中出现，但由于应用较为广泛，一般也视　作通性通法；再次，还有少数结论，虽然教材　给出了，但由于不是严格定义，至多是描述性　给出的，应用也不太广泛，或者知识本身就存　在争议，这些结论一般不计人通性范围，相应　的仅能解决少数具体问题的方法称之为技　巧，也不计入通法．　性通法也存在争议．这些争议归因主要为，结　论应用广泛程度的不确定性，简记为ｇｌ；各　地高考要求不一，简记为ｇ２；所教学生的程　度、类别不同，简记为ｇ３，如现阶段的文科　生、理科生、竞赛生的差别　，将来还有可能出　现技能生、技工生和学术生的差别等．表１给　出了高中数学通性通法外延界定，这个表中，　各版本教材中共同明确给出的结论已经不再　另一方面，高中数学中，还有一部分知　识、方法，因为认识不一，存在争议，相应的通　列举．　表１通性通法外延界定一览表　

第３４　卷第７期２０１５年７月　数学教学研究　３５　数性质（ｇ１）　ｙ１：一元二次不等式的解法通法是图解法，要诀为：看一算一画一写．口ｏ　具体　・两　ｌ“　专　≥（数平　　ａ＂ｔ－　ｂ）　号成立当且　和的大小关系　不等式ｙ２：　一　　．’ｙｙ４：３：寰　元一次　警式表示的平面区域通法有取　仅当口线堡　警　。．………、．　３．聂磊法证明　等式、：６，’（ｇ１）　三元之上的均　二元均值不等式韵应用的通法是“一定、二　．　法・。　ｒ’　善　壶扁、一…一　：　法：一…一…。’磊　　ｙｙ５．５：桌　不等式证明的通法为：．的通法为：比较法和基本不等式４比较法和基本不等式　‘　　‘，。　。：’式和柯西不等式的应用。。。一。。‘。…。　法・　５．　薮　等式解法转化顺序为：无理　一有理，分式一整式一一元一次或　一元二次（ｇ３）　

３６　数学教学研究　第３４卷第７期２０１５年７月　ｙ　：窘苎　理、基本定理、垂直的原始运算　１．：　定比分点公式的应用（ｇ１）　ｙ８。。０　为空间任意一点，…　为线段　Ｐ　ＡＢ的中点当　…　…　脚－　？　…　的　…平面向量　量且仅当　ｉ声～－ｏＸ＋￣　　重心甘　≥；　！　（ｇ１）　一．　ｙ３：平面向量运算　通法为基向量法和坐标　。・　向量在另一个向量上的投影　法　ｌ　。　

第３４卷第７期２０１５年７月　数学教学研究　３７　ｙ１：求椭圆、双曲线、抛物线方程通法为待定系　１．椭圆、双曲线．的焦半径公式（ｇ３）　２．弦长公式　数法．　ｙ２：求椭圆、双曲线量的值或范围的通法为一元　～　干　＝　函数法及几何量关法．　＝圆锥曲线ｙ３：直线与曲线的关系通法为数形结合，涉及中　硝，　点一弦问题时，通法可用差分法（设端点坐　．　标作差一根据｛～ｙｌ十ｙ２Ｘｌ＿　＝　　Ｚｙｏ２ｘ。　及　：磐Ｘｌ　２　　＝　化简一求必要的值）．　的应用（ｇ２，ｇ３）　ｙ１：空间向量证明几何问题通法是降维为线线，　空间向量　以算代证．　法向量去求点面距离（ｇ２）　ｙ２：空间向量求角的通法是法向量法．　以上仅仅是对通性通法的初步界定，如　考［Ｍ］．北京：中国物价出版社，１９９９：２００—　前所述，通性通法一直在变迁之中，所以此总　２３８．　结只当一种抛砖引玉的教学参考．　［３］　史宁中．数学的基本思想［Ｊ］．数学通报，２０１１，　参考文献　（１）：１－９．　［１］罗增儒．数学解题学引ｒｅ［Ｍ］．西安ｔ陕西师范　［４］　刘治平．注重通性通法淡化特殊技巧［Ｊ］．考　大学出版社，１９９５：３６－４６７．　试，２０００，（１１）．　［２］　北京成功之路技术研究所．高考命题与科学应　（下转第４１页）　

第３４卷第７期２０１５年７月　数学教学研究　４１　平面ＢＣＤＥ，所以ＡＣ上ＤＥ，又ＤＥ上ＤＣ，从　深学生对数学概念的理解，在解题时更易把　而ＤＥ上平面ＡＣＤ．　握问题本质，直指题意．新课改强调要改进学　（Ⅱ）由ＣＤ＝２，ＢＤ＝ＢＣ＝￣／２，得ＢＤ－ｌ－　生的学习方法，教学过程中要关注学生的主　ＢＣ，又ＡＣ＿ｌ－平面ＢＣＤＥ，所以三棱锥Ａ－　体参与、师生互动，所以用问题驱动模式组织　ＢＣＤ的４个面都是直角三角形．　高三数学复习是一种重要的教学方式．问题　记二面角Ｂ－ＡＤ—Ｃ的平面角为　，则由　驱动模式教学法是一种以学生为主体、教师　性质２“ｔａｎ　一ｔａｎ　・ｓｉｎ口”知，　为主导、问题为核心，学生根据问题寻找解决　ｔａｎＺＣＤＢ＝ｔａｎ　・ｓｉｎＬＡＤＣ．　方案的学习方法，本文的研究成果可以作为　而ｔａｎＬＣＤＢ＝面ＢＣ一１一个案例使用．第一阶段，教师用教材的一个　，　探究提出问题，显得“接地气”，使得各层次的　ｓｉ　一　一　１学生都能有所思考；第二阶段，学生讨论解决　，　问题，教师主要是引导与提醒；第三阶段，学　所以　生发言，交流讨论结果，教师归纳、补漏；第四　ｔａｎ　＝　，　一要，　阶段，教师提供高考、模拟试题，引导学生用　讨论的结果解决，增强学生的学习信心．高中　所以，二面角Ｄ　ＡＤ—Ｅ的大小为号一　詈．　数学内容多、抽象程度高，如何帮助学生提高　５思考　解决数学的能力及成就感，本文的研究思想　高三数学复习中，如何创设高效课堂、提　提供了一种方向：关注基本元素．三棱锥是立　高教学有效性，是广大数学教师的思考与挑　体几何中最基础的几何体之一，垂直关系是　战，本文的研究过程提供了一种方法策略：立　立体几何的重要知识和必考内容，而４个面　足教材、深入挖掘、专题研究．许多高考试题　都是直角三角形的三棱锥恰能体现点、线、面　貌似陌生，但拂去试题的“装饰品”，我们会发　的垂直关系，而且包含了线线角、线面角、二　现其根在教材，体现了高考命题源于课本、高　面角的相互运算与大小比较，它就是立体几　于课本的特点．所以在复习时品读教材，研究　何的基本元素之一．　课本的例题、习题、探究，适当拓展深化，能加　（上接第３７页）　［５］潘颖艺．注重通性通法教学凸显数学本质理解　［９］王明山．高中数学教材中的争论点探究［Ｊ］．中　［Ｊ］．福建中学数学，２０１１，（７）：２９—３Ｏ．　国多媒体教学学报（中学版・数学），２０１１，　［６］何卫中．浅析高考数学复习中的通性通法教学　（６）．　［０Ｌ］．ｈｔｔｐ：／／ｗ￣ｗ．ｄｏｃｉｎ．ｃｏｍ／ｐ－８５３７４４５６．　［１０３王明山．数学中的有序思想探究［Ｊ］．数学教　ｈｔｍ１．　学研究，２０１１，３０（５）：１８－２４．　［７］章建跃．注重通性通法才是好的数学教学［Ｊ］．　［１１］徐永忠．三角函数式的化简策略［Ｊ］．中学生　中小学数学（高中版），２０１１，（１１）：封底．　数理化，２００２，（５）．　［８］王明山．集合的思想方法［Ａ］．见：杨春海，曲　［１２］　梁懿涛．一招定天下——向量坐标化解２０１３　瑞华．新课程精典案例教师指导用书（上）　高考平面向量试题［Ｊ］．教学考试，２０１３，　［Ｍ］．北京：中国社会出版社，２００５：１９０．　（４６）：４—６．