2023年12月16日发(作者：现代三年级数学试卷上册)
《必修五知识点整理》
第一章解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
1、正眩定理：在一个三角形屮，各边和它所对角的正眩的比相等，即一纟一=-^一=亠-
sin
A sin
B sinC
正弦定理推论：①~^— = ~^— = ~^ = 2R
sin
A sin
B sin
C
（/?为三角形外接圆的半径）
a sin
A h sin
B a sin
A
®a = 2Rsm A, b = 2Rsin B, c = 2/?sinC
®~ =-—,-=-—,-=-—
b sin
B c sin C
c sinC
b c a+b+c
@a:b:c = sinA:sinB: sin C
⑤ -------------------
sin
A sin
B sin
C sin A + sin B + sinC
2、解三角形的概念：一般地，我们把三角形的各个角即他们所对的边叫做三角形的元素。 任何一个三角形都有六个元素：三条边（a,b,c）和三个内角（A,B,C）.在三角形中，己知三 角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
3、正眩泄理确定三角形解的情况
图形 关系式 解的个数
A
为 锐
角
-A zL
d
zA
月
三
A R
®a = hsin A
②a>b
一解
bsm A a < bsin A 无解 A 为 钝 角 或 直 角 J N & A a>b A C B 一解 ，B a 2 2 2 abc =—he sin A = — acsin B = —ah sin ~4R C = 1.1.2余弦定理 5、余弦定理：三角形屮任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍，即 a =b + c - 2bccos A , b = a + c 一 2ca cos B, c = a +b - lab cos C . 2 2 2 余弦定理推论：cos\"出严 222222222cosB = a2 + c2-b2 cosC = 2ab 6、不常用的三角函数值 15° 75° 105° 165° sin er V6-V2 4 V6 + V2 4 2-V3 V6+V2 4 V6-V2 4 2 + V3 V6 + V2 4 —V6 + V2 4 -2-V3 V6 — V2 4 V6+V2 4 -2 + V3 COS (7 tana 1.2应用举例（浏览即可） 1、 方位角：如图1,从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角。 2、 方向角：如图2,从指定线到目标方向线所成的小于90°的水平角。（指定方向线是指 正北或正南或正西或正东） 3、 仰角和俯角：如图3,与冃标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标 视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯角。 仰角俯角 水平线 目标方向线 南 南 、视线 视线 （2）方向角 （3）仰角和俯4、视角：如图4,观察物体的两端，视线张开的角度称为视角。 （1）方位角 （4）视角 5、 铅直平行：与海平面垂直的平面。 6、 坡角与坡比：如图5,坡面与水平面所成的夹角叫坡角，坡面的铅直 （h 高度与水平宽度的比叫坡比i =-. （5）坡角与坡比水平面/ 第二章数列 数列的概念与简单表示法 1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列 的项。数列屮的每一项和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项）, 排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第z?位的数称为这个数列的第斤项。所以, 数列的一般形式可以写成q, a2,如 …，％，…，简记为｛色｝・ 2、 数列的通项公式：如果数列｛%｝的第项与序号间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 3、 数列的递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第2项（或某一项）开始 的任一项心与它的前一项an- （或前几项）（比》2 ）间的关系可以用一个公式表示，那 么这个公式叫做这个数列的递推公式。定义式为色=2色_|+1 （«>1 ） 4、 数列与函数：数列可以看成以正整数集N* （或它的有限子集｛1, 2, 3, 4,・・・，切）为定 义域的函数当自变量按照从大到小的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。 通项公式可以看成函数的解析式。 5、 数列的单调性：若数列｛%｝满足：対一切正整数都有色+1>色（或色+1<色）， 则称数列｛©｝为递增数列（或递减数列）。 判断方法：①转化为函数，借助函数的单调性，求数列的单调性； ②作差比较法，即作差比较色+|与陽的大小； 2.2等差数列 仁等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同 一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。定义式为an -an_x - d （ H > 2 , MG N*） an+｛ -an=d （ ne N*） 2、 等差中项：由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列。这时，A 叫做。与的等差中项。 A是a , h 的等差中项o A= a\"。2A = a--b <=> A-a = b-A. 2 3、 等差中项判定等差数列：任取相邻的三项 %an+x （«>2, nwN*）,则 an_｛, an, d“+］成等差数列o 2a“ =仏］+ a“+］ （ H>2 ） o ｛%｝是等差数列。 4、 等差数列的通项公式Q” =吗+ （/? - l）d ,其屮坷为首项，d为公差。变形为：d=牛于 5、 通项公式的变形：陽=4“+（〃 —加0,其屮尙为第血项。变形为〃=汇如・ n-m 6、 等差数列的性质：（1）若〃，m , p , <7 G N 且加 + 〃 = # + q，则 am + an = ap + aq ； （相同数量下，项数之和相等，项之和相等） （2） 若7/7+ /2 = 2/7,则am = an = 2af）； （3） 若加，p, 〃成等差数列，则佥，a』,色成等差关系；（等距等差） （4） 若｛色｝为等差数列，Sk,S2k—SK，S3k-S2k. ...Ill成等差数列（片段等差） （5） 若｛%｝成等差数列<=> an = pn + q （公差为p ,首项为p + q ）: （6） 若｛c”｝成等差数列，则｛色｝也成等差数列； （7） 如果｛%｝｛$｝都是等差数列,贝U｛p%+g｝，｛皿+心｝也是等差数列。 2.3等差数列的前〃项和 一般数列色与片的关系为©二 5（2 1） s 2、等差数列前〃项和的公式： 3、 /6+色）=呦+血也〃 ” 2 1 2 等差数列前斤项和公式的函数特征：（1）由S 止二〃 〃 1 2 2 2A = -, B = a,--，则仏｝为等差数列« Sfl=An + Bn （A. B为常数，其中d = 2A, ®=a + b ）・若AHO,即dHO，则S”是关于〃的无常数项的二次函数。若4 = 0,即 d = 0 ,则 Sfl = nax. （2） 若｛勺｝为等差数列，［色4也是等差数列，公差为2 n 2 （3） 则 Sm+n = 0 若Sn = m , Sm =nf 则 Sm+n ⑸若Sm = Sn,（4） 若｛an｝｛bn｝是均为等差数列，前n项和分别是九与场，则有如=也 b,n B— （5） 等差数列｛陽｝中，®>0, J <0 ,则S“有最大值，坷<0, J >0 ,则S”有最小值。 2.4等比数列 1、等比数列：一般地如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那 么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母g表示（$工0）. 定义式：~^~ = q , （77 > 2 ,0, <7 % 0）. 2、 等比中项：如果在G与b屮间插入一个数G ,使a, G , b成等比数列，那么G叫做G 「 1 _________________________ 与b的等比数列。a, G , b成等比数列=> —=—=>G2 =6//7=>G = ±V^. a G 两数同号才有等比中项，且有2个互为相反数。 3、 通项公式：% = a&i =玉• q\"q 其中首相为坷，公比为q. 4、 等比数列的性质：aH = amql m （ n , m e N*）. 2.5等比数列的前“项和 1、 等比数列的前n项和的公式：SMn=ai（l-qtl｝（ a-aaqi） -q -q \' ） 2、 等比数列的前〃项和的函数特征：当9工1吋，L ——\" -q -q A二丄，即1-q Sn=-Aqn+A.（帮助判断等比数列） 3、 等比数列的前刃项和的性质： 在等比数列中： （1）当G，Sg-Sp, S.k - S2k,…均不为零时，数列成等差数列。公比为qk. ⑵S”=SM—飞 （3） 仏=q\"-” 或 （m、n G N*） （4） 若m + n = p + q ,则 am -an = ap -aq （5） 若｛%｝为等差数列，贝为等比数列 （6） 若｛色｝为正项等比数列，则｛logc%｝是等差数列 -q q\".记 (7)若｛%｝、｛$｝均为等比数列,则｛加” (\"0)、｛IQ” I｝、｛｝、｛Q” 仍是等比数列。公比分别为：g、丄、同、孑、§0、鱼. q 〜① ⑻等比数列｛a”｝的增减性:当f J或｛?：° ] 或u\'>i°时，>()仏\"｝为递增减数列。 4、由递推公式求数列通向法：(具体步骤参考金字塔教材) (1) 累加法：all+i=an+f(n)变形：an+l-an= (2) 累乘法：变形：^- = /(/?) (3) 取倒数法：4出=亠」 qj + P (4) 构建新数列法：an^ = pan + q (其中p, q均为常数，(加(#一1)工0)) =>设 an+[ + £ = p(an +/:)=> [an +&｝为等比数列。 第三章不等式 3.1不等式关系与不等式 1、 不等式定义：用不等号(>、<、n、5、工)表示不等关系的式子叫不等式，记作 f(x)>g(x), f(x)>g(x)等。用“>”或“V”连接的不等式叫严格不等式,用不“n” 或连接的不等式叫非严格不等式。 2、 实数的基本性质 a>b<=>a-b>0 ； a = b<=>a-b = O ； a 实数的其他性质 a > 0] a v 0〕 >=>d + b>0, ab>0； a > 0〕 + ab>0： &<0j
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