高中数学奥林匹克竞赛

2023年12月10日发(作者：2022年高考数学试卷遗憾)

奥林匹克数学竞赛，简称奥数。1934年和1935年，苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克。国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题。

我国的高中数学竞赛分三级：每年10月中旬的全国联赛；次年一月的CMO（冬令营）；次年三月开始的国家集训队的训练与选拔。

“全国高中数学联赛”（创办于1981年），承办方式与初中联赛相同，每年10月举行，分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的“中国数学奥林匹克（CMO）暨全国中学生数学冬令营”（每年元月）。

全国数学联赛分为一试、加试(即俗称的“二试”)。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

平面几何

基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和周长方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法*。

平面凸集、凸包及应用。

代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合。简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中斯包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数[x]，费马小定理，欧拉函数*，孙子定理*，格点及其性质。

立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。正多面体，欧拉定理。

体积证法。截面，会作截面、表面展开图。

平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。园的幂和根轴。

其他

抽屉原理。容斥原理。极端原理。集合的划分。覆盖。