成人高考数学公式大全

2024年1月17日发(作者：轻易考8月数学试卷)

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数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA.

2.德摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA

ACUBCUABR

4.容斥原理

card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

card(AB)cardAcardBcard(AB)

5．集合{a,a,12,an}的子集个数共有2n

n个；真子集有2–1个；n非空子集有2 –1个；非空的真子集有2–2个.

n6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)ax2bxc(a0);

2(2)顶点式f(x)a(xh)1k(a0);

2(3)零点式f(x)a(xx)(xx)(a0).

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7.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0

||f(x)22Mf(x)11f(x)NMN.

12128.方程f(x)0在(k,k)上有且只有一个实根,与f(k)f(k)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程ax2bxc0(a0)有且只有一个实根在(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1kk2b12a2,或f(k2)0且k1k2bk2.

22a9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数xf(x)ax2bxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在b处及区间的两端点处取得，具体如下：

2a(1)当a>0时，若xbp,q，则f(x)minf(b),f(x)maxmaxf(p),f(q)；

2a2abxp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).

2a(2)当a<0时，若xbp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若xbp,q，2a2a则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).

10.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 .

设f(x)x2pxq，则

（1）方程p24q0；

pm2f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或

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f(m)0f(n)0f(m)0f(n)02或或；

p4q0af(n)0af(m)0mpn2（3）方程p24q0 .

pm2f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)(3)man0(xL).

a0a042f(x)axbxc0恒成立的充要条件是b0或2.

b4ac0c012.真值表

ｐ ｑ 非ｐ或ｐ且ｑ

真

假

假

假

ｐ ｑ

真 真 假 真

真 假 假 真

假 真 真 真

假 假 真 假

13.常见结论的否定形式

原结论 反设原结论 反设词

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词

是

都是

大于

小于

不是 至少有一个也没一个

是

于

于

x，

有

个

（n1）个

（n1）个

p且q

不都至多有至少有两一个

n个

不大至少有至多有不小至多有至少有n个

对所有存在

某x，

不成立

对任何存在

x，

p或q

成立

p或q

某x，

p且q

不成立 成立

14.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题

若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ

互 互

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互 为 为 互

否 否

逆 逆

否 否

否命题 逆否命题

若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

(1)设xxa,b,x121x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.

x1x2(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数yf[g(x)]是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

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奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

20.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数xab;两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线2xab对称.

2f(x)f(xa)21.若,则函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称; 若2f(x)f(xa),则函数yf(x)为周期为2a的周期函数.

22．多项式函数P(x)axnnan1xn1a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx)

2f(abmx)f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

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(2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线xab对称.

2m(3)函数yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，yf(xa)b的图象；得到曲线f(xa,yb)0的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

27.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y1[fk1(x)b],并不是y[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数.

k28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

x(3)对数函数f(x)logx,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

a(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),fg(x)1.

x\'(1).

(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a；

（2）f(x)f(xa)0，

或f(xa)或f(xa)1(f(x)0)，

f(x)1(f(x)0),

f(x)

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或12f(x)f2(x)f(xa),(f(x)0,1),则f(x)的周期1(f(x)0)，则f(x)的周期f(xa)T=2a；

(3)f(x)1(4)f(xT=3a；

1x2)f(x1)f(x2)且f(a)1(f(x1)f(x2)1,0|x1x2|2a)，则f(x)的周期1f(x1)f(x2)T=4a；

(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a)

f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(x4a),则f(x)的周期T=5a；

(6)f(xa)f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）.

（a0,m,nN，且n1）.

a31．根式的性质

（1）(na)na.

n（2）当n为奇数时，ana；

a,a0nnn当为偶数时，a|a|.

a,a032．有理指数幂的运算性质

(1)

arasars(a0,r,sQ).

rs(2)

(a)(3)(ab)rars(a0,r,sQ).

arbr(a0,b0,rQ).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

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logaNbabN(a0,a1,N0).

34.对数的换底公式

logaNlogmNlogma (a0,且a1,m0,且m1,

N0).

nlogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1,

N0).

m推论

lognmba35．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

(1)log(3)loga(MN)logaMlogaNa;

(2)

logaMlogaMlogaN;

NMnnlogaM(nR).

2(axbxc)(a0),记b24ac.若f(x)的定义域为R,m36.设函数f(x)log需要单独检验.

则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,37. 对数换底不等式及其推广

若a0,b0,x0,x1,则函数ylogaax(bx)

ax (1)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylog，

aa(2)当ab时,在(0,1)和(1,)上ylogax(bx)为减函数.

aa(bx)为增函数.

推论:设nm1，p0，a0，且a1，则

（1）log（2）logmp(np)logmn.

2amloganlogamn.

238. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的

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总产值y，有yN(1p).

x39.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,(

ansnsn1,n2数列{a}的前n项的和为snna1a2an).

40.等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d

22d1n2(a1d)n.

22sn41.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)；

q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q11q或sn.

na,q1142.等比差数列a:ann1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn.

d1qnd(b1q)q11qn,(q1)

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43.分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b).

n(1b)144．常见三角不等式

（1）若x(0,)，则sinxxtanx.

2(2) 若x(0,)，则1sinxcosx22.

(3)

|sinx||cosx|1.

45.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=sincos，tancot1.

46.正弦、余弦的诱导公式

nn(1)2sin,sin()

n12(1)2cos,(n为偶数)

(n为奇数)

(n为偶数)

(n为奇数)

nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,

47.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsintan()tantan1tantan;

.

(平方正弦公式);

.

所在象限由点(a,b)的象限决sin()sin()sin2sin2cos()cos()cos2sin2asinbcosa=a2b2sin()(辅助角定,tanb ).

48.二倍角公式

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sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

tan22tan.

21tan49. 三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

213tan33.50.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xk,kZ(A,2ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

51.正弦定理

abc2R.

sinAsinBsinC52.余弦定理

a2b2c22bccosA;

b2c2a22cacosB;

c2a2b22abcosC.

53.面积定理

（1）S1ah11bhchc（ha、hb、hc分别表示ab222（2）S1absinC1bcsinA1casinB.

222a、b、c边上的高）.

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(3)SOAB1(|OA||OB|)2(OAOB)22.

54.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB).

22255. 简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).

cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

56.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ.

tanxa(aR)x(karctana,k),kZ.

2tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

57.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

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(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;

(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

58.向量的数量积的运算律：

(1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（a）·b=

（a·b）=a·b= a·（b）;

(3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

59.平面向量基本定理

如果e1、e

2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

60．向量平行的坐标表示

设a=(x,y),b=(x,y)，且b0，则ab(b0)x11221y2x2y10.

53. a与b的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ．

61. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

62.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x,y),b=(x,y)，则a+b=(xx,y1122121y2).

(2)设a=(x,y),b=(x,y)，则a-b=(xx,yy2).

2

(3)设A(x,y)，B(x,y),则ABOBOA(x(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

x1,y2y1).

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(5)设a=(x,y),b=(x,y)，则a·b=(xx112212y1y2).

63.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x,y),b=(x,y)).

112264.平面两点间的距离公式

dA,B=|AB|ABAB

(x2x1)2(y2y1)2(A(x,y)，B(x,y)).

112265.向量的平行与垂直

设a=(x,y),b=(x,y)，且b0，则

1122A||bb=λa

x1y2x2y10.

12ab(a0)a·b=0xxy1y20.

66.线段的定比分公式

设P(x,y)，P(x,y)，P(x,y)是线段PP的分点,是实数，且PPPP，1112221212则

x1x2xOP11OP2OP1yy1y21

OPtOP1(1t)OP2（t1）.

167.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)、C(x,y),则△ABC的112233重心的坐标是G(xx1x3y1y2y3,).

33268.点的平移公式

\'\'xxhxxh\'\'OPOPPP .

\'\'yykyyk

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注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为\'P\'(x\',y\')，且PP\'的坐标为(h,k).

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

\'(2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的\'\'函数解析式为yf(xh)k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),\'则C的函数解析式为yf(xh)k.

\'(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为\'\'f(xh,yk)0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则

（1）O为ABC的外心OA222OBOC.

（2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA.

（4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0.

（5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

71.常用不等式：

（1）a,bRa（2）a,bR2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

a＝b时取“=”号)．

abab(当且仅当2

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（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0).

（4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.

72.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值24p；

2（2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值1s.

推广 已知x,yR，则有(xy)当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时,

|xy|最小；

当|xy|最小时,

|xy|最大.

73.一元二次不等式ax22(xy)22xy

（1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大；

bxc0(或0)(a0,b24ac0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)；

xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

74.含有绝对值的不等式

当a> 0时，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

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75.无理不等式

（1）（2）（3）f(x)0 .

f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0.

f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0.

f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]276.指数不等式与对数不等式

(1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)77.斜率公式

ky2y1x2x1（P(x,y)、P(x,y)）.

11122278.直线的五种方程

（1）点斜式

（2）斜截式

（3）两点式

(4)截距式

yy1k(xx1) (直线l过点P(x,y)，且斜率为k)．

111ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

(x1yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)

y2y1x2x1x2)).

xy1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab

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（5）一般式

AxByC0(其中A、B不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

①l1||l2k1k2,b1b2;

②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、①l1||l2A1B1CA12B2C；

2②l1l2A1A2B1B20；

80.夹角公式

(1)tan|k2k11k|.

2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(2)tan|A1B2A2B1AA|.

12B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是2.

81.

l1到l2的角公式

(1)tank2k11k.

2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

(2)tanA1B2A2B1A.

1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

直线l1l2时，直线l1到l2的角是2.

82．四种常用直线系方程

1、B2都不为零, B

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(1)定点直线系方程：经过定点yy0k(xx0)(除直线xx0),其中k00P0(x0,y0)的直线系方程为000是待定的系数; 经过定点P(x,y)0,l2:A2xB2yC20的2的直线系方程为A(xx)B(yy)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l:AxByC1111112221交点的直线系方程为(AxByC)(AxByC)0(除l)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是BxAy0,λ是参变量．

83.点到直线的距离

d|Ax0By0C|AB22(点P(x,y),直线l：AxByC0).

0084.

AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是：

若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85.

(AxByC)(AxByC)0或0所表示的平面区域

111222

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设曲线C:(AxByC)(AxByC)0（AABB11122212120），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分；

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程

(xa)（2）圆的一般方程

（3）圆的参数方程

是A(x,y)、B(x,y)).

11222(yb)2r2.

x2y2DxEyF0(D2E24F＞0).

xarcos.

ybrsin(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点（4）圆的直径式方程

87. 圆系方程

(1)过点A(x,y),B(x,y)的圆系方程是

1122(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数．

(2)过直线l:AxByC0与圆C:x是x22y2DxEyF0的交点的圆系方程y2DxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

2(3) 过圆C:x1y2D1xE1yF10与圆C2:x2y2D2xE2yF20的交点的2圆系方程是x数．

y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0,λ是待定的系88.点与圆的位置关系

点P(x,y)与圆(xa)002(yb)2r2的位置关系有三种

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若d(ax0)2(by0)2，则

dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

89.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)dr相离0;

dr相切0;

2(yb)2r2的位置关系有三种:

dr相交0.

其中dAaBbCAB22.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，OO12d

dr1r2外离4条公切线;

dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线;

dr1r2内切1条公切线;

0dr1r2内含无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x

2y2DxEyF0．

00①若已知切点(x,y)在圆上，则切线只有一条，其方程是

D(x0x)E(y0y)F0.

22当(x0,y0)圆外时,

x0xy0yD(x0x)E(y0y)F0表示过两个切点的22x0xy0y切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件

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求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2y2r2．

2①过圆上的P(x,y)点的切线方程为xxyyr;

00000②斜率为k的圆的切线方程为ykxrx2y293.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc1k2.

xacosx2y292.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin

94．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab22x0y021.

2ab22x0y021.

2ab95. 椭圆的切线方程

x2y2(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是x02xy02y1.

ababx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点ab弦方程是

x0xy0y21.

2ab （3）椭圆A2a2B2b2c2.

x2y221(ab0)2ab与直线AxByC0相切的条件是x2y296.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

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97.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab22x0y021.

2ab22x0y01.

a2b298.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2x2y2(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220ybx.

ababax2y2xyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2 (3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，abab焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.

99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线x0xy0y21.

2abx2y221(a0,b0)2ab上一点P(x0,y0)处的切线方程是

x2y2（2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的ab切点弦方程是

x0xy0y21.

a2b （3）双曲线A2a2B2b2c2.

x2y21(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是a2b2100. 抛物线y抛物线y222px的焦半径公式

2px(p0)焦半径CFx0p.

2过焦点弦长CDx101.抛物线y21ppx2x1x2p.

222px上的动点可设为P(y,y)或P(2pt2,2pt)或

2p2P(x,y)，

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其中

y22px.

2b24acb2102.二次函数yaxbxca(x)（1）(a0)的图象是抛物线：2a4ab4acb2b4acb21)；)；顶点坐标为(,（2）焦点的坐标为(,（3）2a4a2a4a4acb21准线方程是y.

4a103.抛物线的内外部

(1)点P(x,y)在抛物线y0022px(p0)的内部y22px(p0).

点P(x,y)在抛物线y000022px(p0)的外部y22px(p0).

2(2)点P(x,y)在抛物线y点P(x,y)在抛物线y000022px(p0)的内部y22px(p0).

2px(p0)的外部y22px(p0).

2(3)点P(x,y)在抛物线x点P(x,y)在抛物线x000022py(p0)的内部x22py(p0).

2py(p0)的外部x22py(p0).

2(4) 点P(x,y)在抛物线x点P(x,y)在抛物线x0022py(p0)的内部x22py(p0).

2py(p0)的外部x22py(p0).

104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线y22px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

2 （2）过抛物线y程是yyp(xx).

002px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方 （3）抛物线pB22AC.

y22px(p0)与直线AxByC0相切的条件是105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f(x,y)0,f12(x,y)0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

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x2y2(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程221,其中kmax{a2,b2}.当akbkkmin{a2,b2}时,表示椭圆; 当min{a,b}kmax{a,b}时,表示双曲线.

2222106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

ykxbA(x1,y1),B(x2,y2)，由方程

F(x,y)0AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（2弦端点消去y得到axbxc0，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.

A2B2A2B2108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Axy2，用2BxyCy2DxEyF0，用x0x代x2，用y0y代x0yxy0代xy，用x0x代x，用y0y代y即得方程

222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中222点弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

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（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.

114．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

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（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律

(1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．

(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby．

推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB，

或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、

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B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D

四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

121.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，则

\'\'A\'B\'|AB|cos〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)则

123123(1)a＋b＝(ab,a112b2,a3b3)；

b2,a3b3)；

(2)a－b＝(ab,a11122(3)λa＝(a,a,a) (λ∈R)；

3(4)a·b＝abab1111122a3b3；

222123.设A(x,y,z)，B(x,y,z)，则

ABOBOA=

(x2x1,y2y1,z2z1).

124．空间的线线平行或垂直

设a(x,y,z)，b(x,y,z)，则

111222

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x1x2abab(b0)y1y2；

zz21abab0x1x2y1y2z1z20.

125.夹角公式

设a＝(a,a,a)，b＝(b,b,b)，则

123123cos〈a，b〉=推论

(abab1122a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223.

222a3b3)2(a12a2a3)(b12b2b32)，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中,

AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBD127．异面直线所成角

cos|cosa,b|

=|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z29

（其中（0）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

128.直线AB与平面所成角

arcsinABm(m为平面的法向量).

|AB||m|129.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是、,A、B为ABC的两个内角，则

12sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

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sin21sin22sin2.

130.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是、,A、B为ABO的两个内角，则

\'\'12tan21tan22(sin2A\'sin2B\')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2.

131.二面角l的平面角

arccosmn或arccosmn（m，n为平面，的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成12的角为．则coscos133. 三射线定理

1cos2.

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角是θ，则有;

时等号成立).

sin2sin2sin21sin222sin1sin2cos

|12|180(12)(当且仅当90134.空间两点间的距离公式

若A(x,y,z)，B(x,y,z)，则

111222

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

135.点Q到直线l距离

h1(|a||b|)2(ab)2|a|(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量

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b=PQ).

136.异面直线间的距离

d|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任|n|12一点，d为l,l间的距离).

137.点B到平面的距离

d|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）.

|n|138.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

.

\'dh2m2n22mncosEA\',AFdh2m2n22mncos（EAAF）.

\' (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，AEm,AFn,EFd).

\' 139.三个向量和的平方公式

(abc)abc2ab2bc2ca

2222abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a222

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l、l、l，夹角分别为、、,则有

123123l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

141. 面积射影定理

S\'Scos.

\'(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐

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二面角的为).

142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S直截面的周长和面积分别是c和S,则

1斜棱柱侧和V斜棱柱,它的1①S②V斜棱柱侧c1l.

斜棱柱S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E1nF；

2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E1mV.

2146.球的半径是R，则

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其体积V4R,

33其表面积S4R．

2147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.

(2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

1V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

366a,外接球的半径为a.

124149.分类计数原理（加法原理）

Nm1m2mn.

150.分步计数原理（乘法原理）

Nm1m2mn.

151.排列数公式

Anm=n(n1)(nm1)=n！.(n，m∈N*，且mn)．

(nm)！注:规定0!1.

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152.排列恒等式

(1）Amnm1(nm1)An;

（2）A（3）AmnnmAn1;

nmmnnnm1nAn1;

n1nAn1An;

mm1AnmAn.

（4）nA（5）Amn1(6)

1!22!33!=AnmmAmnn!(n1)!1.

153.组合数公式

Cmn=n(n1)(nm1)=12mn！(n∈N*，mN，且mn).

m！(nm)！154.组合数的两个性质

(1)C=C ;

mnnmn(2)

C+C=C.

mnm1nmn1注:规定C（1）C0n1.

155.组合恒等式

nm1m1Cn;

m（2）CnmnCnm1;

nm（3）CnmnCnm11;

mmn

（4）C=2;

nrnnr0（5）C(6)C(7)C0n1nrrrr1Crr1Crr2CnCn1.

12rnCnCnCnCn2n.

35024CnCnCnCnCn2n1.

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(8)C(9)Crm1n23n2Cn3CnnCnn2n1.

0r110rrrCnCmCnCmCnCmn.

02n1222n2n)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

(10)(C156.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn .

157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有A种；②某（特）元不在某位有Am1n1mnm1An1（补集思想）A1n1m1m1m1An1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AA种.

kkmknkn个元素的全排列把k个元排在一起的排法有A②浮动紧贴：nk1nk1Akk种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有A（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

hhkAh1种.

当nm1时，无解；当nm1时，有素分别相同的排列数为C.

nmnnAmn1Cm1种排法.

nAn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元158．分配问题

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（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有NCnmnnnnnCmnnCmn2nC2nCn(mn)!.

(n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnNm!m!(n!)m.

12（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n+这+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nmm个数彼此不相等，则其分配方法数共有p!m!.

n1!n2!...nm!12nmn1n2NCpCpn1...Cnmm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n+n+12+nm)个物体m1分给m个人，物件必须被分完，分别得到n，n，…，n件，且n，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Nnmn1n2CpCpn1...Cnmm!a!b!c!...

p!m!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)12（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n+12m12+nm)个物体分为m任意的n，n，…，n件无记号的m堆，且n，n，…，n这m个数!彼此不相等，则其分配方法数有Nn!np.

!...n!12m（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n+n+1212m12+nm)个物体m分为任意的n，n，…，n件无记号的m堆，且n，n，…，n这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Np!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).

12（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn+n++nm）个物体分

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给甲、乙、丙，……等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2NCpCp...Cn1nmp!.

n1!n2!...nm!159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

f(n)n![1112!3!4!(1)n1].

n!推广:

n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为

1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!ppm(1)C(nm)!pmmmm

1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnpCm(1)pAnmCm(1)m].

An160．不定方程x+x+12+xnm的解的个数

(1)方程x+x+12n1+xnm（n,mN）的正整数解有Cm个.

11+xnm（n,mN）的非负整数解有

Cnn个.

m1(2) 方程x+x+12(3) 方程x+x+12+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的n1m1(n2)(k1)非负整数解有C(4) 方程x+x+12个.

2n1(1)n2CnnCm1(n2)k个.

2+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)的正整数解有C1n12n1CCCCnm1n2mnk2n2mn2k3nn1161.二项式定理

(ab)0n1n12n22rnrrnnCnaCnabCnabCnabCnb ;

二项展开式的通项公式

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rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n).

162.等可能性事件的概率

P(A)m.

n163.互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

165.独立事件A，B同时发生的概率

P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．

167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

P(k)CP(1P).

nknknk168.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）P0(i1,2,);

i（2）PP121.

169.数学期望

Ex1P1x2P2xnPn

170.数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b.

（2）若～B(n,p),则Enp.

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则E1.

p

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171.方差

Dx1Ep1x2Ep222xnEpn2

172.标准差

=D.

173.方差的性质

(1)DabaD；

2(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)q174.方差与期望的关系

DE2E2k1p，则Dqp2.

.

,x,，式中的实数μ，（175.正态分布密度函数

fx1e26x2262>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

x1fxe2,x,.

262177.对于N(,)，取值小于x的概率

2Fx2Fx1

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1

xx12.

178.回归直线方程

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nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2.

yabx，其中xixxi2nx2i1i1aybx179.相关系数

rxxyyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn

2xxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

180.特殊数列的极限

0qn1（1）limn不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt).

nbntbnt1b0tt1bk不存在 (kt)（3）Slimna11qn1qa1（S无穷等比数列a1qn1 (|q|1)的和）.

1q181. 函数的极限定理

xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a.

xx0xx0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：

（1）g(x)f(x)h(x);

（2）limg(x)a,limh(x)a（常数）,

xx0xx0则limf(x)a.

xx0

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本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

183.几个常用极限

（1）lim10，limannnn0（|a|1）；

x0（2）limxx，lim11.

xx00xx0x184.两个重要的极限

（1）limsinx1；

x0x1（2）lim1e(e=2.718281845…).

xxx185.函数极限的四则运算法则

若limf(x)a，limg(x)b，则

xx0xx0(1)limfxgxab；

xx0(2)limfxgxab;

xx0(3)limfxab0.

xx0gxb186.数列极限的四则运算法则

若limannna,limbnb，则

nn(1)limanbnab；

bnab；

ab0

bnnnn(2)lima(3)limannnbn(4)limcalimcliman0ca( c是常数).

187.f(x)在x处的导数（或变化率或微商）

f(x0)yxx0limf(x0x)f(x0)y.

limx0xx0x

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188.瞬时速度

s(t)limss(tt)s(t).

limt0tt0t189.瞬时加速度

av(t)limvv(tt)v(t).

limt0tt0t190.f(x)在(a,b)的导数

f(x)ydydfyf(xx)f(x).

limlimdxdxx0xx0x0191. 函数yf(x)在点x处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x处的导数是曲线yf(x)在P(x,f(x))处的切线的斜000率f(x)，相应的切线方程是yy00f(x0)(xx0).

192.几种常见函数的导数

(1)

C0（C为常数）.

(2)

(x)nx\'nn1(nQ).

(3)

(sinx)cosx.

(4)

(cosx)sinx.

(5)

(lnx)1；(loga)1log.

xexxa(6)

(e)e;

(axxx)axlna.

193.导数的运算法则

（1）(uv)uv.

\'\'\'（2）(uv)\'u\'vuv\'.

u\'u\'vuv\'（3）()2(v0).

vv194.复合函数的求导法则

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设函数u(x)在点x处有导数u点U处有导数y\'u\'x\'(x)，函数yf(u)在点x处的对应f\'(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且\'\'\'yxyuux，或写作fx\'((x))f\'(u)\'(x).

195.常用的近似计算公式（当(1)1x1x充小时）

1n1x;1x1x；

2n(2)(1x)1x(R)；

11x；

1x(3)ex1x；

(4)l(1x)x；

n(5)sinxx（x为弧度）；

(6)tanxx（x为弧度）；

(7)arctanxx（x为弧度）

196.判别f(x)是极大（小）值的方法

0当函数f(x)在点x处连续时，

0（1）如果在x附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)是极大值；

00（2）如果在x附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x)是极小值.

00197.复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR）

198.复数zabi的模（或绝对值）

|z|=|abi|=a2b2.

199.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

(2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i;

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(3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i;

(4)(abi)(cdi)acbdbcadi(cdi0).

c2d2c2d2200.复数的乘法的运算律

对于任何z,z,z123C，有

交换律:zz112z2z1.

23结合律:(zz)z分配律:z(z12z1(z2z3).

z3)z1z2z1z3 .

201.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

202.向量的垂直

非零复数z

OZ1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则

1OZ2z1z2的实部为零z2z1为纯虚数|z1z2|2|z1|2|z2|2

|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2

(λ为非零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程ax22bxc0，

bb24ac①若b4ac0,则x1,22a;

②若b③若b

24ac0,则x1x2b;

2a24ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且b(b24ac)i2仅有两个共轭复数根x(b4ac0).

2a个人车位租赁合同范本

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出租方（甲方）：xxx 身份证号：xxxxxxxxx

承租方（乙方）：xxx 身份证号：xxxxxxxxx

甲、乙双方经充分协商，现将甲方位于xxxxxxxxx私家车位租给乙方作为车辆（车牌号：xxxxx）停放使用，并签订如下车位租赁合同条款，甲、乙双方共同遵守和执行。

一、本车位租金_xxx元整/年，大写：_xxxx_.支付方式为_签订合同后一次性支付__.乙方到期如需续租，需提前1个月通知甲方。车位管理费用由甲方支付，需乙方替交时留存物业缴费凭证当年租金从中扣除缴纳费用。乙方留存租金收条/微信或支付宝截屏均可作为支付凭证。

乙方另支付蓝牙卡设备押金xxx元，合同到期后返还。

二、租期为_xxx6__年__xx___月__xxx___日至__xxxx__年__xxx___月__xxx__日止。

三、如乙方在租赁期间要该场地转租给第三方使用时，必须征得甲方同意方可转租，否则视为违约，甲方可收回车位，剩余租金概不退还。

四、甲方责任及义务：

1、在租赁期间，如甲方需提前收回乙方使用的车位使用权，则甲方返还当年租金；如乙方提前退还车位，剩余费用不返还。

2、在租赁期间，如自然损坏产生的场地维修及检修费用由甲方支付，如人为损坏（包括乙方）场地维修所产生的费用由行为人负责支付。

3、甲方所出租的场地，仅供乙方作停泊车辆使用，不作任何保管；如乙方所停泊的车辆有任何损失或被人为损坏的，一切后果由乙方自负。

五、乙方责任及义务：

1、乙方在租赁期内必须按合同条款的规定按时缴付车位租金；如乙方拖欠租金达一周，即被视为是自行解除本合同行为，甲方有权将该车位收回，并保留向乙方追收拖欠费用和违约金的权利。（如因特殊情况未能如期签订续租合同，必须提前以书面通知或电话通知的方式征得甲方同意，在双方签订续租合同时连同拖欠的费用一并付清）。

2、在租赁期内，如乙方需要提前退租车位的，乙方必须提前一个月通知甲方并解除本合同。

3、乙方必须将车辆按车位及物管要求停泊好并做好防盗措施，如发生任何车辆遗失或损坏的一切损失由乙方自负,如因乙方原因给甲方造成的损失，由乙方负责。

六、本合同以双方签约之日起生效，如今后有补充作补充协议处理，与此合同具同等效力。

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七、本合同一式两份，甲、乙双方各执一份。

合同附近：甲方的车位使用权购买协议复印件、乙方的身份证及停驶车辆行驶证复印件。

出租人： 承租人：

电话： 电话：

__2016__年__x__月__x_日 __2016__

年__x_月__xx__日