高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

2024年4月3日发(作者：2019河北模拟数学试卷)

高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理

第7讲 正弦定理与余弦定理

[学生用书P82]

1．正弦定理和余弦定理

定理 正弦定理 余弦定理

a

2

＝b

2

＋c

2

－2bccos_A；

＝＝＝2R

内容

(R为△ABC外接圆半径)

c

2

＝a

2

＋b

2

－2abcos_C

a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，

c＝2Rsin_C；

sin A＝，sin B＝，

变形形式

sin C＝；

a∶b∶c＝

sin_A∶sin_B∶sin_C；

＝

cos A＝；

cos B＝；

cos C＝

b

2

＝c

2

＋a

2

－2cacos_B；

2.三角形中常用的面积公式

(1)

S

＝

ah

(

h

表示边

a

上的高)；

(2)

S

＝

bc

sin

A

＝

ac

sin_

B

＝

ab

sin

C

；

(3)

S

＝，其中

p

＝(

a

＋

b

＋

c

)．

1．辨明两个易误点

(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一

边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无

解，所以要注意分类讨论．

(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项

提取公因式，以免漏解．

2．余弦定理的推导过程

如图，设＝

a

，＝

b

，

＝

c

.

则

c

＝

a

－

b

，

所以|

c

|

2

＝(

a

－

b

)

2

＝

a

2

－2

a

·

b

＋

b

2

＝|

a

|

2

＋|

b

|

2

－2|

a

||

b

|cos

C

.

即

c

2

＝

a

2

＋

b

2

－2

ab

cos

C

.

同理可证

a

2

＝

b

2

＋

c

2

－2

bc

cos

A

.

b

2

＝

c

2

＋

a

2

－2

ca

cos

B

.

3．三角形解的判断

图

形

关

系

a＝bsin A

式

解

的

个

数

一解 两解 一解 一解

bsin A

a≥b

a>b

A为锐角

A为钝角或

直角

1. 在△

ABC

中，

A

＝45°，

C

＝30°，

c

＝6，则

a

等于( )

A．3 B．6