数学为体文化为魂--李大潜主编的《数学文化小丛书》第一、二辑读后

2023年12月23日发(作者：初中数学试卷竞赛)

数学为体文化为魂--李大潜主编的《数学文化小丛书》第一、二辑读后

王建磐

【摘 要】Booklets on Mathematical Culture edited by Li Tatsien serve as

out-of-class reading material in mathematics and mathematical culture for

young students. Each booklet involves a mathematical theme, with more

attention paid to the cultural value hidden in the mathematical knowledge.

Since 2007, more than 20 booklets have been published, and the first 20

are collected as Series I and Series II. Besides an overall introduction to the

two series, the author categorizes the 20 booklets and furthermore, he

selects 10 out of the 20 and make meticulous review on their mathematical

contents and cultural values. The author’s views on mathematics,

mathematical culture and mathematics education are also reflected in the

introduction and reviews.%李大潜主编的《数学文化小丛书》是面向青年学生的数学与数学文化课外读物，每本小册子有数学主题，但更注重蕴涵在数学知识中的文化价值。自2007年以来该丛书陆续出版了二十余本，其中前20本汇集成了第一、二辑。作者除了对这两辑丛书做总体介绍外，还把20本小册子做了分类，并对其中10本小册子的数学内容和数学文化价值做了重点评述。在这些介绍和评述中，也渗透了作者对数学、数学文化和数学教育的一些见解。

【期刊名称】《数学教育学报》

【年(卷),期】2015(000)002

【总页数】3页(P1-3)

【关键词】数学主题;数学文化;课外读物;读后感

【作 者】王建磐

【作者单位】华东师范大学，上海 200062

【正文语种】中 文

【中图分类】G40-055

简明生动的数学普及读物对激发广大青年学生对数学的兴趣，乃至引导其中一部分人走上专业数学学习与数学工作之路，往往会比课堂教学起到更大的作用．当我还是一个中学生的时候，非常幸运地见到了老一辈数学家撰写的一套《数学小丛书》1，每册围绕一个主题，篇幅短小，融知识性和趣味性于一体，深入浅出地展示了数学的魅力，让我爱不释手，欲罢不能．

五十多年后的今天，我非常欣喜地看到李大潜主编的《数学文化小丛书》二十余本小册子又先后面世2，再一次为中学生和热爱数学的青年奉上了精美的精神食粮．

与《数学小丛书》丛书相比，新的丛书标题上多了“文化”二字，它的总序也明确表明这套丛书是“本着弘扬和普及数学文化的宗旨而编辑出版的”．这也许就是两套丛书立意和指向上的差异．事实上，由于时代的发展，基础教育乃至高等教育的普及，数学在各种行业中已得到广泛的应用．于是，更多人学习数学了，也有更多人希望进一步拓展自己的数学知识，了解数学和自己所从事或所希望从事的数学或非数学的职业的联系，了解数学的社会价值和文化价值．这使得近年来“数学文化”成为热门话题，数学工作者为此做了许多努力，相关的课程、读物、讲座不断出现．在这个新形势下数学普及读物不能不更多地关注数学文化．我以为，这是这套新丛书立意的社会背景和必然选择．那么，什么是数学文化呢？也许这没有公认的

准确定义．但一般说来，数学知识产生与发展的过程，数学历史上的重大事件与重要人物，数学知识背后的精神实质以及蕴含在数学体系中的数学哲学、数学思想与方法论，数学的宏观视角与内部联系，以及数学与外部世界的联系和对外部世界的影响，特别是数学对科技发展和社会进步所起的举足轻重的作用等，都是数学文化的重要内容．数学文化不是游离在数学之外的东西，而是渗透在数学知识体系之中．因此，正如丛书总序指出的，“学好数学，……要着重领会数学的思想方法和精神实质，了解数学在人类文明发展中所起的关键作用，自觉接受数学文化的熏陶．”

我现在仅就《数学文化小丛书》的第一、第二辑的20本小册子，谈一些读后感．

20本小册子取材各异，风格多样，纵横捭阖，体现的文化侧面也各不相同．我试把它们分为4大类．分类不是绝对的，有些小册子兼具不同类别的特性．

第一类是以数学知识为核心，介绍其产生发展的来龙去脉，或其所蕴涵的哲学、美学的意义，或其在生产生活中的应用．《圆周率π漫话》（李大潜）、《黄金分割漫话》（李大潜）、《连分数与历法》（徐诚浩）、《漫话е》（李大潜）、《奇妙的无穷》（李忠）、《对称与群》（顾沛）、《同余式及其应用》（徐诚浩）以及《千古第一定理——勾股定理》（蔡宗熹）等都可以归为这一类．

1 这套《数学小丛书》的发端可以追溯到科学出版社1956年出版的《从杨辉三角谈起》（华罗庚）和《对称》（段学复）．上世纪60年代，北京数学会把这两本著作连同其他一些著名数学家撰写的科普小册子合编成《数学小丛书》，由多家出版社分别出版．2002年科学出版社又重新结集出版了这套丛书，共18本（其中两本是新增的）．

2 《数学文化小丛书》，高等教育出版社出版，第一辑共10本，2007—2009；第二辑共10本，2013；第三辑正在陆续面世中．

圆周率π与自然对数的底е是最常见的两个超越数．人类对π的认识可以追溯到

遥远的古代，中国古代数学家如刘徽、祖冲之对π的研究有着辉煌的成就；常数е的历史要短得多，它是随着极限理论的发展在17世纪至18世纪才逐渐为人们所认识．但这两个数却是形影相随，如下号称“最美的数学公式”就把π和е（以及0、实数单位1和虚数单位i）联系起来：еiπ+1=0．但这个公式的真正意义却不是中学课本的内容．《圆周率π漫话》和《漫话е》两本小册子把π和е的前世今生娓娓道来：第一本小册子既介绍了中西方对π的研究的历史，也介绍了π的若干性质和经典尺规作图难题“化圆为方”的不可能；第二本小册子从对数的发明和е的自然现身开始，进而展示了е在数学中的无处不在，最后介绍了大数学家欧拉在指数函数的幂级数表达式中“异想天开”地用复变量取代实变量，定义出复指数函数，从而得出上述“最美的数学公式”．这两本小册子要求的数学基础不高，但又能给学生相对完整的数学知识和数学文化的熏陶．两个似乎“素昧平生”的常数却能如此美妙地联系在一起，显示了数学的内在规律，给人以美的充分享受．

《同余式及其应用》虽然内容浅显，写作手法上却像一本标准的数学读物．给学生这样的体验也是有益的．特别值得提出的是，这本小册子介绍了源于中国古代“算经十书”之一的《孙子算经》中“物不知其数”问题及其解答的一个定理．这个定理国内一般称为“孙子定理”，而在国外却有个更为响亮的名字——“中国剩余定理（Chinеsе Rеmаindеr Thеоrеm）”．后一名字可能更为确切，因为在《孙子算经》之后，历代不少的数学著作（如程大位的《算法统宗》、杨辉的《续古摘奇算法》、秦九韶的《数书九章》等）都对此有所阐述，这个定理是中华民族文明的体现．在国际数学界，不仅把关于整数同余方程组的这一定理的原始形式称为“中国剩余定理”，还把它在现代数学的各种推广都称为“中国剩余定理”，这个定理的重要性可见一斑．

第二类则以数学史上的人或事为脉络，展示数学发展的壮美图景．《从赵爽弦图谈

起》（李文林）、《费马大定理的证明与启示》（周明儒）、《笛卡尔之梦》（李文林）、《并不神秘的非欧几何》（李忠）以及《走近高斯》（周明儒）等是属于这一类的．

其中李文林的《笛卡尔之梦》给我留下深刻的印象．初看标题，读者很可能会把它看成介绍笛卡尔通过引入坐标系、把几何问题代数化的过程；或者，如果读者对笛卡尔的著作《指导思维的法则》有所了解的话，会把它看成介绍笛卡尔追求“通用数学”，以期寻找发现真理的普遍方法的思想过程．其实，在这本小册子中，作者以笛卡尔的梦为楔子，以笛卡尔对数学普遍方法的追求为脉络，对数学中的“几何问题代数化，代数问题算法化，算法问题程序化，程序问题机械化”的思想与实践做了全面的阐述．算法是古代中国数学的特色，有着辉煌的成就；中国当代数学家吴文俊在现代科学技术的高平台上更进一步对数学问题的程序化和机械化进行了深入的研究，登上了科学的高峰．吴文俊的方法既是中国数学传统的继承，也是笛卡尔思想的实践．这本小册子所介绍的数学发展始于中国，终于中国，却又深刻地反映了四百多年前一个德国哲学家、数学家的思想，中西不同的数学体系对数学本质的共同的理解，是很值得深思的．

《并不神秘的非欧几何》也是很有特色的一本小册子．非欧几何在初学者眼里是非常神秘的和另类的，简直匪夷所思．但作者用很小的篇幅阐述了从欧几里得第五公设独立性的研究导致非欧几何的诞生的过程，介绍了非欧几何的基本理论特征及其模型和应用．这里至少给读者展现了数学理论的两方面特征：一是数学追求建立数学理论体系的基础的严密性和简洁性（对欧几里得第五公设的质疑）；二是好的数学体系有其内在的发展动力与发展逻辑，并且这样的发展与描述客观世界的需求是一致的（非欧几何的诞生及其应用）．

第三类借助数学史料和数学问题，阐述学习数学、发现与发展数学中的方法，给数学学习者与研究者以启示．这一类小册子目前有《数学中之类比》（王培甫）和

《从欧拉的数学直觉谈起》（周明儒）．

谈到学习数学的方法，在现在的以考试为中心的教育体制下，中学数学教育几乎被简单地等同于解题训练，其方法基本是“机械分类，反复操练，强化记忆，快速反应”，数学知识被分割成孤立的点，而数学体系之优美，结构之精细，应用之广泛，基本被忽略了，学生学习数学的兴趣也被逐渐消磨掉．其实数学学习与研究所采用的方法是非常丰富多彩的，既有演绎推理和数值与符号计算等具体的数学解题中常用的方法，也有合情推理、试错与调整、分析与综合、归纳与约化等分析问题策略方面的方法，而建立形象，积累经验，形成直觉，宏观把握，则是数学天地的遨游者与初学者相比技高一筹之处．

《数学中的类比》谈的是类比推理（归于合情推理范畴），举出了许多数学概念、问题、定理在不同场合的类比和推广，揭示了数学不同问题和不同分支的内在联系和本质内核．当然，读者可以看出，类比不能代替数学证明中的演绎推理，类比得到的启示必须通过演绎推理获得证实，才能成为数学；读者还可以看出，类比不是同义的反复，而是在新语境中寻找熟悉的脉络，一旦成功，往往是“柳暗花明又一村”．如果读者有更多的数学知识，还可以发现类比在数学中的更深入的运用和更精彩的案例，甚至一个数学分支可以是另一个数学分支的类比和模拟．例如，p-进数理论是实数理论的类比，不过对绝对值概念进行了“偷梁换柱”；代数群理论是李群理论的类比，不过把特征0的实数域或复数域换成了任意特征的域．

另一本小册子（《从欧拉的数学直觉谈起》）的主题是数学直觉．“直觉”是人的自然禀赋，如果仅就个人禀赋角度谈直觉，无涉方法或方法论．但小册子的作者最后提出了数学直觉的培养．我的理解是，作者通过欧拉作为数学家的曲折但辉煌的一生，以及欧拉的数学直觉的精彩案例的介绍，给后来人一个启示：要真正理解数学，使已有数学知识形成经验组块，并“通过那种以对经验的共鸣的理解为依据的直觉”（爱因斯坦语），以获得新的可能的数学理论．作者希望读者自觉地从这个

角度培养自己的直觉，并把它运用到数学学习和研究中去．如果做到这一点，“数学直觉”就是我前面所说的“遨游者”水平的方法了．

第四类是在更广阔的视野下展示数学在人类文明发展中所起的关键作用．这一类包括了两本《遥望星空》（齐民友）以及《几何学在文明中所扮演的角色》（项武义）、《二战时期密码决战中的数学故事》（王善平、张奠宙）和《认识博弈的纳什均衡》（王则柯）等．

编号1与2的两本小册子是齐民友撰写的《遥望星空（一）》与《遥望星空（二）》．其中《遥望星空（一）》初看不像数学读物．但是，历史上数学知识产生和发展的一个重要动力便是天文和历算，并反过来给予天文与历算以极大的思想支撑和技术支持，因此天文和历算的发展着着实实体现了数学的文化与工具内涵．《遥望星空（一）》的副标题是“人类怎样开始认识太阳系”，阐述了人类从地心说到日心说的认识过程，结束于开普勒的三定律，并介绍了伽俐略对近代科学的开创性伟大贡献．这里数学主题没有显性表达，但数学无处不在：它不仅是先哲们提出理论、解释现象的基础，也是与论敌和宗教势力战斗的武器．当然，当时的数学还基本停留在欧几里得为代表的初等几何，难以揭示像开普勒三定律这样的“惟象定律”后面的本质，因此呼唤更新的数学和用更新数学表达的更深层次的规律．这更新的数学集中表现为微积分，而这更深层次的规律就是万有引力定律．这就引出了《遥望星空（二）》的主题：牛顿、微积分、万有引力定律的发现．在简介了牛顿的生平之后，作者花较大篇幅描述了微积分从诞生到完善的过程，然后回归“星空”，介绍并证明了万有引力定律．两本小册子一气呵成，用不大的篇幅不仅给读者描绘了人类认识宇宙的历史进程，还揭示了数学在其中的关键作用．作者在繁复的历史过程和浩如烟海的文献中费尽心机，理出脉络，既对历史细节准确把握，又能简明扼要地展示清晰的宏观画卷，是非常难能可贵的．

《几何学在文明中所扮演的角色》是美籍华裔数学家项武义为纪念陈省身而写的，

是全套丛书中所涉及的数学较为高深的一本，因为它总是以小见大，从浅望深，以几何学从古到今发展的一些例子，展示了几何学在天文学（和《遥望星空》一样，涉及了开普勒三定律和牛顿的万有引力定律）和近代物理学中（拉格朗日最小原理、电磁的麦克斯韦理论、狭义相对论、纤维丛与规范场理论等）的应用．这里已经不仅仅是中学生所了解的几何学了，一些更高深的几何学内容被引进来．虽然作者尽量使叙述通俗化，但我相信这些内容的存在还是会给中学生的阅读造成一定的困难．尽管这样，如果从数学文化的角度，学生只要理解几何学（或更广义的数学）的现代发展是和现代科技的发展密切联系的，数学的发展为现代科技发展提供了基础和工具，反过来，现代科技的需要又为数学的进一步发展提供启发和动力．理解这一点难度不大，更多的细节也作为学生进一步学习的启发和动力吧．

总之，20本小册子基本都有特定的数学主题，给读者数学知识上的拓展，充分体现了数学是这套丛书之“体”；但小册子的字里行间更充满着数学主题所蕴涵的文化之“魂”，给人以超越数学知识的形而上的美妙体验．由于篇幅的限制，我无法对其它各本小册子做更多的介绍，即使是重点评述的几本小册子，也有意犹未尽的感觉．本文仅是抛砖引玉，读者应该自己去体验阅读这套丛书的乐趣．

丛书的装帧设计也是有特色的．小开本便于携带和利用零星时间阅读；10册一辑，盒装为封，又可以收藏．两辑分别以天坛祈年殿和长城作为封面，富有数学内涵和民族韵味，低调内敛，朴实无华，又非常契合数学文化的主题．

李大潜院士身体力行，不仅是丛书的主编，还是其中3本小册子的作者．他的渊博的知识、精彩的文笔，为丛书增色不少．许多国内名家热心为青年读者写普及读物，继承了老一辈数学家的传统，又在新时代背景下发扬光大．他们的努力应该得到社会和读者的赞誉．我也应该好好地向他们学习．