模运算

2024年1月31日发(作者：中考数学试卷2022宜宾)

/jojoke/archive/2007/12/17/

模运算 2009-7-16

很多地方用到模运算，这里说明模运算的一些规律，并加以证明。 后续会对这些理论实际的应用加以记录和说明。

1. 模运算是取余运算(记做 % 或者 mod)，具有周期性的特点。 m%n的意思是n除m后的余数， 当m递增时m%n呈现周期性特点， 并且n越大，周期越长，周期等于n。

例如

0 % 20 = 0，1 % 20 = 1， 2 % 20 = 2， 3 % 20 = 3， ...， 19 % 20 = 19

20 % 20 = 0，21 % 20 = 1，22 % 20 = 2，23 % 20 = 3， ...，39 % 20 = 19

2. 如果 m % n = r，那么可以推出如下等式

m = k * n + r (k为大于等于0的整数， r <= m）

3. 同余式， 表示正整数a，b对n取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b mod n或者a = b (mod n)。

根据2的等式可以推出 a = kn + b 或者 a - b = kn

证明： ∵ a = k1 * n + r1

b = k2 * n + r2

∴ a - b = (k1 - k2) * n + (r1 - r2)

a = k * n + (r1 - r2) + b

∵ a, b对n取模同余，r1 = r2

∴ a = k * n + b (k = k1 - k2)

4. 模运算规则， 模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下

(a + b) % n = (a % n + b % n) % n （1）

(a - b) % n = (a % n - b % n) % n （2）

(a * b) % n = (a % n) * (b % n) % n （3）

ab

% n = ((a % n)b) % n （4）

（《ACM》P237规则有错，已改之）

（1）式证明

∵ a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

a % n = r1

b % n = r2

∴(a+b) % n = ((k1+k2)*n + (r1+r2)) % n = (r1+r2) % n = (a % n + b % n)% n

得证

（2）式证明同上

（3）式证明

a = k1*n + r1

b = k2*n + r2

(a*b) % n = (k1k2n2 + (k1r2+k2r1)n + r1r2) % n = r1r2 % n = (a %n)*（b %n ) % n{此处已作改正，原为：(a %n * b %n ) % n ，

但，(a %n)*（b %n ) % n不等于(a %n * b %n ) % n 。另需注意：“*、/、div 、mod”为同等级运算}

(4)式证明

设 a % n = r

ab

%n= (a * a * a * a…*a) %n = (a %n * a %n * a %n * … * a %n) %n = rb % n = ((a % n)

b) % n

模运算看起来不是很直观，但是可以用来推导出一些有用的东西。 例如（4）式可以用来降幂运算，例如计算6265 % 133,直接计算的话需要算出6265

利用（4）式可以进行降幂运算。

6265 % 133

= 62 * 6264 % 133

= 62 * (622)32 % 133

= 62 * 384432 % 133

= 62 * (3844 % 133)32 % 133

= 62 * 12032 % 133

= 62 * 3616 % 133

= 62 * 998 % 133

= 62 * 924 % 133

= 62 * 852 % 133

= 62 * 43 % 133

= 2666 % 133

= 6

/juliet2366/blog/item/

关于负号取余：

『错：这是异号求余的规则：A%B=C，则C的值为：|A|%|B|的结果，让这个结果与A同号，然后在和B相加。比如：

|-15|%|4|=3,然后-3+4=1

如果是15%（-4），则结果为 3+（-4）=-1

注意一定是两数异号时才是这种规则，同号时跟一般的算法相同』

正确的见：IB_12 《Pascal语言 小学版（北京理工大学）》

/chackerempire/

模运算在数论和程序设计中都有着广泛的应用，从奇偶数的判别到素数的判别，从模幂运算到最大公约数的求法，从孙子问题到凯撒密码问题，无不充斥着模运算的身影。虽然很多数论教材上对模运算都有一定的介绍，但多数都是以纯理论为主，对于模运算在程序设计中的应用涉及不多。本文以c++语言为载体，对基本的模运算应用进行了分析和程序设计，以理论和实际相结合的方法向大家介绍模运算的基本应用。。

一 基本理论：

基本概念：

给定一个正整数p，任意一个整数n，一定存在等式 n = kp + r ；

其中k、r是整数，且 0 ≤ r < p，称呼k为n除以p的商，r为n除以p的余数。

对于正整数p和整数a,b，定义如下运算：

取模运算：a % p（或a mod p），表示a除以p的余数。

模p加法：(a + b) % p ，其结果是a+b算术和除以p的余数，也就是说，(a+b) = kp +r，则(a + b) % p = r。

模p减法：(a-b) % p ，其结果是a-b算术差除以p的余数。

模p乘法：(a * b) % p，其结果是 a * b算术乘法除以p的余数。

说明：

1. 同余式：正整数a，b对p取模，它们的余数相同，记做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。

2. n % p得到结果的正负由被除数n决定,与p无关。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3，

基本性质：

（1）若p|(a-b)，则a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)

（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)

（3）对称性：a≡b (% p)等价于b≡a (% p)

（4）传递性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，则a≡c (% p)

运算规则：

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）

ab % p = ((a % p)b) % p （4）

。 -7%-4 = -3

结合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）

((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）

交换率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）

(a * b) % p = (b * a) % p （8）

分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）

重要定理：若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）

若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，

(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有ac≡ bc

(%p)； （13）

二 基本应用：

1.判别奇偶数

奇偶数的判别是模运算最基本的应用，也非常简单。易知一个整数n对2取模，如果余数为0，则表示n为偶数，否则n为奇数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：IsEven

函数功能：判别整数n的奇偶性。能被2整除为偶数，否则为奇数

输入值：int n，整数n

返回值：bool，若整数n是偶数，返回true，否则返回false

*/

bool IsEven(int n)

{

return (n % 2 == 0);

}

2.判别素数

一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。例如 2，3，5，7 是质数，而 4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。

判断某个自然数是否是素数最常用的方法就是试除法：用比该自然数的平方根小的正整数去除这个自然数，若该自然数能被整除，则说明其非素数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：IsPrime

函数功能：判别自然数n是否为素数。

输入值：int n，自然数n

返回值：bool，若自然数n是素数，返回true，否则返回false

*/

bool IsPrime(unsigned int n)

{

unsigned maxFactor = sqrt(n); //n的最大因子

for (unsigned int i=2; i<=maxFactor; i++)

{

if (n % i == 0) //n能被i整除，则说明n非素数

{

return false;

}

}

return true;

}

3. 最大公约数

求最大公约数最常见的方法是欧几里德算法（又称辗转相除法），其计算原理依赖于定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d是(b,a mod b)的公约数

假设d 是(b,a mod b)的公约数，则d | b , d |r ，但是a = kb +r

因此d也是(a,b)的公约数

因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证。

C++实现功能函数：

/*

函数功能：利用欧几里德算法，采用递归方式，求两个自然数的最大公约数

函数名：Gcd

输入值：unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

{

if (b == 0)

return a;

return Gcd(b, a % b);

}

/*

函数功能：利用欧几里德算法，采用迭代方式，求两个自然数的最大公约数输入值：unsigned int a，自然数a

unsigned int b，自然数b

返回值：unsigned int，两个自然数的最大公约数

*/

unsigned int Gcd(unsigned int a, unsigned int b)

Gcd 函数名：

{

unsigned int temp;

while (b != 0)

{

temp = a % b;

a = b;

b = temp;

}

return a;

}

4．模幂运算

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）a % p = ((a % p)) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）=

1。

根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

bb

=（1 * 7）（%10）= 7。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

/*

函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(% P)

函数名：PowerMod

输入值：unsigned int x，底数x

unsigned int n，指数n

unsigned int p，模p

返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果

*/

unsigned int PowerMod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)

{

if (n == 0)

{

return 1;

}

unsigned int temp = PowerMod((x * x)%p, n/2, p); //递归计算（X*X）^[N/2]

if ((n & 1) != 0) //判断n的奇偶性

{

temp = (temp * x) % p;

}

return temp;

}

5.《孙子问题(中国剩余定理)》

在我国古代算书《孙子算经》中有这样一个问题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”意思是，“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2.求适合这个条件的最小数。”

这个问题称为“孙子问题”.关于孙子问题的一般解法，国际上称为“中国剩余定理”.

我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：

三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。

\"正半月\"暗指15。\"除百零五\"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。

这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。

根据剩余定理，我把此种解法推广到有n(n为自然数）个除数对应n个余数，求最小被除数的情况。输入n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，计算机将输出最小被除数。

C++实现功能函数：

/*

函数名：ResidueTheorem

函数功能：运用剩余定理，解决推广了的孙子问题。通过给定n个除数（除数不能互相整除）和对应的余数，返回最小被除数

输入值：unsigned int devisor[]，存储了n个除数的数组

unsigned int remainder[]，存储了n个余数的数组

int length，数组的长度

返回值：unsigned int， 最小被除数

*/

unsigned int ResidueTheorem(const unsigned int devisor[], const unsigned int remainder[], int length)

{

unsigned int product = 1; //所有除数之乘积

for (int i=0; i

{

product *= devisor[i];

}

//公倍数数组，表示除该元素（除数）之外其他除数的公倍数

unsigned int *commonMultiple = new unsigned int(length);

for (int i=0; i

{

commonMultiple[i] = product / devisor[i];

}

unsigned int dividend = 0; //被除数，就是函数要返回的值

for (int i=0; i

{

unsigned int tempMul = commonMultiple[i];

//按照剩余理论计算合适的公倍数，使得tempMul % devisor[i] == 1

while (tempMul % devisor[i] != 1)

{

tempMul += commonMultiple[i];

}

dividend += tempMul * remainder[i]; //用本除数得到的余数乘以其他除数的公倍数

}

delete []commonMultiple;

return (dividend % product); //返回最小被除数

}

6. 凯撒密码

凯撒密码（caeser）是罗马扩张时期朱利斯o凯撒（Julius Caesar）创造的，用于加密通过信使传递的作战命令。

它将字母表中的字母移动一定位置而实现加密。注意26个字母循环使用，z的后面可以堪称是a。

例如，当密匙为k = 3，即向后移动3位时，若明文为”How are you!”，则密文为”Krz duh btx!”。

凯撒密码的加密算法极其简单。其加密过程如下：

在这里，我们做此约定：明文记为m，密文记为c，加密变换记为E(key1,m)（其中key1为密钥），

解密变换记为D(key2,m)（key2为解密密钥）（在这里key1=key2,不妨记为key）。

凯撒密码的加密过程可记为如下一个变换：c≡m+key (mod n） （其中n为基本字符个数）

同样，解密过程可表示为：m≡c+key (mod n） （其中n为基本字符个数）

C++实现功能函数：

/*

函数功能：使用凯撒密码原理，对明文进行加密，返回密文 函数名：Encrypt

输入值：const char proclaimedInWriting[]，存储了明文的字符串

char cryptograph[]，用来存储密文的字符串

int keyey，加密密匙，正数表示后移，负数表示前移

返回值：无返回值，但是要将新的密文字符串返回

*/

void Encrypt(const char proclaimedInWriting[], char cryptograph[], int key)

{

const int NUM = 26; //字母个数

int len = strlen(proclaimedInWriting);

for (int i=0; i

{

if (proclaimedInWriting[i] >= \'a\' && proclaimedInWriting[i] <= \'z\')

{//明码是大写字母，则密码也为大写字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - \'a\' + key) % NUM + \'a\';

}

else if (proclaimedInWriting[i] >= \'A\' && proclaimedInWriting[i] <= \'Z\')

{//明码是小写字母，则密码也为小写字母

cryptograph[i] = (proclaimedInWriting[i] - \'A\' + key) % NUM + \'A\';

}

else

{//明码不是字母，则密码与明码相同

cryptograph[i] = proclaimedInWriting[i];

}

}

cryptograph[len] = \'0\';

}

/*

函数功能：使用凯撒密码原理，对密文进行解密，返回明文

输入值：char proclaimedInWriting[]，用来存储明文的字符串

Decode 函数名：

const char cryptograph[]，存储了密文的字符串

int keyey，解密密匙，正数表示前移，负数表示后移（与加密相反）

返回值：无返回值，但是要将新的明文字符串返回

*/

void Decode(const char cryptograph[], char proclaimedInWriting[], int key)

{

const int NUM = 26; //字母个数

int len = strlen(cryptograph);

for (int i=0; i

{

if (cryptograph[i] >= \'a\' && cryptograph[i] <= \'z\')

{//密码是大写字母，则明码也为大写字母，为防止出现负数，转换时要加个NUM

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - \'a\' - key + NUM) % NUM + \'a\';

}

else if (cryptograph[i] >= \'A\' && cryptograph[i] <= \'Z\')

{//密码是小写字母，则明码也为小写字母

proclaimedInWriting[i] = (cryptograph[i] - \'A\' - key + NUM) % NUM + \'A\';

}

else

{//密码不是字母，则明码与明密相同

proclaimedInWriting[i] = cryptograph[i];

}

}

proclaimedInWriting[len] = \'0\';

}

模运算及其简单应用就先讲到这了，其实模运算在数学及计算机领域的应用非常广泛，我这这里搜集整理了一些最最基本的情形，希望能够起到一个抛砖引玉的作用，让更多的人关注模运算，并及其应用到更广阔的领域中。