高考数学 数论专题复习

2024年3月8日发(作者：郑州中二模数学试卷)

高考数学 数论专题复习

数论是数学的一个重要分支，它研究整数及其性质。在高考数学中，数论作为一个专题，经常出现在选择题和解答题中。为了帮助同学们更好地复数论专题，以下是一些复的要点和建议：

1. 整除性质

整除是数论中一个基本的概念，它描述了整数之间的除法关系。重点复以下整除性质：

- 如果 $a$ 能整除 $b$，记作 $a|b$，则 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因数；

- 若 $a|n$ 且 $b|n$，则 $ab|n$；

- 若 $a|b$ 且 $b|a$，则 $a=pm b$；

- 若 $a|b$ 且 $b|c$，则 $a|c$。

2. 最大公约数和最小公倍数

最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）是数论中另外两个重要的概念。复以下相关的性质和求法：

- 若 $d$ 是 $a$ 和 $b$ 的最大公约数，则存在整数 $x$ 和 $y$，使得 $ax+by=d$；

- 若 $a$ 和 $b$ 互质，则存在整数 $x$ 和 $y$，使得 $ax+by=1$；

- 求最大公约数的一种简便方法是辗转相除法；

- 最小公倍数等于两数的乘积除以最大公约数。

3. 同余定理

同余定理是数论中一个重要的工具，用来描述两个整数对于某个模数的除法关系。复以下同余定理：

- 若 $a equiv b pmod m$，则 $a$ 和 $b$ 对模数 $m$ 同余；

- 同余具有传递性，即若 $a equiv b pmod m$，$b equiv c

pmod m$，则 $a equiv c pmod m$；

- 若 $a equiv b pmod m$，$c equiv d pmod m$，则 $a pm c

equiv b pm d pmod m$；

- 若 $a equiv b pmod m$，$c equiv d pmod m$，则 $ac equiv

bd pmod m$。

4. 模运算

模运算是数论中一种常见的运算，它描述了整数对某个模数取余的结果。复以下与模运算相关的性质：

- 模运算具有封闭性，即对于任意整数 $a$ 和模数 $m$，$a

pmod m$ 的结果也是整数；

- 对于非负整数，模运算等价于取末位数字；对于负整数，模运算的结果也是负数。

- 模运算满足加法、减法和乘法的分配律，结合律和交换律。

5. 其他重要概念

还有一些其他重要概念需要复：

- 质数和合数；

- 素数定理和费马小定理；

- 素因数分解和因数个数的计算。

以上是高考数学数论专题的复习要点和建议，希望能对同学们的备考有所帮助。通过理解和掌握这些知识，你将能够更好地应对数论相关的考题。加油！