2024年4月11日发(作者：往年安徽中职统考数学试卷)
２０１ ８年美国数学竞赛（ＡＭＣ１２Ａ）的试题与详细解答
广东省华南师范大学数学科学学院（５１０６３１） 李湖南
１．Ａ ｌａｒｇｅ ｕｍ ｃｏｎｔａｉｎｓ １００ ｂａｌｌｓ．ｏｆｗｈｉｃｈ ３６％ａｒｅ ｒｅｄ ａｎｄ
ｔｈｅ ｒｅｓｔ ａｒｅ ｂｌｕｅ，Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｏｆｔｈｅ ｂｌｕｅ ｂａｌｌｓ ｍｕｓｔ ｂｅ ｒｅｍｏｖｅｄ ｓｏ
共有２４种方法，故（Ｅ）正确．
４．Ａｌｉｃｅ，Ｂｏｂ ａｎｄ Ｃｈａｒｌｉｅ ｗｅｒｅ ｏｎ ａ ｈｉｋｅ ａｎｄ ｗｅｒｅ ｗｏｎ－
ｄｅｒｉｎｇ ｈｏｗ ｆａｒ ａｗａｙ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ ｗａｓ．Ｗｈｅｎ Ａｌｉｃｅ ｓａｉｄ，
ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｃｅｎｔａｇｅ ｏｆ ｒｅｄ ｂａｌｌｓ ｉｎ ｔｈｅ ｕｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ７２％？（Ｙｏ ｒｅｄ
ｂａｉｌｓ ａｒｅ ｔｏ ｂｅ ｒｅｍｏｖｅｄ．）
（Ａ）２８ （Ｂ）３２ （Ｃ）３６ （Ｄ）５０ （Ｅ）６４
译文一个大缸里有１００个球，其中３６％是红球，其余
的是蓝球．问要拿走多少个蓝球才能使大缸里红球的比例是
７２％ｆ不拿走红球１７
解红球有１００ ｘ ３６％＝３６个，拿走蓝球数为
１００—３６÷７２％＝５０个，故（Ｄ）正确．
２．Ｗｈｉｌｅ ｅｘｐｌｏｒｉｎｇ ａ ｃａｖｅ，Ｃａｒｌ ｃｏｍｅｓ ａｃｒｏｓｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ
ｏｆ５一ｐｏｕｎｄ ｒｏｃｋｓｗｏｒｔｈ￥１４ ｅａｃｈ，４－ｐｏｕｎｄ ｒｏｃｋｓｗｏｒｔｈ￥１１ ｅａｃｈ，
ａｎｄ １－ｐｏｕｎｄ ｒｏｃｋｓ ｗｏｒｔｈ￥２ ｅａｃｈ．Ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ２０ ｏｆ ｅａｃｈ
ｓｉｚｅ．Ｈｅ ｃａｎ ｃａｒｒｙ ａｔ ｍｏｓｔ １ ８ ｐｏｕｎｄｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｍａｘｉｍｕｍ
ｖａｌｕｅ，ｉｎ ｄｏｌｌａｒｓ，ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｃｋｓ ｈｅ ｃａｎ ｃａｒｒｙ ｏｕｔ ｏｆ ｔｈｅ ｃａｖｅ？
（Ａ）４８ （Ｂ）４９ （ｃ）５０ （Ｄ）５１ （Ｅ）５２
译文一个岩洞爆破过后，卡尔发现一大堆岩石，每块５
磅的岩石价值１４美元，每块４磅的岩石价值１１美元 每块１
磅的岩石价值２美元．每种型号的岩石都至少有２０块．卡尔
至多能带走１ ８磅岩石．问他能带走最多价值多少美元的岩
石离开岩洞？
解很明显，为了价值最大，卡尔要带走尽可能多的４磅
或５磅的岩石．实际上，他带走２块４磅的和２块５磅的岩
石，价值最大，为２ ｘ １４＋２×１１＝５０美元，故（ｃ）正确．
３．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｗａｙｓ ｃａｎ ａ ｓｔｕｄｅｎｔ ｓｃｈｅｄｕｌｅ ３ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
ｃｏｕｒｓｅｓ－－ａｌｇｅｂｒａ，ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ａｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｔｈｅＯｒｙ—ｉｎ ａ ６－ｐｅｒｉｏｄ
ｄａｙ ｉｆｎｏ ｔｗｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｏｕｒｓｅｓ ｃａｎ ｂｅ ｔａｋｅｎ ｉｎ ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ ｐｅ·
ｒｉｏｄｓ？（Ｗｈａｔ ｃｏｕｒｓｅｓ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔ ｔａｋｅｓ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ３ ｐｅｒｉｏｄｓ
ｉｓ ｏｆ ｎｏ ｃｏｎｃｅｍ ｈｅｒｅ．）
（Ａ）３ （Ｂ）６ （Ｃ）１２ （Ｄ）１８ （Ｅ）２４
译文 如果一个学生一天上６节课，任意两节数学课不
相连，问一个学生有多少种方法安排他的３节数学课一代
数、几何和数论？（其它３节课是什么课与此无关）
解要使得任意两节数学课不相连，只能将３节数学课
安排在第１、３、５节，或第１、３、６节，或第１、４、６节，或第２、
４、６节，共４种可能，而每一种可能，都有３ １＝６种方法，因此
“Ｗｅ ａｒｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ６ ｍｉｌｅｓ ａｗａｙ，”Ｂｏｂ ｒｅｐｌｉｅｄ，“Ｗｅ ａｒｅ ａｔ ｍｏｓｔ ５
ｍｉｌｅｓ ａｗａｙ．”Ｃｈａｒｌｉｅ ｔｈｅｎ ｒｅｍａｒｋｅｄ，“Ａｃｔｕａｌｌｙ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ
ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ４ ｍｉｌｅｓ ａｗａｙ．”Ｉｔ ｔｕｍｅｄ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｎｏｎｅ ｏｆｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｓｔａｔｅ—
ｍｅｎｔｓ ｗａｓ ｔｒｕｅ．Ｌｅｔ ｄ ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｉｎ ｍｉｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ．
Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅｓ
Ｏｆｄ？
（Ａ）（０，４） （Ｂ）（４，５） （Ｃ）（４，６） （Ｄ）（５，６） （Ｅ）（５，。。）
译文 艾莉丝、鲍勃和查理在徒步旅行，他们想知道他
们离最近的镇有多远．艾莉丝说：“我们至少有６英里远．”鲍
勃说：“我们至多有５英里远．”查理说：“实际上最近的镇至
多还有４英里远．”事实证明三个人说的都不对．设是他们到
最近的镇的距离，下列哪个区间是ｄ可能的取值？
解艾莉丝说的不对说明ｄ不到６英里，鲍勃和查理说
的也不对说明ｄ超过５英里，即ｄ应该在５英里到６英里之
间，故（Ｄ）正确．
５．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ｋ ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ
ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓｘ。一３ｘ＋２ ａｎｄｚ 一５ｘ＋ｋｈａｖｅａ ｒｏｏｔｉｎｃｏｍｍｏｎ？
（Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｃ）５ （Ｄ）６ （Ｅ）１０
译文多项式 。一３ｘ＋２和ｚ 一５ｘ＋ 有一个公共
根，则 的所有可能取值的和是多少？
解多项式ｘ。一３ｘ＋２的根为１和２，代人 。一５ｘ十
得ｋ＝４或ｋ＝６，故（Ｅ）正确．
６．Ｆｏｒｐｏｓｉｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓ ｍ ａｎｄ佗ｓｕｃｈｔｈａｔ ｍ＋１０＜ｎ＋１。
ｂｏｔｈｔｈｅｍｅａｎ ａｎｄｔｈｅｍｅｄｉａｎｏｆｔｈｅ ｓｅｔ｛ｍ，ｍ＋４，ｍ＋１０，ｎ＋
１，佗＋２，２佗 ａｒｅ ｅｑｕａｌｔｏ扎．Ｗｈａｔｉｓｍ＋ｎ？
（Ａ）２０ （Ｂ）２１ （Ｃ）２２ （Ｄ）２３ （Ｅ）２４
译文 已知Ｔｏ，和ｎ是正整数，且ｍ＋１０＜ｎ＋１，集合
｛ｍ，ｍ＋４，ｍ＋１０，ｎ＋１，ｎ＋２，２ｎ｝的平均数和中位数均等
于礼，问ｍ＋忆是多少？
解 中位数为 ± ： ｎ
，
平均数为
，
＝几，解得｛ 曼，于是－，ｎ＋ｎ＝ ，
故（Ｂ）正确．
ｌ２
７·Ｆｏｒｈ。ｗｍａｎｙ ： ｃｅｓｓａｒ订ｙｐｏＳ ｉｖｅ）ｉｎｔｅｇｅｒＶａｌｕｅｓ ｏ Ｊ ｚ＋３ ＝３ ９
ｎｉｓｔｈｅｖａ·ｕｅ。ｆ４。。。
（；） ａｎｉｎｔｅｇｅｒ
（ｃ）６ （Ｄ）８
ｔ ｆｌ ｌ一 ｌ Ｉｌ：
解（Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｅ）９
ｌｌ可得四种结果：
先去绝对值符号，ＩＩｘＩ—Ｉｖ
Ｘ—Ｙ，Ｘ＋ ，一ｚ—Ｙ，
Ｘ＋Ｙ，代人后分另
』与Ｘ＋３ｙ＝３联立
一
（；）“的值是一个整数？
【 ＝０．５ 【Ｙ，
１ ：２ ‘
Ｃ）正确．
解当忱≥。时，４。。。（ ） ＝２５×５。× ２ｎ是整数，则
经检验，它们均为原方程组的解，故（
札＝０，１）２】３；当ｎ＜ ４ｏｏｏ（；） × 是
４。。。
方程组，解得三组解：
：０ ｆ ｚ：一３
’
：
１ １．Ａ ｐａｐｅｒ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ ｓｉｄｅｓ ｏｆ ｌｅｎｇｔｈｓ ３，４ ａｎｄ ５ ｉｎｃｈｅｓ，
整数，则凡＝～１，一２，一３，一４，一５．因此ｎ共有９个取值，故
ａｓ ｓｈｏｗｎ，ｉｓｆｏｌｄｅｄ ＳＯｔｈａｔｐｏｉｎｔＡｆａｌｌｓ ｏｎｐｏｉｎｔＢ．Ｗｈａｔｉｓｔｈｅ
（Ｅ）正确．
８．Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｄｉａ—
ｇｒａｍ ｂｅｌｏｗ ａｒｅ ｓｉｍｉｌａｒ ｔｏ ｉｓｏｓｃｅｌｅｓ ｔｒｉ—
ａｎｇｌｅ ＡＢＣ．ｉｎ ｗｈｉｃｈ ＡＢ＝ＡＣ．
Ｅａｃｈ ｏｆｔｈｅ ７ ｓｍａｌｌｅｓｔ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｈａｓ ａｒｅａ 图１
１．ａｎｄ△ＡＢＣ ｈａｓ ａｒｅａ ４０．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｔｒａｐｅｚｏｉｄ
ＤＢＣＥ
（Ａ）１６ （Ｂ）１８ （Ｃ）２０ （Ｄ）２２ （Ｅ）２４
译文 如图１，所有的三角形都相似于等腰三角形
ＡＢＣ，其中ＡＢ＝ＡＣ，７个小三角形的面积均为１，三角形
ＡＢＣ的面积为４０，则梯形ＤＢ Ｅ的面积是多少？
解分别延长小三角形的腰线，
可得图２．易得所有小三角形均全
等，面积均为１，因此三角形ＡＤＥ
的面积为１＋３＋５＋７＝１６，梯形 图２
ＤＢＣＥ的面积…４０ １６ ２４，故（Ｅ）正确．
９．Ｗｈｉｃｈ ｏｆｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｌａｒｇｅｓｔ ｓｕｂｓｅｔ ｏｆｖａｌ—
ｕｅｓ ｏｆ ｙ ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ ｉｎｔｅｒｖａｌ［０，丌］ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｓｉｎ（ｘ＋Ｙ）≤
ｓｉｎｚ＋ｓｉｎＹｆｏｒ ｅｖｅｒｙＸｂｅｔｗｅｅｎ ０ ａｎｄ丌．ｉｎｃｌｕｓｉｖｅ？
（Ａ） ：０ （Ｂ）０≤ ≤ （ｃ）０≤ ≤
（Ｄ）ｏ≤ ≤兰 （Ｅ）０≤ ≤７ｒ
译文 下列哪个区间是Ｙ值在闭区间［０，州上的最大子
集，使得式子ｓｉｎ（ｘ＋Ｙ）≤ｓｉｎＸ＋ｓｉｎＹ对所有的０≤ ≤丌
成立？
解 当０≤ ，Ｙ≤７ｒ时，ｓｉｎｚ≥０，ｓｉｎＹ≥０，于是有
ｓｉｎ（ｘ＋Ｙ）＝ｓｉｎ ＣＯＳＹ＋ＣＯＳ ｓｉｎＹ≤ｓｉｎＸ＋ｓｉｎＹ，区间内的
一
切Ｙ值均满足，故（Ｅ）正确．
１０．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｐａｉｒｓ ｏｆｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ（ ， ）ｓａｔｉｓｆｙ
ｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ
｛ ＋３ｙ圳＝３：
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ （Ｅ）８
译文 有多少对有序实数对（ｚ，Ｙ）满足以下方程组
ｌｅｎｇｔｈ ｉｎ ｉｎｃｈｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｒｅａｓｅ？
（Ａ）１＋ （Ｂ） （ｃ （。）萼 （Ｅ）２
译文 一张三角形纸的三边长分别为３，４，５英寸，如图
３，现将纸折叠使得点Ａ落到点Ｂ上，问折痕的长度是多少英
寸？
解如图３，设折痕为ＤＥ，则
ＡＤ＝ＤＢ＝２．５，令ＥＣ： 则
１３
其中ａｉ∈｛－－１，０，１｝，０≤ｉ≤７７
解由于３ ＞３ 一 ＋３ 一。＋…＋３ ＋３。，ｎ是正
种，再减去全黑和全白的２种，共有１０２２种，故（Ｂ）正确．
１ ６．Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ￣ｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ０
ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅｓ 。＋Ｙ。＝ａ。ａｎｄ Ｙ＝ｘ 一ａ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅａｌ
ｘｙ－ｐｌａｎｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ ａｔ ｅｘａｃｔｌｙ ３ ｐｏｉｎｔｓ？
整数，所以当以上３的多项式中首项系数ａ ，０≤ｎ≤７
取１的时候，其它的系数ａｉ，ｉ＝０，１，…，Ｔ／，一１可以任
意取，显然首项系数不能取一１，因此所有可能的组合有
３ ＋３。＋３ ＋３ ＋３。＋３ ＋３ ＋３。＋１＝３２８１种，故（Ｄ）
正确．
１ ４．Ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｌｏｇ３。４＝ｌｏｇ２ ８，ｗｈｅｒｅ
（Ａ）。＝ １（Ｂ） ＜ｎ＜ １（ｃ）。＞ １
（Ｄ）ａ＝言 （Ｅ）ａ＞言
译文ａ取何值时，曲线ｘ ＋Ｙ ＝ａ。与Ｙ＝ｘ 一ａ在
ｉｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｅａ“ｕｍｂｅｒ ｏｔｈｅｒｔｈａｎ 叫 ，ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ
ｗｈｅｒｅ Ｐ ａｎｄ ｑ ａｒｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｐｒｉｍｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ
Ｐ＋ｑ？
（Ａ）５ （Ｂ）１３ （ｃ）１７ （Ｄ）３１ （Ｅ）３５
译文设 是不等于 或 的正实数，方程ｌｏｇ３ ４＝
ｌｏｇ２ ８的解可以写成Ｐ
，
其中Ｐ和ｇ是互素的正整数，问
Ｐ＋ｑ是多少？
解 由换底公式可得 ： ，化简成
＝
解得ｚ＝ ： ４
，，
ｐ＋ｑ＝３ ，
故ｆＤ）正确．
１５．Ａ ｓｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ７×７ ｇｒｉｄ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｓ．
ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｏｆｉｔｓ ｓｑｕａｒｅｓ ｃｏｌｏｒｅｄ ｂｌａｃｋ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｃｏｌｏｒｅｄ ｗｈｉｔｅ．
Ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｃｏｌｏｒ ｉｎ ｔｈｉｓ ｇｒｉｄ ｏｆ
４９ ｓｑｕａｒｅｓ．Ａ ｓｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｆ ｉｔｓ ｌｏｏｋ ｄｏｅｓ
ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｓｑｕａｒｅ ｉｓ ｒｏｔａｔｅｄ ｂｙ ａ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｏｆ ９０。
ｃｏｕｎｔｅｒｃｌｏｃｋｗｉｓｅ ｒａｏｕｎｄ ｉｔｓ ｃｅｎｔｅｒ，ｎｏｒ ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ａｃｒｏｓｓ
ａ ｌｉｎｅ ｊｏｉｎｉｎｇ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｃｏｍｅｒｓ ｏｒ ａ ｌｉｎｅ ｊｏｉｎｉｎｇ ｍｉｄｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｏｐ—
ｐｏｓｉｔｅ ｓｉｄｅｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｓ—
ｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅｓ？
（Ａ）５１０ （Ｂ）１０２２ （Ｃ）８１９０ （Ｄ）８１９２ （Ｅ）６５，５３４
译文 一个扫描码包含一个７×７正方形方格，其中一
些方格是黑色的，而其余的是白色．在这４９个方格中，每种
颜色必须至少有一格．如果一个扫描码围绕着它的中心做
９０。的整数倍的逆时针旋转还是一样的，或者沿着对角线或
对边中点连线的翻转也不变，则称这个扫描码是对称的．问
对称的扫描码共有多少个？
解由于对称的扫描码绕着中心
６ Ｃ
９０。旋转是一样的，从而只需要考虑
ｆ ｇ
左上角的４×４正方形方格即可：又
Ｚ
由于该４×４的正方形方格关于对
●
角线对称，所以只需考虑图４中标有
图４
ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，９，ｈ，ｉ，Ｊ的１０个方格即
可，每个方格的颜色有黑色和白色２种选择，故有２加＝１０２４
实平面上恰好有３个交点？
解代入可得ｘ。＋（ｘ。一０）。＝ａ。，化简得 。 。一２０＋
１）＝０，要使得该方程有３个不同的解，则 一２ａ＋１＝０必
须有２个解，即有ｚ ＝２ａ一１＞０，于是０＞去，故（Ｅ）正确．
１ ７． Ｆａｒｍｅｒ Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ ｈａｓ ａ
ｉｆｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ａ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ．
Ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ’ｓ ｌｅｇｓ ｈａｖｅ ｌｅｎｇｔｈｓ
ｏｆ ３ ａｎｄ ４ ｕｎｉｔｓ．Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｅｒ ｗｈｅｒｅ
图５
ｔｈｏｓｅ ｓｉｄｅｓ ｍｅｅｔ ａｔ ａ ｒｉｇｈｔ ａｎｇｌｅ，ｈｅ
ｌｅａｖｅｓ ａ ｓｍａｌｌ ｕｎｐｌａｎｔｅｄ ｓｑｕａｒｅ Ｓ ｓｏ ｔｈａｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｉｒ ｉｔ ｌｏｏｋｓ
ｌｉｋｅ ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ａｎｇｌｅ ｓｙｍｂｏ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｐｌａｎｔｅｄ．Ｔｈｅ
ｓｈｏｒｔｅｓｔ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｆｒｏｍ Ｓ ｔｏ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｅｎｕｓｅ ｉｓ ２ ｕｎｉｔｓ．Ｗｈａｔ ｆｒａｃ—
ｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｐｌａｎｔｅｄ？
（Ａ） ２５（Ｂ） （Ｃ
７
３（Ｄ） （Ｅ） ７４
，７５
译文农夫毕达哥拉斯有一块直角三角形的地，直角边
长分别为３个单位和４个单位．在构成直角的那个角落里，
他留了一小块未种植的正方形地Ｓ，从空中看上去就像一个
直角符号．其余的地均进行了种植．Ｓ到斜边的最短距离是２
个单位．问种植的地占多少比例？
解 如图６，分别延长
ＥＤ、ＦＤ交ＡＣ于点Ｌ、Ｋ，作
ＬＨ＿ｋＢＣ于Ｈ，设正方形边长为
个单位，￣ｌＪ ＬＨ＝ ，ＨＣ＝ ４ｚ
，
Ｅ Ｆ Ⅱｃ
由于ＡＫＤＬ ＆ＡＢＣ，可以设 图
ＫＤ：３ｋ，ＤＬ：４ ，于是ＤＧ： ：２，解得 ： ５
．
因
为ＢＣ：ｚ＋４ ＋ ４ｚ
：
４，解得ｚ： ２
，
则Ｓ占地比例为
：
，
因此所求的占地比例为 一 ： ，
故（Ｄ）正确．
１８．ＴｒｉａｎｇｌｅＡＢＣｗｉｔｈＡＢ＝５０ ａｎｄＡＣ＝１０ ｈａｓａｒｅａ
Ｉ２０．Ｌｅｔ Ｄ ｂｅ ｔｈｅ ｍｉｄｐｏｉｎｔ ｏｆＡＢ，ａｎｄ ｌｅｔ Ｅ ｂｅ ｔｈｅ ｍｉｄｐｏｉｎｔ ｏｆ
ＡＣ．Ｔｈｅ ａｎｇｌｅ ｂｉｓｅｃｔｏｒ ｏｆ ＺＢＡＣ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｓ ＤＥ ａｎｄ ＢＣ ａｔ Ｆ
１４
（Ａ）６０ （Ｂ）６５ （Ｃ）７０ （Ｄ）７５ （Ｅ）８０
译文三角形ＡＢＧ的面积为１２０，ＡＢ＝５０ ＡＣ＝１０．
Ｄ是ＡＢ的中点， 是ＡＣ的中点，ＺＢＡＣ的平分线分别交
ＤＥ和Ｂａ于Ｆ和Ｇ．求四边形ＦＤＢＧ的面积是多少？
解 如图７示，ＤＥ是 。
故（Ｄ）正确
ｆａｃｔｏｒｓ。ｔｈｅｒｔｈａｎ ２，３，ｏｒ ５．Ｔｈｅｉｎｆｉｎｉｔｅ ｓｕｍ ＋ １＋
１１
ｊ
＋ ＋
１
＋石
＋石＋百＋百＋而＋
１＋
１
＋百１＋
１
＋
１
百
…
而
＋
＋
１
＋丽
＋丽＋
１＋ ＋ １＋
＋ ＋… ｏｆｔｈｅ ｅ
ｒｅｃｉｐｒｏｃａｌｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆ Ａ ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ ，ｗｈｅｒｅ
ｎ
ｍ ａｎｄ ｎ ａｒｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｐｒｉｍｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｍ＋礼？
（Ａ）１６ （Ｂ）１７ （Ｃ）１９ （Ｄ）２３ （Ｅ）３６
译文设 是不含除２，３或５外的素因子的正整数集
合， 中元素的倒数之和 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
１１
面＋
１１
１１
面
＋ ＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋…
＋…
可以表示成 ｍ
。】以表，下成 ，其中
，
其中
解由题目条件，可得
ｍ
＝
（ ＋ １＋ １＋．．·）（ ＋ １＋百１＋．．·）
·
（ ＋ １＋ １＋．．·）
一
１
＝
一
·
一
·
÷一 … ４～４＝
ｍ＋ｎ＝１９，故（Ｃ）正确．
２ｏ．ＴｒＩａｎｇｌｅ ＡＢ ａ．ｎ ｉｓｏｓｃｅｌｅｓ ｒｉｇｈｔｔｒｉａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ ＡＢ＝
ＡＣ＝３．ＬｅｔＭｂｅｔｈｅｍｉｄｐｏｉｎｔｏｆｈｙｐｏｔｅｎｕｓｅＢＣ．ＰｏｉｎｔｓＩ ａｎｄ
Ｅ ｌｉｅ ｏｎ ｓｉｄｅｓ ａｎｄ ＡＢ．ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｓｏ ｔｈａｔ ＡＩ＞ＡＥ ａｎｄ
ＡＩ Ｍ Ｅ ｉｓ ａ ｃｙｃｌｉｃ ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａ１．Ｇｉｖｅｎ ｔｈａｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ ＥＭ Ｉ ｈａｓ
ａｒｅａ ２。ｔｈｅ ｌｅｎｇｔｈ ＣＩ ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ 二
．
ｗｈｅｒｅ ０．ｂ ａｎｄ
ｃ
ｃ ａｒｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ａｎｄ ｂ ｉｓ ｎｏｔ ｄｉｖｉｓｉｂｌｅ ｂｙ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ａｎｙ
ｐｒｉｍｅ．Ｗｈａｔｉｓｔｈｅｖａｌｕｅ ｏｆａ＋ｂ＋ｃ？
（Ａ）９ （Ｂ）１０ （Ｃ）１１ （Ｄ）１２ （Ｅ）１３
译文 三角形ＡＢＣ是一个等腰直角三角形，ＡＢ＝
ＡＣ＝３．Ｍ是斜边Ｂ 上的中点．点 和Ｅ分别在边ＡＣ
和ＡＢ上，使得 ＞ＡＥ，且ＡＩＭＥ是一个圆内接四边形．
设三角形ＥＭＩ的面积为２，ＣＩ的长度可以写成 ＿＿
，
其
ＭＩ２
＝
ＭＣ。一＿ＣＩ 一２ＭＣ
Ｃ ＣＯＳ Ｃ．
代入后得
ＣＩ２
３ｃＨ １
＝
０，解得ＣＩ
ａ——４ｂ
３—４７ １＿
ｃ
９ ’
是ａ＋ｂ＋ｃ＝１２，故（Ｄ）正确
２ １．Ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ ｈａｓ ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｒｅａｌ
ｒｏｏｔ？
（Ａ） 。＋２０１８ｘｎ＋１ （Ｂ）ｘ ＋２０１８ｘ ＋１
（Ｃ）ｘ 。＋２０１８ｘ 。＋１ （Ｄ） ＋２０１８ｘ 。＋１
（Ｅ）２０１９ｘ＋２０１８
译文 下列哪个多项式的实根最大？
解容易分析这些多项式均是单调递增的．对于多项式
ｆ（ｘ）＝ｘ。 ＋ ￣２０１８ｘ ｎ＋ ＋１，ｍ，ｎ为自然数，当ｘ≤一１时，
有．厂（ ）＜０；当ｚ≥０时，有ｆ（ｘ）＞０，故ｆ（ｘ）的根一定在区
间（一１，０）内．当ｘ∈（一ｌ，０）时，有ｚｕ＜ｚ ＜ｘ＂＜ｘ ，
这表明在前四个选项中，ｚ＂＋２０１８ｘｎ十１的值最小，
ｘ ＋２０１８ｘ 。＋ｌ的值最大．因此，ｘ ＋２０１８ｚ ＋１
的根最大．另外，２０１９ ＋２０１８的根为ｘｏ＝一 ，而
６ ＋２０１８ｘ￣ ＋１＜０，可知 ＂＋２０１８ｘ¨＋１的根大于ｚｏ，
故（Ｂ１正确．
２２
ｎｓ ｚ２
．
Ｔｈ
ｅ
ｓｏｌｕｔｉｏ
ｎ ｓ ｔｏ ｔ
ｈｅ ｅｑｕａｔｉｏ
４
＋４ｘ／
￣ｉ
ａｎｄ
：
２
＋
２
佤
ｗ
ｈ
：
’
，
ｆｏｍ
ｔｈ 、，
。ｎｉｃｅｓｏｆａ
ｐａｒ＿
ａｌｌｅｌｏｇｒａｍ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｌｅｘ ｐｌａｎｅ．Ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｒａｌｌｅｌｏｇｒａｍ
ｃａｎ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｔｈｅ ｆｏｒｍ ｐ 一ｒ ，ｗｈｅｒｅ Ｐ，ｑ，ｒ ａｎｄ ｓ ａｒｅ
ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ａｎｄ ｎｅｉｔｈｅｒ ｑ ｎｏｒ ｓ ｉｓ ｄｉｖｉｓｉｂｌｅ ｂｙ ｔｈｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ
ａｎｙｐｒｉｍｅｎｕｍｂｅｒ．ＷｈａｔｉｓＰ＋ｑ＋ｒ＋ｓ？
（Ａ）２０ （Ｂ）２１ （Ｃ）２２ （Ｄ）２３ （Ｅ）２４
译文方程ｚ ＝４＋４、／， 和ｚ。＝２＋２ ，的解可以
构成复平面上的一个平行四边形的四个顶点，其中ｉ＝ 二Ｔ．
这个平行四边形的面积可以写成ｐ 一ｒ ，其中Ｐ，ｑ，ｒ，ｓ
是正整数，且ｑ，８均不含素因子的平方，则Ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ是多
少？
１５
解解方程ｚ ＝４＋４、／，
ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｗｈａｔ ｎｕｍｂｅｒ ｓｈｏｕｌｄ Ｃａｒｏｌ ｃｈｏｏｓｅ ｔｏ ｍａｘｉｍｉｚｅ ｈｅｒ
得２＝士（、／，而＋，／ｇｉ），解方
程２。＝２＋２ 得ｚ＝
ｃｈａｎｃｅ ｏｆ ｗｉｎｎｉｎｇ？
ｍ／，一／
（Ａ） １（Ｂ） （ｃ） （Ｄ （Ｅ
土（ ＋ ），则平行四边形的 ｃ
译文艾莉丝、鲍勃和卡罗尔在玩一种游戏，每个人在０
顶点坐标分别为Ａ（￣厂而，ｖｇ）， 图９
和１之间选一个实数，谁的数在其他两人之间谁就赢了．艾
莉丝宣布她会在０和１之间随机选一个数，鲍勃宣布他会在
Ｂ（ ，１）， （一、／，而，一Ｊｇ），Ｄ（一 ，一１），Ｏ为两条对
角线交点，可得ＯＡ＝４，ＯＢ＝２，由余弦定理，
ｃ。ｓ 。Ｂ：
去和 之间随机选一个数．有了这些信息，卡罗尔应该选什
么数才能使他赢的机会最大？
三 ：
，
进而
ｓｉｎ ＺＡＯＢ： ，于是 …＝４Ｓ￣ＡＯＢ＝
４× ＯＡ·ＯＢ ｓｉｎＺＡＯＢ＝６ ～２ ，ｐ＋ｑ＋ｒ＋ｓ＝
６＋２十２＋１０＝２０，故（Ａ）正确．
２３． Ｉｎ△Ｐ ． Ｐ ＝
３６。． Ａ＝５６。．ａｎｄ ＰＡ＝１０．
ＰｏｉｎｔｓＵ ａｎｄＧｌｉｅ ｏｎ ｓｉｄｅｓＴＰ ａｎｄ
ＴＡ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌ ｙ，ｓｏ ｔｈａｔ ＰＵ： 尹
图１０
Ｇ＝１．ＬｅｔＭ ａｎｄＮ ｂｅｔｈｅｍｉｄ一
ｐｏｉｎｔｓ ｏｆｓｅｇｍｅｎｔｓ ＰＡ ａｎｄ Ｇ．ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｄｅｇｒｅｅ
ｍｅａｓｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ａｃｕｔｅ ａｎｇｌｅ ｆｏｒｍｅｄ ｂｙ ｌｉｎｅｓ Ｍ Ｎ ａｎｄ ＰＡ？
（Ａ）７６ （Ｂ）７７ （Ｃ）７８ （Ｄ）７９ （Ｅ）８０
译文 在ＡＰＡＴ中， Ｐ＝３６。， Ａ＝５６。，Ｐ ＝１０．
点 和Ｇ分别在边 Ｐ和ＴＡ上，使得Ｐ ＝ Ｇ＝１．设
Ｍ和Ｊ７ｖ分别是ＰＡ和ＵＧ的中点．问直线ＭⅣ和ＰＡ所
夹的锐角是多少度？
解如图所示，以Ｐ为原点，ＰＡ为 轴建立直角
坐标系，则有点坐标Ｍ（５，０），Ｕ（ｃｏｓ３６。，ｓｉｎ３６。），Ｇ（１０一
ＣＯＳ ５６。．Ｓ
５６。１，从而
１０＋ｃｏｓ３６。 ｃｏｓ５６。ｓｉｎ３
Ｎ
６。＋ｓｉｎ５６。
２
ｒ）
所求的锐角为ＡＮＭＡ，于是
￣
ｓ
ｉｎ
３６
＋
ｉｎ
￣
——
９
ｓ
５６
＝——
０
ｔａｎ ＮＭＡ＝
１０＋ｃｏｓ３６。一ＣＯＳ５６。
一
２
０
ｓｉｎ３６。Ｊ。ｓｉｎ ５６。 ２ ｓｉｎ４６。ｃｏｓ１０。
ＣＯＳ３６。一ＣＯＳ５６￣一２ ｓｉｎ４６ ｉｎ１Ｏ。
＝ｔａｎ８０。
因此 ⅣＭ ＝８Ｏ。，故（Ｅ）正确．
２４·Ａ ｉ 。，Ｂ。ｂ ａｎｄｃａｒ。 ｐ ｄｒｙ ｇａｍ。 “ｗｈｉ。ｈ。 。ｈ。 ｈ。ｍ
ｃｈｏｏｓｅｓ ａ ｒｅａ１ ｎｕｍｂｅｒ ｂｅｔｗｅｅｎ ０ ａｎｄ １．Ｔｈｅ ｗｉｎｎｅｒ ｏｆ ｔｈｅ ｇａｍｅ
ｉｓ ｔｈｅ。ｎｅ ｗｈｏｓｅ ｎｕｍｂｅｒ ｉｓ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒｓ ｃｈｏｓｅｎ ｂｙ ｔｈｅ
ｂｅｒ
ａｒｎｄ
ｕ
Ｂ０
ｎ
ｍｏ
ｉｆｏｒ
ｂ ｆｒａ
ｍｌ
。
…
ｎｍｎ
ｙ ａ
ｏ ａｕ】ｎｌ
ｔ ｒ
ｃｔｈｅ
ａ
ｓ
ｎｄ
ｎｔｈ
ｏ
ｕａｍ
ｍ
ｔ 蓦 ｄｈｂｅ ｒｗｓ ｉｂｌｅ ｔｃｗｈｅｏ“ｓ ｅ１ ｈａｉｎｓ ｄｎ ｕ２ｍ ．ｂＡｅｎｒ ｎｕｎｅｄｉｆ ｗｏｍｒｉｔｈｌｙｍ ｌａｉ ｔｓ，
解设艾莉丝选的数为 ， ∈ ０，１１，鲍勃选的数
为Ｙ，Ｙ∈ｆ ， ｆ，卡罗尔选的数为 ∈［０，ｌ 于是
＝
，
Ｐ ｃ ＜ｚ ＝ 一 ，Ｐ（ ≤ ＜ ）＝
１
＼、，／
ｚ一
，
Ｐ ｚ≤ ＜；）＝；一ｚ，卡罗尔赢的两种情况为：（１）
当ｚ＜ｚ＜ 时：概率为Ｐ（ ＜ ＜ ）＝ｚ（；一ｚ）；（２）
当 ＜ ＜ｚ时：概率为Ｐ（ ＜ ＜ｚ）＝（１一 ）ｚ－ ）．
因此卡罗尔赢的概率为 （；一 ）＋（ 一 ）（ 一 ）＝
～
。＋ ｚ一 ＝一 （ 一 ）‘＋焘，当 ＝ 时，概
率最大为 ，故（Ｂ）正确·
２５．Ｆｏｒ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ Ｔ／，ａｎｄ ｎｏｎｚｅｒｏ ｄｉｇｉｔｓ ａｊ ｂ ａｎｄ ｃ，ｌｅｔ
Ａ ｂｅ ｔｈｅ ７／，一ｄｉｇｉｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｎ：ｌｅｔ
Ｂ ｂｅ ｔｈｅ ｎ－ｄｉｇｉｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ６：ａｎｄ
ｌｅｔ ｂｅ ｔｈｅ ２ｎ—ｄｉｇｉｔ（ｎｏｔ礼一ｄｉｇｉｔ）ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ
ｅｑｕａｌ ｔｏ ｃ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅ ｏｆａ＋ｂ＋ｃ ｆｏｒ
ｗｈｉｃｈｔｈｅｒｅａｒｅ ａｔｌｅａｓｔｔｗｏｖａｌｕｅｓ ｏｆｎ ｓｕｃｈｔｈａｔＣｎ—Ｂｎ＝Ａｎ２ ７
（Ａ）１２ （Ｂ）１４ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ （Ｅ）２０
译文 已知忆是正整数，ａ，ｂ，ｃ是非零数字，设Ａ 是数
字均为ａ的礼位数，Ｂ 是数字均为ｂ的佗位数，Ｃ 是数字
均为ｃ的２ｎ位数（不是礼位）．求ａ＋ｂ＋ｃ可能取到的最大
值，使得至少存在两个ｎ值能让等式 —Ｂ ＝ 成立？
解Ａｎ 、＿
＿’ ＿。－，
，Ｂｎ 之
、·。、 。—，
，
、－－＿＿＿’、，。＿＿＿＿—，
： ： ，
扎
因为 —Ｂ ＝ ，可得
ｃ．１１．．．１１１．．．１＝ｂ １１…１＋０２
、ｆ１１…
、－－、，’＿／
、－—一、，．—／
１１
，
即
ｃ．（１ｏｎ＋１）：６＋。２． ，进一步可得
ａ。一９ｃ）１０”＝ｎ ＋９ｃ一９ｂ，
成立，所以
ａ２ ９ｃ＝０，．：。， 用午１哥、ｃＤ＝ ２ｌ｛，
ａ＝６
ｂ：８．因此
． ． 自ｈ昆
二： 干 。±ｆｒ ｎ、 【
ｃ＝４
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