专题33几何综合压轴问题(解答题)-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版

2024年4月4日发(作者：宜春联考数学试卷分析)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）

专题33几何综合压轴问题（解答题）

一、解答题

1

．（湖南省郴州市

2021

年中考数学试卷）如图

1

，在等腰直角三角形

ABC

中，

BAC90

．点

E

，

F

分

别为

AB

，

AC

的中点，

H

为线段

EF

上一动点（不与点

E

，

F

重合），将线段

AH

绕点

A

逆时针方向旋

转

90

得到

AG

，连接

GC

，

HB

．

（

1

）证明：

AHB≌AGC

；

（

2

）如图

2

，连接

GF

，

HC

，

AF

交

AF

于点

Q

．

①

证明：在点

H

的运动过程中，总有

HFG90

；

①

若

ABAC4

，当

EH

的长度为多少时，

AQG

为等腰三角形？

2

．（

2021·

湖北中考真题）问题提出

如图（

1

），在

ABC

和

DEC

中，

ACBDCE90

，

BCAC

，

ECDC

，点

E

在

ABC

内部，直线

AD

与

BE

交于点

F

，线段

AF

，

BF

，

CF

之间存在怎样的数量

关系？

问题探究

（

1

）先将问题特殊化．如图（

2

），当点

D

，

F

重合时，直接写出一个等式，表示

AF

，

BF

，

CF

之间的数量关系；

（

2

）再探究一般情形．如图（

1

），当点

D

，

F

不重合时，证明（

1

）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（

3

），在

ABC

和

DEC

中，

ACBDCE90

，

BCkAC

，

ECkDC

（

k

是

常数），点

E

在

ABC

内部，直线

AD

与

BE

交于点

F

，直接写出一个等式，表示线段

AF

，

BF

，

CF

之

间的数量关系．

3

．（

2021·

浙江中考真题）（证明体验）

（

1

）如图

1

，点

E

在

AB

上，求证：

ADC60

，

AEAC

．

AD

为

ABC

的角平分线，

DE

平分

ADB

．

（思考探究）

F

为

AB

上一点，（

2

）如图

2

，在（

1

）的条件下，连结

FC

交

AD

于点

G

．若

FBFC

，

DG2

，

CD3

，

求

BD

的长．

（拓展延伸）

（

3

）如图

3

，在四边形

ABCD

中，对角线

AC

平分

BAD,BCA2DCA

，点

E

在

AC

上，

EDCABC

．若

BC5,CD25,AD2AE

，求

AC

的长．

4

．（

2021·

浙江中考真题）如图

1

，四边形

ABCD

内接于

O

，

BD

为直径，

AD

上存在点

E

，满足

AECD

，

连结

BE

并延长交

CD

的延长线于点

F

，

BE

与

AD

交于点

G

．

（

1

）若

DBC



，请用含



的代数式表列



AGB

．

（

2

）如图

2

，连结

CE,CEBG

．求证；

EFDG

．

（

3

）如图

3

，在（

2

）的条件下，连结

CG

，

AD2

．

①

若

tanADB

3

，求

FGD

的周长．

2

①

求

CG

的最小值．

5

．（

2021·

浙江中考真题）在扇形

AOB

中，半径

OA6

，点

P

在

OA

上，连结

PB

，将

OBP

沿

PB

折叠得

到

OBP

．

（

1

）如图

1

，若

O75

，且

BO

与

AB

所在的圆相切于点

B

．

①

求

APO

的度数．

①

求

AP

的长．

（

2

）如图

2

，

BO

与

AB

相交于点

D

，若点

D

为

AB

的中点，且

PD//OB

，求

AB

的长．

6

．（

2021·

浙江中考真题）已知在

△ACD

中，

Р

是

CD

的中点，

B

是

AD

延长线上的一点，连结

BC,AP

．

（

1

）如图

1

，若

ACB90,CAD60,BDAC,AP3

，求

BC

的长．

（

2

）过点

D

作

DE//AC

，交

AP

延长线于点

E

，如图

2

所示．若

CAD60,BDAC

，求证：

BC2AP

．

（

3

）如图

3

，若

CAD45

，是否存在实数

m

，当

BDmAC

时，

BC2AP

？若存在，请直接写出

m

的值；若不存在，请说明理由．

7

．（

2021·

安徽中考真题）如图

1

，在四边形

ABCD

中，

ABCBCD

，点

E

在边

BC

上，且

AE//CD

，

DE//AB

，作

CF//AD

交线段

AE

于点

F

，连接

BF

．

（

1

）求证：

△ABF≌△EAD

；

（

2

）如图

2

，若

AB9

，

CD5

，

ECFAED

，求

BE

的长；

（

3

）如图

3

，若

BF

的延长线经过

AD

的中点

M

，求

BE

的值．

EC

8

．（

2021·

四川中考真题）在等腰

ABC

中，

ABAC

，点

D

是

BC

边上一点（不与点

B

、

C

重合），连

结

AD

．

（

1

）如图

1

，若

C60°

，点

D

关于直线

AB

的对称点为点

E

，结

AE

，

DE

，则

BDE

________

；

（

2

）若

C60°

，将线段

AD

绕点

A

顺时针旋转

60

得到线段

AE

，连结

BE

．

①

在图

2

中补全图形；

①

探究

CD

与

BE

的数量关系，并证明；

（

3

）如图

3

，若

明．

9

．（

2021·

山东中考真题）如图

1

，

O

为半圆的圆心，

C

、

D

为半圆上的两点，且

BDCD

．连接

AC

并延

长，与

BD

的延长线相交于点

E

．

ABAD

k

，且

ADEC

，试探究

BE

、

BD

、

AC

之间满足的数量关系，并证

BCDE

（

1

）求证：

CDED

；

（

2

）

AD

与

OC

，

BC

分别交于点

F

，

H

．

①

若

CFCH

，如图

2

，求证：

CFAFFOAH

；

①

若圆的半径为

2

，

BD1

，如图

3

，求

AC

的值．

10

．（

2021·

江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．

E

是边

AC

上的一点，（

1

）

ABC

是边长为

3

的等边三角形，且

AE1

，小亮以

BE

为边作等边三角形

BEF

，

如图

1

，求

CF

的长；

（

2

）

ABC

是边长为

3

的等边三角形，

E

是边

AC

上的一个动点，小亮以

BE

为边作等边三角形

BEF

，

如图

2

，在点

E

从点

C

到点

A

的运动过程中，求点

F

所经过的路径长；

M

是高

CD

上的一个动点，（

3

）

ABC

是边长为

3

的等边三角形，小亮以

BM

为边作等边三角形

BMN

，

如图

3

，在点

M

从点

C

到点

D

的运动过程中，求点

N

所经过的路径长；

（

4

）正方形

ABCD

的边长为

3

，

E

是边

CB

上的一个动点，在点

E

从点

C

到点

B

的运动过程中，小亮以

B

为顶点作正方形

BFGH

，其中点

F

、

G

都在直线

AE

上，如图

4

，当点

E

到达点

B

时，点

F

、

G

、

H

与点

B

重合．则点

H

所经过的路径长为

______

，点

G

所经过的路径长为

______

．

11

．（

2021·

吉林中考真题）实践与探究

操作一：如图

①

，已知正方形纸片

ABCD

，将正方形纸片沿过点

A

的直线折叠，使点

B

落在正方形

ABCD

的内部，点

B

的对应点为点

M

，折痕为

AE

，再将纸片沿过点

A

的直线折叠，使

AD

与

AM

重合，折痕为

AF

，

则

EAF

度．

操作二：如图

①

，将正方形纸片沿

EF

继续折叠，点

C

的对应点为点

N

．我们发现，当点

E

的位置不同时，

点

N

的位置也不同．当点

E

在

BC

边的某一位置时，点

N

恰好落在折痕

AE

上，则

AEF

度．

在图

①

中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（

1

）设

AM

与

NF

的交点为点

P

．

求证

△ANP≌

．

△FNE

：

（

2

）若

AB3

，则线段

AP

的长为

．

12

．（

2021·

湖南中考真题）如图，在

ABC

中，

ABAC

，

N

是

BC

边上的一点，

D

为

AN

的中点，过

点

A

作

BC

的平行线交

CD

的延长线于

T

，且

ATBN

，连接

BT

．

（

1

）求证：

BNCN

；

（

2

）在如图中

AN

上取一点

O

，使

AOOC

，作

N

关于边

AC

的对称点

M

，连接

MT

、

MO

、

OC

、

OT

、

CM

得如图．

①

求证：

TOM∽AOC

；

①

设

TM

与

AC

相交于点

P

，求证：

PD//CM,PD

1

CM

．

2

13

．（

2021·

浙江台州市

·

中考真题）如图，

BD

是半径为

3

的

①O

的一条弦，

BD

＝

4

2

，点

A

是

①O

上的一

个动点（不与点

B

，

D

重合），以

A

，

B

，

D

为顶点作平行四边形

ABCD

．

（

1

）如图

2

，若点

A

是劣弧

BD

的中点．

①

求证：平行四边形

ABCD

是菱形；

①

求平行四边形

ABCD

的面积．

（

2

）若点

A

运动到优弧

BD

上，且平行四边形

ABCD

有一边与

①O

相切．

①

求

AB

的长；

①

直接写出平行四边形

ABCD

对角线所夹锐角的正切值．

14

．（

2021·

青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，

又需要作

60,30,15

等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片

ABCD

，使

AD

与

BC

重合，得到折痕

EF

，把纸片展开（如图

13-1

）．

第二步：再一次折叠纸片，使点

A

落在

EF

上，并使折痕经过点

B

，得到折痕

BM

，同时得到线段

BN

（如

图

13-2

）．

猜想论证：

（

1

）若延长

MN

交

BC

于点

P

，如图

13-3

所示，试判定

BMP

的形状，并证明你的结论．

拓展探究：

（

2

）在图

13-3

中，若

ABa，BCb

，当

a，b

满足什么关系时，才能在矩形纸片

ABCD

中剪出符（

1

）

中的等边三角形

BMP

？

15

．（

2021·

海南中考真题）如图

1

，在正方形

ABCD

中，点

E

是边

BC

上一点，且点

E

不与点

B、C

重合，

点

F

是

BA

的延长线上一点，且

AFCE

．

（

1

）求证：

DCE≌DAF

；

（

2

）如图

2

，连接

EF

，交

AD

于点

K

，过点

D

作

DHEF

，垂足为

H

，延长

DH

交

BF

于点

G

，连接

HB,HC

．

①

求证：

HDHB

；

①

若

DKHC2

，求

HE

的长．

16

．（

2021·

甘肃中考真题）问题解决：如图

1

，在矩形

ABCD

中，点

E,F

分别在

AB,BC

边上，

DEAF,DEAF

于点

G

．

（

1

）求证：四边形

ABCD

是正方形；

（

2

）延长

CB

到点

H

，使得

BHAE

，判断

△AHF

的形状，并说明理由．

类比迁移：如图

2

，在菱形

ABCD

中，点

E,F

分别在

AB,BC

边上，

DE

与

AF

相交于点

G

，

DEAF,AED60,AE6,BF2

，求

DE

的长．

17

．（

2021·

四川中考真题）如图

1

，在

ABC

中，

ACB90

，

ACBC

，点

D

是

AB

边上一点（含

B

）端点

A

、，过点

B

作

BE

垂直于射线

CD

，垂足为

E

，点

F

在射线

CD

上，且

EFBE

，连接

AF

、

BF

．

（

1

）求证：

ABF∽CBE

；

M

、

N

分别为线段

AC

、

AE

、

EF

的中点，（

2

）如图

2

，连接

AE

，点

P

、连接

PM

、

MN

、

PN

．求

PMN

的度数及

MN

的值；

PM

（

3

）在（

2

）的条件下，若

BC2

，直接写出

PMN

面积的最大值．

18

．（

2021·

山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图

①

，在

ABCD

中，

BEAD

，垂足为

E

，

F

为

CD

的中点，连接

EF

，

BF

，试猜想

EF

与

BF

的数量关系，并加以证

明；

独立思考：（

1

）请解答老师提出的问题；

实践探究：（

2

）希望小组受此问题的启发，将

ABCD

沿着

BF

（

F

为

CD

的中点）所在直线折叠，如图

①

，点

C

的对应点为

C\'

，连接

DC\'

并延长交

AB

于点

G

，请判断

AG

与

BG

的数量关系，并加以证明；

问题解决：（

3

）智慧小组突发奇想，将

ABCD

沿过点

B

的直线折叠，如图

①

，点

A

的对应点为

A\'

，使

折痕交

AD

于点

M

，连接

A\'M

，交

CD

于点

N

．该小组提出一个问题：若此

ABCDA\'BCD

于点

H

，

的面积为

20

，边长

AB5

，

BC25

，求图中阴影部分（四边形

BHNM

）的面积．请你思考此问题，

直接写出结果．

19

．（

2021·

浙江中考真题）问题：如图，在

ABCD

中，

AB8

，

AD5

，

DAB

，

ABC

的平分线

AE

，

BF

分别与直线

CD

交于点

E

，

F

，求

EF

的长．

答案：

EF2

．

探究：（

1

）把

“

问题

”

中的条件

“

AB8

”

去掉，其余条件不变．

①

当点

E

与点

F

重合时，求

AB

的长；

①

当点

E

与点

C

重合时，求

EF

的长．

（

2

）把

“

问题

”

中的条件

“

AB8

，

AD5

”

去掉，其余条件不变，当点

C

，

D

，

E

，

F

相邻两点间的距离相

等时，求

AD

的值．

AB

20

．（

2021·

浙江嘉兴市

·

中考真题）小王在学习浙教版九上课本第

72

页例

2

后，进一步开展探究活动：将一

个矩形

ABCD

绕点

A

顺时针旋转





0



90



，得到矩形

AB\'C\'D\'

[

探究

1]

如图

1

，当



90

时，点

C\'

恰好在

DB

延长线上．若

AB1

，求

BC

的长．

[

探究

2]

如图

2

，连结

AC\'

，过点

D\'

作

D\'M//AC\'

交

BD

于点

M

．线段

D\'M

与

DM

相等吗？请说明理

由．