高一数学向量知识点以及典型例题

2024年3月6日发(作者：数学试卷分析怎样写好看)

平面向量知识点回顾

一、 向量的概念

（1）向量的基本要素：大小和方向.

（2）向量的表示：几何表示法AB；字母表示：a；坐标表示法=xi+yj=(x,y).

（3）向量的长度：即向量的大小，记作a=（4）特殊的向量：零向量a＝O→→x2+y2.

｜a｜＝1.

｜a｜＝O.

单位向量a为单位向量（5）相等的向量：大小相等，方向相同(x1,y1)=(x2,y2)x1=x2

y1=y2（6） 相反向量：a=−bb=−aa+b=0

（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.

二、向量的运算法则

（1）加法

(a+b=b+a

a+b+c=a+b+c

)()AB+BC=AC

注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

（2）减法

a−b=a+−b （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）

()AB=−BA

OB−OA=AB

注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

（3）数乘

a=()a

()((+)a=a+a

a+b=a+b

a//ba=b

注：1.a是一个向量,满足:a=a；2.>0时,

a与a同向;

<0时,

a与a异向;

=0时,)a=0.

（4）数量积

()()()(a+b)c=ac+bc

ab=ba

ab=ab=ab

(a)2=a

2abab

注：1.ab是一个数；2.a=0或b=0时，ab=0；3.

a0且b0时，ab=abcos,是a,b之间的夹角

()三、向量的直角坐标系运算法则

a=(x1,y1)，b=(x2,y2)

（1） 加法

a+b=(x1+x2,y1+y2)

（2） 减法

a−b=(x1−x2,y1−y2)

（3） 数乘

a=(x1,y1)

（4） 数量积

ab=x1x2+y1y2

a=x12+y12

四、重要的定理以及公式（应用）

（1）平面向量基本定理

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数1,2，使a=1e1+e2.

注：1.我们把不是共线的e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a在给出基底e1，e2的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，1,2是被a、e1，e2唯一确定的数量。

（2）两个向量平行的充要条件

a//ba=bb0x1y2−x2y1=0

（3）两个向量垂直的充要条件

()a⊥bab=0x1x2+y1y2=0

（4）如果是向量a、b的夹角，则cos=（5）点Aabab=x1x2+y1y2x+y2121x+y2222(0)

(x1,y1)，点B(x2,y2)2，则OA=2(x1,y1)，OB=(x2,y2)，AB=(x2−x1,y2−y1)，AB=（6）三点共线问题

(x2−x1)+(y2−y1)

对于平面上的任一点O,OA,OB不共线，OC=OA+OB，则A，B，C共线1C为线段AB的中点。

+=1，特别地，当==时，2

典型例题

一、 基础题

1. 化简AB−CD−AC−BD= 。

2. 设非零向量a,b满足a+b=a−b，则 （ ）

A．a⊥b B.

a=b C.

a//b D.

ab

3. 已知R，则下列结论正确的是 （ ）

A．a=a B.

a=a C.

a=a D.

a0

4. 设D，E，F分别为ABC边BC,CA,AB的中点，则DA+EB+FC=

A．0 B.

（ ）

()()111DA D.

DA

4235. 设向量a,b不平行，向量2a−b与a+2b平行，则实数= 。

16. 在ABC中，点M为AC上的点，且AM=MC,若BM=BA+BC，则−的2值是 （ ）

112 C. D.

3237. 若D为ABC的边AB的中点，则CB= （ ）

A．2CD−CA B.

2CA−CD C.

2CD+CA D.

2CA+CD

8. 已知e1,e2是两个不共线的向量，若AB=2e1−8e2,CB=e1+3e2,CD=2e1−e2，求A．1 B.

证：A，B，D三点共线。

9. 已知a=(3,2),b=(−1,2),c=(4,1),若a+kc//(2b−c)，则实数k为 。

10. 已知向量a,b不共线，且c=a+b,d=a+(2−1)b。若c与d同向，则实数的值为 。

11. 在ABC中，BD=2DC，E是AD的中点，则AE= 。

12. 若向量a=(1,7),b=(14,−2),c=(−1,1),则 （ ）

A．a//b且ab=6 B.

a//b且ac=-6

C.

a⊥b且ac=6 D.

a⊥b且ac=-6

13. 已知a=1,b=2，向量a,b的夹角为A．3−1

()，则aa+b=

3() （ ）

B.

1 C.

2 D.

3+1

14. 若a=2,b=4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b上的投影向（ ）

A．−

3b

4B.

−111b C.

b D.

−b

224

15. 已知单位向量a,b的夹角为60，则在下列向量中，与b垂直的是

A．a+2b B.

2a+b C.

a−2b D.

2a−b

（ ）

（ ） 16. 已知向量a+b=(1,1),a−b=(−3,1),c=(1,1)，设a,b的夹角为，则

A．a=b B.

b//c

C.

a⊥c D.

=135

17. 已知a=b=2，ab=2，则a−b=

A．3

（ ）

B.

1 C.

2 D.

3或2

18. 已知a,b满足：a=3,b=2,a+b=4,则a−b= 。

二、 培优题

1. 已知a=5,b=3,e是与b方向相同的单位向量。若a在b方向上的投影向量为−3e，则2a+3b= 。

2. 已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2,AB//CD,ADC=90，若点M在线段AC上，则MB+MD的取值范围为

3. 设等边三角形ABC的边长为1，平面内一点M满足AM=11AB+AC，则向量23AM与AB夹角的余弦值 （ ）

419193 C. D.

121964. 已知单位向量a,b,c，满足a+b+c=0，则a与b的夹角为 （ ）

52A． B. C. D.

63635. 已知向量a+b+c=0,a=1,b=c=2,ab+bc+ac= 。

A．6

3 B.

6. 已知点P(−2,0)，AB是圆x+y=1的直径，则PAPB= 。

22

答案：

1

0

11

2

A

12

B

3

C

13

C

4

A

14

D

5

-4

15

D

6

C

16

CD

7

A

17

C

8

略

18

9

−

16

1310

1

11AB+AC

63

1 2

10

73

25,22

53

D

4

C

5

9−

26

3

7