初中数学试卷分类汇编幂的运算易错压轴解答题(及答案)

2023年12月7日发(作者：考研数学试卷如何计算分数)

初中数学试卷分类汇编幂的运算易错压轴解答题(及答案)

一、幂的运算易错压轴解答题

1．阅读材料，根据材料回答：

例如1：（－2）3×33＝（－2）×（－2）×（－2）×3×3×3

＝[（－2）×3]×[（－2）×3]×[（－2）×3]

＝[（－2）×3]3＝（－6）3＝－216.

例如2：

86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125

＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）

＝（8×0.125）6＝1.

（1）仿照上面材料的计算方法计算： ；

（2）由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）an·bn＝________；

（3）用（2）的规律计算：－0.42018× × .

2．阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子23＝8可以变形为log28＝3， log525＝2也可以变形为52＝25.在式子23＝8中， 3叫做以2为底8的对数，记为log2 8.一般地，若an＝b(a＞0且a≠1，b＞0)，则 叫做以a为底b的对数，记为logab ，即 logab＝n.根据上面的规定，请解决下列问题：

（1）计算：log3 1＝________， log2 32=________， log216+ log24 ＝ ________，

（2）小明在计算log1025+log104 的时候，采用了以下方法：

设log1025=x， log104=y

∴ 10x=25 10y=4

∴ 10x+y=10x×10y=25×4=100=102

∴ x+y=2

∴ log1025+log104=2通过以上计算，我们猜想logaM+ logaN等于多少，请证明你的猜想.

3．已知3a＝4，3b＝5，3c＝8．

（1）填空：32a＝________；3b+c的值为________；

（2）求32a3b的值．

﹣4．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为(a+b+c)的正方形

（1）若用不同的方法计算这个边长为(a+b+c)的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 ________ .(只要写出一个即可)

（2）请利用(1)中的等式解答下列问题:

①若三个实数a，b，c满足a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2+b2+c2的值

②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z= ，x2+4y2+9z2=44，求2xy-3xz-6yz的值

5．阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（,1550-1617年）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系.

对数的定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN,比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下：

设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴M•N＝am•an＝am+n,由对数的定义得m+n＝loga（M•N）

又∵m+n＝logaM+logaN

∴loga（M•N）＝logaM+logaN

根据阅读材料，解决以下问题：

（1）将指数式34＝81转化为对数式________；

（2）求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),

（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.

6．整式乘法和乘法公式

（1）计算：（﹣x）2（2y）3

（2）化简：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2

（3）如果（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，求下面式子的值：（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2

（4）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ， 则（a﹣b）3＝________.

7．

（1）你发现了吗？

________

， ，由上述计算，我们发；

（2）请你通过计算，判断 与 之间的关系；

（3）我们可以发现： ________

.

（4）利用以上的发现计算：

8．我们知道,同底数幂的乘法法则为: (其中a≠0,m,n为正整数),类似地，我们 请根据这种新运算填空:

规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)=

（1）若h(1)= ，则h(2)=________.

（2）若h(1)=k(k≠0),那么

整数)

9．综合题。

（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．

（2）若26=a2=4b ， 求a+b值．

10．综合题

（1）已知x =

，y = ，求

________(用含n和k的代数式表示,其中n为正 （n为正整数）的值；

（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.

11．已知am=2，an=4，求下列各式的值

（1）am+n

（2）a3m+2n ．

12．综合题。

（1）若10x=3，10y=2，求代数式103x+4y的值．

（2）已知：3m+2n﹣6=0，求8m•4n的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、幂的运算易错压轴解答题

1．（1）解：

（2）(ab)n

（3）解：－0.42018× × (32)2019

=52

【解析】【解答】解：（2）根据题意可得： ；

故答案为： ；

【分析】（

解析： （1）解：

（2）

（3）解：－0.42018× ×

【解析】【解答】解：（2）根据题意可得： ；

故答案为： ；

【分析】（1）根据积的乘方法则的逆用计算即可求解；

（2）根据题意找到规律即可；

（3）逆用积的乘方法则及同底数幂的乘法法则的逆用计算即可求解.

2．（1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），

证明：设logaM=x， logaN=y

∴ ax=M， ay=N

∴ ax+y=ax×a

解析： （1）0；5；6

（2）解：loga（M·N）| logaM+ logaN= loga（M·N），

证明：设logaM=x， logaN=y

∴ ax=M， ay=N

∴ ax+y=ax×ay=M·N

∴loga（M·N）= x+y

∴logaM+ logaN =x+y= loga（M·N）

【解析】【解答】解：（1）∵

故答案为：0；5；6.

【分析】（1）根据题意，利用对数的逆运算计算即可；（2）设logaM=x， logaN=y，根据对数的定义可得ax=M， ay=N，然后根据同底数幂乘法的逆用可得ax+y=M·N，再将其写成对数的形式即可证出结论.

， ， ，

∴log3 1＝0，log2 32=5，log216+ log24 ＝4＋2=6

3．（1）16；40

（2）解：32a−3b＝32a÷33b

＝（3a）2÷（3b）3

＝42÷53

＝ 16125 ．

【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3b＋c＝3b•

解析： （1）16；40

（2）解：32a−3b＝32a÷33b

＝（3a）2÷（3b）3

＝42÷53

＝ ．

＋【解析】【解答】解：（1）32a＝（3a）2＝42＝16；3bc＝3b•3c＝5×8＝40；

【分析】（1）直接利用幂的乘方运算法则计算得出答案，直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘除运算法则进而计算得出答案．

4．（1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

且a+b+c=11， ab+bc+ac=38

∴a

解析： （1）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

（2）解：①∵(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac

且a+b+c=11， ab+bc+ac=38

∴a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)

=112-2×38

=45

②∵2x×4y÷8z=

2x×22y÷23z=2-2

∴2x+2y-3z=2-2

∴x+2y-3z=-2 ∵(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)

∴(-2) 2=44+2(2xy-3xz-6yz)

∴2xy-3xz-6yz=-20

【解析】【分析】（1）根据边长为(a+b+c)的正方形面积=边长为a的正方形的面积+边长为b的正方形的面积+边长为c的正方形的面积之和，再加上边长分别为a、b的长方形的面积+边长分别为a、c的长方形的面积+边长分别为c、b的长方形的面积，列式计算即可。

（2）①将（1）中的结论转化为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)，再整体代入求值；②利用幂的运算性质，将 2x×4y÷8z= 转化为 x+2y-3z=-2，再利用完全平方公式可得到(x+2y-3z)2=x2+4y2+9z2+2(2xy-3xz-6yz)，再整体代入计算可求出2xy-3xz-6yz的值。

5．（1）4=log381（或log381=4）

（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga MN

解析： （1）4=log381（或log381=4）

（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,

∴ ＝ ＝am－n,由对数的定义得m－n＝loga

又∵m－n＝logaM－logaN

∴loga

＝logaM－logaN

（3）2

【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381 ， 故答案为：

4=log381（或log381=4） 。

（3）解： log69+log68－log62 =log6(9×8÷2=log636=2.

）【分析】（1）根据对数概念，即可将指数式改写成对数式；

（2） 设logaM＝m,logaN＝n,根据对数的定义可表示为指数式为:M＝am,N＝an, 然后代入

按同底数幂的除法法则算出结果，再根据题干中所给的对数定义及公式即可得出结论；

（3） 根据公式loga（M•N）＝logaM+logaN 及 loga

＝logaM－logaN 的逆用即可即可将式子log69+log68－log62表示为log6(9×8÷2），从而根据对数定义算出答案。

6．（1）解：（﹣x）2（2y）3

＝x2•8y3

＝8x2y3

（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2

＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1

＝a2+ 解析： （1）解：（﹣x）2（2y）3

＝x2•8y3

＝8x2y3

（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2

＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1

＝a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1

＝4a2

（3）解：（x+1）（x2+ax+b）

＝x3+ax2+bx+x2+ax+b

＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，

∵（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，

∴ ，得 ，

当a＝﹣1，b＝1时，

（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2

＝（﹣1+2×1）（﹣1+1）﹣2（﹣1+1）2

＝1×0﹣2×02

＝0﹣0

＝0

（4）a3﹣3a2b+3ab2﹣b3

【解析】【解答】（4）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3 ，

∴[a+（﹣c）]3＝a3+3a2•（﹣c）+3a•（﹣c）2+（﹣c）3＝a3﹣3a2c+3ac2﹣c3 ，

∴（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3 ，

故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.

【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方即可解答本题；（2）根据完全平方公式和平方差公式即可解答本题；（3）根据（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；（4）根据（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 ， 可以求得所求式子的结果.

7．（1）=

（2）解：计算得 (54)3=12564 ， (45)-3=12564

∴ (54)3=(45)-3

（3）=

（4）解：利用以上的发现计算： =

【解析】

解析： （1）=

（2）解：计算得 ， ∴

（3）=

（4）解：利用以上的发现计算： =

【解析】【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为 = ，再利用同底数幂进行计算可得

8．（1）49

（2）kn+2017

【解析】【解答】（1）∵h(1)= 23 ，

∴h(2)=h(1+1)=h(1)h(1)=23×23=49

（2）∵h(1)=k(k≠0)，h(m+n)=

解析： （1）

（2）kn+2017

【解析】【解答】（1）∵h(1)= ，

∴h(2)=h(1+1)=h(1)h(1)=×=

（2）∵h(1)=k(k≠0)，h(m+n)= h ( m ) • h ( n )

∴h ( n ) • h ( 2017 ) =kn•k2017=kn+2017

故答案为：；kn+2017

【分析】（1）根据新定义运算，先将h(2)转化为h(1+1)，再根据h(m+n)= h ( m ) • h ( n )，即可得出答案。

（2）根据h(1)=k(k≠0),及新定义的运算，将原式变形为kn•k2017 ， 再利用同底数幂的乘法法则计算即可。

9．（1）解：（1）∵2x+5y﹣3=0，

∴2x+5y=3，

∴4x•32y=22x•25y=22x+5y=23=8；

（2）解：∵26=a2=4b ，

∴（23）2=a2=（22）b

解析： （1）解：（1）∵2x+5y﹣3=0，

∴2x+5y=3，

∴4x•32y=22x•25y=22x+5y=23=8； （2）解：∵26=a2=4b ，

∴（23）2=a2=（22）b=22b ，

∴a=±8，2b=6，

解得：a=±8，b=3，

∴a+b=11或﹣5．

【解析】【分析】（1）直接幂的乘方运算法则将原式变形进而求出答案；（2）直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而求出答案．

10．（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- 15 ）2n=25［（-5）×（- 15 ）］2n=25

（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.

验证：（2n+1)2-（2n

解析： （1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25

（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.

验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n

【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n ， 再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。

（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。

11．（1）解：∵am=2，an=4，

∴am+n=am×an=2×4=8

（2）解：∵am=2，an=4，

∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128

【解析】【分析】（1）利

解析： （1）解：∵am=2，an=4，

∴am+n=am×an=2×4=8

（2）解：∵am=2，an=4，

∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128

【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算法则求出即可；（2）利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可．

12．（1）解：∵10x=3，10y=2，

∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4

=33×24

=432

（2）解：∵3m+2n﹣6=0，

∴3m+2n=6，

∴8m•4n=23

解析： （1）解：∵10x=3，10y=2，

∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4

=33×24

=432

（2）解：∵3m+2n﹣6=0，

∴3m+2n=6，

∴8m•4n=23m•22n=23m+2n=26=64

【解析】【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；（接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．

2）直