高一下数学向量知识点梳理

2024年4月7日发(作者：初中孩子数学试卷)

高一下数学向量知识点梳理

向量是数学中非常重要的概念之一，在高一数学的学习中，向

量也是必不可少的一部分。本文将对高一下学期数学中的向量知

识点进行梳理，帮助同学们系统地掌握和理解相关概念。

一、向量的定义与表示

向量是由大小和方向共同决定的量，它可以用一个箭头表示。

一般情况下，我们用大写的字母表示向量，如AB表示一个向量，

它的起点为点A，终点为点B。向量的表示方法有三种：数学表

示法、物理表示法和坐标表示法。

1. 数学表示法：在文字上用字母加上一个带箭头的符号来表示

向量，如⃗AB。箭头的方向表示向量的方向，箭头长度表示向量

的大小。

2. 物理表示法：在需要表示的向量上面加一条波浪线，如AB。

3. 坐标表示法：在二维坐标系中，向量可以用一个有序数对表

示。如，向量AB的坐标表示为(3,4)，表示向右3个单位、向上4

个单位。

二、向量的相等与加法

1. 向量的相等：两个向量相等的条件是大小和方向都相等。即

向量⃗AB=⃗CD，则必须有AB=CD且AB与CD方向一致。

2. 向量的加法：向量加法满足平行四边形法则。若已知向量

⃗AB和⃗BC，通过将⃗AB的起点与⃗BC的终点连接起来，得到

一个新的向量⃗AC，即⃗AB+⃗BC=⃗AC。

三、向量的数量积与向量夹角

1. 向量的数量积：向量的数量积（又称内积、点积）是向量的

一种运算，用“·”表示，即⃗a·⃗b=|⃗a||⃗b|cosθ，其中θ为⃗a和⃗b

的夹角，|⃗a|和|⃗b|分别为向量的模，cosθ为夹角的余弦值。

2. 向量的夹角：夹角的概念是向量运算中一个重要的量度，夹

角的大小与向量的数量积密切相关。对于两个非零向量，它们的

夹角θ满足0≤θ≤π。

四、向量的投影与平行四边形面积

1. 向量的投影：向量的投影是指一个向量在另一个向量上的投

影。设⃗a和⃗b为两个向量，⃗a在⃗b上的投影记作proj⃗b⃗a。

投影的计算公式为proj⃗b⃗a=(⃗a·⃗b)/|⃗b|，其中⃗a·⃗b为⃗a和

⃗b的数量积。

2. 平行四边形面积：两个向量⃗a和⃗b的平行四边形面积等于

以它们为邻边所构成的平行四边形的面积。平行四边形面积的计

算公式为S=|⃗a×⃗b|，其中⃗a×⃗b为⃗a和⃗b的叉积。

五、向量的线性运算

向量的线性运算包括向量的数乘和向量的线性组合。

1. 向量的数乘：向量的数乘是指一个向量乘以一个实数。设k

为实数，⃗a为一个向量，则k⃗a为一个新的向量，其方向与原向

量相同，大小为原向量大小的k倍。

2. 向量的线性组合：设⃗a1，⃗a2，...，⃗an为n个向量，k1，

k2，...，kn为n个实数，则向量k1⃗a1+k2⃗a2+...+kn⃗an称为向

量⃗a1，⃗a2，...，⃗an的线性组合。

六、向量的共线与垂直

1. 共线向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共

线的。即对于向量⃗a和⃗b来说，如果它们的夹角θ为0或π，则

⃗a与⃗b是共线的。

2. 垂直向量：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。

即⃗a·⃗b=0，那么⃗a与⃗b是垂直的。

通过对上述高一下数学中向量的知识点进行梳理，相信同学们

对向量的概念、表示方法、运算规则等有了更加清晰的理解。在

学习过程中，同学们应该通过大量的练习来熟练掌握向量的运算

方法，并能够灵活运用到解题中，为后续数学学习打下坚实的基

础。