2024年3月4日发(作者：2019年普高生数学试卷)
2024届上海市闵行区高三一模数学试卷考生注意：
1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页．
2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．
3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．
4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸相应位置直接填写结果．
1.已知集合M=0,1,a+1，若−1M，则实数a=________．2.若sin=1，则sin(−)=________.
3223.若xy=1(x、yR)，则x+4y的最小值为________.
4.已知(x−1)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x，则a2=________．
5.已知圆锥的底面周长为4,母线长为3，则该圆锥的侧面积为________.4234x2y26.若双曲线2−2=1(a0,b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_____.
ab7.若将函数y=sin(2x+)(0)的图像向右平移个单位，得到的图像所对应的函数为奇函数，则3=________．8.已知f(x)=x2−8x+10，xR,数列{an}是公差为1的等差数列，若f(a1)+f(a2)+f(a3)的值最小，则a1=________．
9.今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为________．
10.若平面上的三个单位向量a、b、c满足ab=________．
第 1 页
31，ac=，则bc的所有可能的值组成的集合为22
11.已知数列{an}为无穷等比数列，若ai=−2，则ai的取值范围为________．
i=1i=1++12.已知点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上，P到三个平面ABCD、ADD1A1、ABB1A1中的两个平面的距离相等，且P到剩下一个平面的距离与P到此正方体的中心的距离相等，则满足条件的点P的个数为________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.已知a、bR，ab，则下列不等式中不一定成立的是（（A）a+2b+2 （B）2a2b）
ab（C）a2b2 （D）2214.某校读书节期间，共120名同学获奖（分金、银、铜三个等级），从中随机抽取24名同学参加交流会，若按高一、高二、高三分层随机抽样，则高一年级需抽取6人；若按获奖等级分层随机抽样，则金奖获得者需抽取4人.下列说法正确的是（ ）
（A）高二和高三年级获奖同学共80人 （B）获奖同学中金奖所占比例一定最低
（C）获奖同学中金奖所占比例可能最高 （D）获金奖的同学可能都在高一年级
15.已知复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q,|OP|=5（O为坐标原点），且z12−z1z2sin+z22=0，则对任意R，下列选项中为定值的是（
（A）|OQ|（B）|PQ|）
（C）△OPQ的周长 （D）△OPQ的面积
16.已知函数y=f(x)的导函数为y=f(x)，xR，且y=f(x)在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）
①“x1x2”是“f(x1+1)+f(x2)f(x1)+f(x2+1)”的充要条件；
②“对任意x0，都有f(x)f(0)”是“y=f(x)在R上为严格增函数”的充要条件.（A）①真命题；②假命题
（C）①真命题；②真命题
（B）①假命题；②真命题（D）①假命题；②假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题，必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图,在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD ,且PA=PD=2a,设E、F分别为PC、BD的中点.2第 2 页
(1)证明:直线EF//平面PAD；
(2)求直线PB与平面ABCD所成的角的正切值.
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，且a−2ccosB=c.1,c=3，求b的值；
3(2)若△ABC为锐角三角形，求sinC的取值范围.(1)若cosB=19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，杭州亚运会的志愿者被称为“小青荷”．某运动场馆内共有小青荷36名，其中男生12名，女生24名，这些小青荷中会说日语和会说韩语的人数统计如下：
男生小青荷
会说日语
会说韩语
8
m女生小青荷
12
n其中m、n均为正整数,6m8.
（1）从这36名小青荷中随机抽取两名作为某活动主持人，求抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的概率；
（2）从这些小青荷中随机抽取一名去接待外宾，用A表示事件“抽到的小青荷是男生”，用B表示事件“抽到的小青荷会说韩语”.试给出一组m、n的值，使得事件A与B相互独立，并说明理由．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知0p4，曲线1、2的方程分别为y2=2px(0x8,y0)和x2=2py(0y8,x0)，1与2在第一象限内相交于点K(xK,yK)．
（1）若|OK|=42，求p的值；
（2）若p=2，定点T的坐标为(4,0)，动点M在直线y=x上，动点N(xN,yN)(0xN4)在曲线2上，求MN+MT的最小值；
（3）已知点A(x1,y1)(0x1xK)、B(x2,y2)(xKx28)在曲线1上，点A、B关于直线y=x的对称点分别为C、D，设|AC|的最大值为m，第 3 页
|BD|的最大值为t，若m1[,2]，求实数p的取值范围．
t221.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知aR，f(x)=(a−2)x3−x2+5x+(1−a)lnx．
（1）若1为函数y=f(x)的驻点，求实数a的值；
（2）若a=0，试问曲线y=f(x)是否存在切线与直线x−y−1=0互相垂直？说明理由；
（3）若a=2，是否存在等差数列x1,x2,x3(0x1x2x3)，使得曲线y=f(x)在点(x2,f(x2))处的切线与过两点(x1,f(x1))、(x3,f(x3))的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由．
第 4 页
参考答案与评分标准
一. 填空题 1．−2； 2．； 3．4； 4．6； 5．6； 6．y=x；
7．13233,−；8．3；9．18； 10．0,； 11．2,+)；12．6.223二. 选择题 13．C； 14．D； 15．A； 16．C．
三. 解答题
17．(1) [证明]连接AC,ABCD为正方形且F为BD的中点，
F为AC的中点，又E为PC中点，
EF//PA. …………………………………2分
又EF不在平面PAD上,PA平面PAD，
EF//平面PAD. ………………………………………6分
(2) [解]
M
PA=PD=2a,AD=a，PA⊥PD,
2△PAD为等腰直角三角形，取AD中点M,由等腰三角形性质可知PM⊥AD, ………………………………8分
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，
PM⊥平面ABCD, ……………………………………………10分连接BM,则PBM为直线PB与平面ABCD所成的角， ………………………12分
由PM=155a,BM=a，PM⊥MB可得tanPBM=,
2255直线PB与平面ABCD所成的角的正切值为. ……………………………14分
51,c=3带入条件中可得a=5， ………………………2分
3由余弦定理b2=a2+c2−2accosB可得b=26； …………………………6分
(2)
a−2ccosB=c，由正弦定理可得sinA−2sinCcosB=sinC, ………8分
sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,
sinBcosC−sinCcosB=sinC,sin(B−C)=sinC， ……………………10分
18．[解] (1)将cosB=,),C(0,),所以B−C=C,即B=2C, …………………12分
22212).………………14分
又因为△ABC为锐角三角形，C(,),sinC(,642219．[解]（1）从这36名小青荷中随机抽取两名的方法数为C36，……………………2分
抽取的两名都不会说日语的方法数为C16，
2B−C(−2………………………………4分
2C1617因此，抽取的两名中至少有一名会说日语的概率为1−2=； ………………6分
C3621211（抽取的两名小青荷中至少有一名会说日语的方法数为C20 给2分）
+C20C16（2）当m=6、n=12时，事件A与B相互独立， ……………………………8分
理由如下：
第 5 页
从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=1236=13，
事件B发生的概率P(B)=6+1236=12， …………………………………10分
事件A与B同时发生的概率P(AB)=636=16， …………………………12分
P(A)P(B)=11132=6=P(AB)，
因此，事件A与B相互独立. …………………………………14分
（其它答案：当m=7、n=14时，P(A)=13，P(B)=7+1436=712，P(AB)=736；
当m=8、n=16时，P(A)=18+163，P(B)=36=23，P(AB)=836=29.）
（2）[另解] 从这些小青荷中随机抽取一名，事件A发生的概率P(A)=1236=13，
事件B发生的概率P(B)=m+n36， …………………………8分
事件A与B同时发生的概率P(AB)=m36， …………………………10分
若事件A与B相互独立，则P(A)P(B)=1m+n336=m36=P(AB)，
整理得n=2m， …………………………12分
所以可取m=6、n=12或m=7、n=14或m=8、n=16. ……………14分
(学生只需写出三种情况中的一种即可)
20．[解]（1）联立y2=2px2=2py，由点K(xK,yK)在第一象限，xxK=2pyK=2p， …………………………2分
由|OK|=42，得22p=42，所以p=2； ……4分（2）曲线1和2关于直线y=x对称，
取N关于y=x的对称点N\'，则N\'在曲线y2=4x(0x4,y0)上， ………………6分
(MN+MT)min=(MN\'+MT)min，
又因为MN\'+MTTN\'，
所以只需求T到y2=4x(0x4,y0)上动点N\'的距离TN\'的最小值，
令N\'(x,2x)(0x4)，则TN\'=(4−x)2+4x=x2−4x+16，………8分
当x=2时，TN\'的最小值为23，(MN+MT)min=23所以（当M(8−42,8−42)，N(22,2)时）MN+MT的最小值为23．…10分
（3）由（1）可得
第 6 页
得
2|x1−y1|（0x12p），=2|x1−2px1|，22|x2−y2|（2px28）， …………………………12分
|BD|==2|x2−2px2|，22p因此当x1=时，m=p，
22当x2=8时，t=42(2−p)， ………………………………………14分
1pm12， 由[,2]，得……………………………………………16分
216−8pt2|AC|=解得16−83p160−646．
题意f(x)=3(a−2)x2−2x+5+……………………………………………18分21．[解]（1）由1−a， …………………2分
x由1为函数y=f(x)的驻点，得f(1)=3(a−2)+3+(1−a)=0，
因此a=1； ……………………………………………4分
（2）当a=0时，f(x)=−2x3−x2+5x+lnx，
1， ………………………………………………6分
x原问题等价于是否存在x00，使得f(x0)+1=0，
f(x)=−6x2−2x+5+令g(x)=f(x)+1=−6x2−2x+6+1(x0)x因为函数y=g(x)在区间
[,1]上是一段连续曲线，
12110，g(1)=−10， ……………………………………………8分
21由零点存在定理，存在x0(,1)，使得g(x0)=f(x0)+1=0，
2即曲线y=f(x)存在切线与直线x+y−1=0互相垂直； ……………………10分
1（3）当a=2时，f(x)=−x2+5x−lnx，f(x)=−2x+5−，
x假设存在等差数列x1,x2,x3(0x1x2x3)满足题意，
且g()=则f(x2)=12f(x3)−f(x1)，
x3−x1x32−x12lnx3−lnx11=−+5−即−2x2+5−，
x2x3−x1x3−x1将x2=x1+x32(x3−x1)代入上式得，=lnx3−lnx1，………………………12分
x3+x12x3−1)xxx12(t−1)即−ln3=0，令3=t,h(t)=−lnt(t1)，……………14分
x3xxt+111+1x12(41−(t−1)2则h(t)=−=0，
(t+1)2tt(t+1)2第 7 页
因此函数y=h(t)在(0,+)上为严格减函数， …………………………………16分
x3x=t1，h(1)=0，所以h(t)0，即h(3)0．
x1x1因此，不存在等差数列x1,x2,x3(0x1x2x3)满足题目条件．……………18分
由题意第 8 页
更多推荐
存在,平面,抽取,考生,直线
发布评论