高等数学试题及答案x

2024年4月15日发(作者：武汉二调数学试卷难度分析)

《

高

等

数

学

》

一. 选择题

1.

当 x

A) 、 y

x

0 时，

y

ln(1

x)

与下列那个函数不是等价的

B)、

y

sin x

C) 、

y

1

cos x

（

D)、

y

）

e

x

1

2.

函数 f(x)

在点 x

0

极限存在是函数在该点连续的（

A

）

必要条件

B

充分条件 C

充要条件 D

无关条件

) 、

)

、

) 、

) 、

3.

下列各组函数中，

f (x)

和

g(x)

不是同一函数的原函数的有（

A)

、

f ( x)

2

1

e e

x

x

1

e

x

, g x

e

x 2

2

2

B)

、

f (x)

ln

x

a

2

x

2

, g x

ln

a

2

x

2

x

C)、

f ( x)

arcsin 2x

1 , g x

3

2arcsin

1

x

D)

、

f ( x)

csc x sec x, g

x

tan

x

2

4.

下列各式正确的是（

）

A）、

x

x

dx

2

x

ln 2

C

B

）、

sin tdt

cost

C

C）、

dx

dx

arctan x

D

）、

(

1

)dx

1

C

1

x

2

x

2

x

5.

下列等式不正确的是（

） .

A）、

d

b

f x dx

d

f x

B ）、

b x

f x dt

f b x b x

dx

a

d

a

C）、

x

x

f x dx

f x

D ）、

d

dx

F t dt

F x

a

dx

a

dx

x

6.

ln(1

t) dt

lim

0

（

）

x 0

x

A）、0

B

）、 1

C

）、 2

D

）、 4

7.

设

f (x)

sin bx

，则

xf

( x)dx

（

）

A）、

x

cosbx

sin bx

C

B

）、

x

cosbx

cosbx

C

b

sin bx

C

b

C）、

bx cosbx

D

）、

bxsin bx

b cosbx C

） .

8.

1

0

e

x

f (e

x

)dx

b

a

f (t )dt

，则（

）

A）、

a

0, b

1

B

）、

a

0,b

e

C

）、

a 1,b

10

D ）、

a 1, b e

9.

( x

2

sin

3

x) dx

(

B

）、

2

)

A）、 0

C ）、1

D

）、

2

2

10.

x

1

2

ln (x

x

2

1)dx

(

)

1

A）、 0

B

）、

2

C ）、1

D

）、

2

2

11.

若

f (

1

)

x

1

，则

f (x)dx

为（

）

x

0

x

1

A）、 0

B

）、 1

C

）、

1

ln 2

D

）、

ln 2

12.

a,b

x

设

f ( x)

在区间上连续，

F ( x)

f (t )dt( a

x

b)

，则

F ( x)

是

f ( x)

的（

a

A）、不定积分

B

）、一个原函数

C

）、全体原函数

D ）、在

a, b

上的定积分

13.

设

y x

1

，则

dx

sin

x

（

）

2

dy

A）、

1

1

cos y

2

B

）、

1

1

cos x

C

）、

D ）、

2

2

2

2

cos y

2 cos x

14.

1

lim

x

e

2

x

=(

)

x 0

ln(1

x

)

A

1

B

2

C 1

D -1

2

15.

函数

y

x

x

在区间

[ 0,4]

上的最小值为（

）

A 4;

B 0

;

C 1;

D 3

二. 填空题

1.

lim (

x

2

)

2

x

______.

x

x

1

.

）

2.

2

4

x

2

dx

2

1 1

3.

若

f ( x)e

x

dx

e

x

C

，则

f ( x)dx

4.

x

2

1 t

2

dt

d

dx

6

5.

曲线

y

x

3

在

处有拐点

三. 判断题

1.

y

ln

1

x

是奇函数 . （

）

1

x

2.

设

f (x)

在开区间

a, b

上连续，则

f ( x)

在

a, b

上存在最大值、最小值

3.

f

若函数

f ( x)

在

x

0

处极限存在，则

( x)

在

x

0

处连续

.

（

）

4.

sin xdx 2

.

（

）

0

5.

罗尔中值定理中的条件是充分的，但非必要条件 .( )

四. 解答题

1.

求

lim

tan

2

2x

x0

.

1 cos x

2.

求

lim

sin mx

，其中

m,n

为自然数

.

x

sin nx

3.

证明方程

x

3

4x

2

1

0

在

(0,1)

内至少有一个实根 .

4.

求

cos(2

3x) dx

.

5.

求

1

dx

.

x

3

x

2

1

2

6.

设

f (x)

x

0

sin x

, x

，求

f

( x)

x 1, x

0

7.

4

求定积分

dx

dx

0

1

x

.( )

8.

设

f (x)

在

0,1

上具有二阶连续导数，若

f ( ) 2

，

[ f ( x)

f ( x)] sin xdx 5

，求

0

f (0)

.

.

9.

求由直线

x

0 , x 1, y 0

和曲线

y e

x

所围成的平面图形绕

x

轴一

周旋转而成的旋转体体积

《高等数学》答案

一. 选择题

1. C2. A3. D4. B 5.

A6. A7. C8. D9. A10. A11. D12. B

13.

二. 填空题

1

1.

e

2

2.

2

3.

1

C

4.

2x 1 x

4

5.

(0,0)

x

三. 判断题

1.

2.

3.

4.

5.

T

F

F

T

T

四. 解答题

1.

8

2.

令

t x ,

lim

sin mx

lim

sin( mt

m

)

( 1)

m n

m

x

sin nx

t 0

sin(nt

n

)

n

3.

根据零点存在定理

.

cos(2 3x)dx

1

cos(2 3x)d(2 3x)

4.

3

1

3

sin(2 3x)

C

D

14.

A

15.

B

5.

令

6

x

t

，则

x t

6

dx

,

t

5

dt

6

原式

6t

5

3

4

dt 6

t

2

1 t

dt 6 ( t 1

1

C

1

t

6

t

2

2

6

t

t

x

)dt

t

3

ln 1 t

6

3

x 6

x 6 ln 1

C

6.

sin x

2

2cos x

2

, x 0

x

2

f ( x) 1, x 0

不存在， x 0

7.

4 2ln3

8.

解：

0

f (x) sin xdx

0

f ( x)d (

cosx)

f ( )

f (0)

f ( x) sin xdx

0

所以

f (0)

3

1 2 x

e

0

1 2x

e

0

9.

V=

1

x

2

e

0

dx

dx

1

2

d(2x)

1

e

2

2 x

0

1

1

2

(e

2

1)

《高等数学》试题 2

一. 选择题

1.

当 x

) 、

0 时，下列函数不是无穷小量的是

) 、

（

）

) 、

) 、

x

A

y x

B

y

0

C

y

ln( x

1)

D

y

e

2.

设

f (x)

C

等价无穷小

2

x

1

，则当

x

0 时,

f (x)

是

x

的（

) 、

低阶无穷小

同阶但不等价无穷

）。

A

)

、

高阶无穷小

B

D

)

、

) 、

3.

下列各组函数中，

f (x)

和

g(x)

不是同一函数的原函数的有（

x 2

） .

A)

、

f ( x)

1

2

x

e

e

, g x

1

x

e

e

x

2

2

B)、

f (x)

ln x a

2

x

2

, g x

ln

a

2

x

2

x

C)、

f ( x)

arcsin 2x

1 , g x

3

2arcsin

1

x

D)、

f ( x)

csc x sec x, g

x

x

tan

2

4.

下列等式不正确的是（

） .

A）、

d

b

f

x dx

f

x

B

d

b x

）、

f

x dt

f

b x b x

dx

a

d

dx

a

C）、

x

f

）、

d

x

x dx

f

x

D

t dt

F

x

dx

a

F

a

dx

5.

1

e

x

dx

( )

0

A）、 1

B

）、 2

C

）、0

D

）、 4

6.

x

2 x

设

f (t )dt

e

，则

f (x)

（

）

0

A）、

e

2 x

B

）、

2xe

2 x

C ）、

2e

2x

D ）、

2xe

2x

1

7.

1

x

b

e

x

f (e )dx

f (t )dt

，则（

）

0

a

A）、

a

0, b 1

B

）、

a

0,b

e

C

）、

a

1,b

10

D

）、

a 1, b e

8.

1

x

2

ln( x

x

2

1)dx

( )

1

A）、 0）、1

2

B

）、

2

C

D

）、

2

9.

2

1

(arcsin x)

2

1

1

( )

x

2

dx

2

3

B

2

A）、 0

）、

324

C

）、1

D

）、

2

10.

1

1

若

f (

)

x

，则

f (x)dx

为（

）

x

1

0

x

A）、 0

B

）、 1

C

）、

1

ln 2

D

）、

ln 2

11.

x

设

f ( x)

在区间

a,b

上连续，

F ( x)

f (t )dt( a

x b)

，则

F ( x)

是

f ( x)

的（

a

A）、不定积分

B

）、一个原函数

C

）、全体原函数

D ）、在

a, b

上的定积分

12.

若

f ( x)

在

x

x

0

处可导，则

f (x)

在

x

x

0

处（

）

A）、可导

B

）、不可导

C

）、连续但未必可导

D）、不连续

13.

arcsin x arccosx ( ).

.

）

A

B2

C

4

D

2

14.

lim

1

x

e

x

=( )

x 0

sin x

2

A

1

2

B

2

C1 D-1

15.

x

函数

y

x

在区间

[ 0,4]

上的最小值为（

）

A 4;

B 0 ;

C 1;

D 3

二. 填空题

x

2

sin

1

,

x

0

1.

设函数

f ( x)

x

，则

f (0)

0 ,

x

0

3 2

2.

如果

lim

2x

3x

n

1

1

，则

n

______.

x

( x 1)( 4x

7)

2

3.

设

f ( x)dx

cos 2x

C

，则

f (x)

4.

若

xf (x)dx ln(1 x

2

) C

，则

1

dx

f (x)

5.

1

cos

2

x

1 cos2 x

dx

三 . 判断题

1.

a

x

1

函数

f(x)=

(a

0, a

1)

是非奇非偶函数

.

（

）

a

x

1

2.

若

lim

f ( x)

不存在

,

则

lim

f

2

(x)

也一定不存在

.

（

）

x x

0

x x

0

3.

x

若函数

f ( x)

在

0

处极限存在，则

f ( x)

在

x

0

处连续

.

（

4.

x

cos x在

方程

(0,

)

2

内至少有一实根 .

（

）

5.

f ( x)

0

对应的点不一定是曲线的拐点（

）

）

四. 解答题

1.

求

lim

e

ax

e

bx

sin ax

sin bx

(

a

b

)

x 0

2.

. 已知函数

f ( x)

x

2

1

x

x

0

2x

b

0

x

在

0

处连续 ,求

的值 .

b

2

3.

设

f (x)

(1 x)

x

k

x

x

0

0

，试确定

k

的值使

f ( x)

在

x

0

处连续

4.

计算

tan(3x

5.

比较大小

xdx,

2

1

2)dx

.

2

x

dx.

.

2

1

6.

在抛物线

y x

2

上取横坐标为

x

1

1, x

2

3

的两点， 作过这两点的割线， 问该抛物线上

哪一点的切线平行于这条割线？

xe

x

, x

2

0

, 1 x

7.

设函数

f ( x)

1

4

，计算

0

1

f (x 2)dx

.

1 cos x

若

f (x)

的一个原函数为

8.

x ln x

，求

xf ( x)dx

.

x

2

9.

求由直线

y

0

和曲线

y

1

所围成的平面图形绕

y

轴一周旋转

而成的旋转体体积

《高等数学》答案 2

一. 选择题

1.

2.

D

3.

D

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

D

B

13.

D

14.

A

15.

C

DABCDAB

B

二. 填空题

1.

0

2.

2

3.

2 sin 2x

4.

1

x

2

2

1

x

3

C

5.

6

1

tan x

1

x

C

2

2

三. 判断题

1.

2.

F

F

3.

4.

5.

F

F

T

四. 解答题

1.

1

2.

b 1

3.

k e

2

4.

tan(3x

2)dx

2

1

1

3

ln cos(3x 2 C

5.

xdx

2

1

x dx

2

6.

(2, 4)

7.

解：设

x

0

2 t, 则

2

2

4

1

f (x

2)dx

=

2

1

f (t )dt

=

f (t) dt

1

0 2

0

f (t) dt

=

1

dt

te

t

dt

=

tan

1

1

e

4

1

2

1

1

cost

0

2

2

8.

则

解：由已知知

f ( x)

( x ln x)

x(ln x

1)dx

0

1

ln x

1

x

2

ln x

1

x

2

xf (x)dx

0

1

1

C

0

2

y 1 dy

4

y

9.

V

x

2

dy

y

2

1

2

2

《高等数学》试题 3

一. 选择题

1.

设函数

f ( x) log

a

( x

x

2

1)

，

(a

0, a 1)

，则该函数是（

）．

A) 、奇函数

B)、偶函数

C)、非奇非偶函数

D) 、既是奇函数又是偶函数

2.

下列极限等于 1 的是（）.

A

)

、

lim

sin x

B

)

、

lim

sin 2x

C

)

、

lim

sin x

x

x

x

x 0

x

x 2

3.

若

f ( x)dx

e

6x

C

，则

f (x)

（

）

A）、

x 2 e

x

B

）、

x 1 e

x

C）、

6e

6 x

D

）、

x 1 e

x

4.

2

x

2

cosxdx

(

)

0

2

A）、 1

B

）、

4

2

C

）、 0

D

）、 4

5.

设

f (x)

sin bx

，则

xf

( x)dx

（

）

A）、

x

cos

bx

sin bx

C

B

）、

x

cosbx

cosbx

C

b

b

C）、

bx cosbx

sin bx

C

D

）、

bxsin bx

b cosbx

C

6.

x

f (x)

设

f (t )dt

e

2 x

，则

（

）

0

A）、

e

2 x

B

）、

2xe

2 x

C

）、

2e

2x

D

）、

2xe

2x

1

7.

1

x

2

ln( x

x

2

1)dx

(

)

1

A）、 0

B

2

）、

2

C

）、1

D

）、

2

(arcsin x)

8.

2

1

2

1

1

dx

( )

2

x

2

3

A）、 0

2

B

）、

324

C

）、1

D

）、

2

9.

设

f (x)

在区间

a, b

上连续，

F ( x)

x

f (t) dt(a x b)

a

D

)

、

lim

sin x

x

x

F ( x)

是

f ( x)

的（

.

，则

）

A）、不定积分

B

x

0

t

0

）、一个原函数

2

C

）、全体原函数

D ）、在

a, b

上的定积分

10.

设

f ( x)

ln(1 u

)du dt

，则

f

(1)

=（

）

A）、 0

B

）、 1

C

）、

1

ln 2

D

（

C

）、

ln 2

11.

设

y

xln x

，则

y

(10)

B

）

）、

A）、

1

x

9

）、

1

8!

D

）、

x

9

x

9

8!

x

9

2x

12.

曲线

y

ln x

在点（

）处的切线平行于直线

y

3

A）、

1

,

ln 2

B

）、

1

,

ln

1

C

）、

2,ln 2

D）、

2, ln 2

2

2

2

13.

y

A 0

x

1

在区间 [1, 4]

上应用拉格朗日定理 ,

结论中的点ξ =( ).

B 2

C

9

4

D 3

）

14.

lim

x

a

x

b

x

（

0

tan x

1

x

2

A 0

B

lna

lnb

ln b

C

ln a

D

15.

函数

y

ln(1

x

2

)

在区间

[

1,2]

上的最大值为（

）

A 4;

C 1;

B 0 ;

D

ln 5

二. 填空题

1.

设函数

f ( x)

e

k x

,

x

2

2

，若

f (x)

在

x

2

处连续，则

k

x

2

1 ,

x

x

，则

f ( x)

2.

设

f (ln x) 1

3.

2

若

xf (x)dx ln(1 x ) C

，则

1

dx

f (x)

4.

1

cos

2

x

dx

1

cos

2 x

1

5.

曲线 y e

x

5 的水平渐近线为 ___________.

三. 判断题

1.

lim arctan x

. （

）

x

2

2.

若

lim

f ( x)

与

lim

g (x)

均不存在，则

lim [ f ( x)

g( x)]

的极限也不存在

.

（

）

x

x

0

x x

0

x x

0

3.

xx

若函数

f ( x)

在

0

的左、右极限都存在但不相等，则

0

为

f (x)

的第一类间断点

（

）

4.

y

x 在x

0

处不可导（

）

5.

对于函数

f

(x)

，若

f (x

0

)

0

，则

x

0

是极值点

.

（）

四. 解答题

1.

设

( x) tan x sin x, (x) x

2

，判断当

x

0

时

(x)

与

( x)

的阶数的高低

.

2.

证明方程

e

x

3x

至少有一个小于

1的正根.

3.

计算

dx

2

.

x x

4.

2

2

比较大小

xdx, x

2

dx. .

1

1

5.

设函数

y

f ( x)

由方程

2 3

确定，求

dy

ln( x

y) x

y sin x

dx

x 0

6.

求函数

y

3

1 ln

2

x

的导数

7.

计算

[

1

1

e

3

x

]dx

x(1

2 ln x)

x

8.

设连续函数

f ( x)

满足

f (x)

x 2 f ( x) dx

1

，求

f ( x)

0

9.

求由曲线

y x

2

和

y x

所围成的平面图形绕

y

轴一周旋转而成的旋转体

体积。

.

《高等数学》答案 3

一. 选择题

1.

2.

3.

4.

5.

6. 7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

C

14.

B

15.

ADCBCCABB

D

C

A

二. 填空题

1

1

ln 5

1. 2.

x e

x

C

3.

1

x

2

1

x

3

C

4.

1

tan x

x C

5.

y

2

2

6

2

2

三 .

判断题

1.

F

2.

F

3.

T

4.

T

5.

F

四. 解答题

1.

( x)

比

( x)

阶数高

2.

根据零点存在定理

.

3.

dx

(x 1)

x

dx

(

1

1

) dx

ln

x

C

x x

2

x(1

x)

x

1

x

1

x

4.

2 2

xdx

x

2

dx

1 1

5.

dy

dx

1

x 0

6.

2

y

2 ln x

(1

ln

2

x)

3

3

x

7.

2

[

1

1

e

3 x

]dx

1

1

d (1 2 ln x)

e

3 x

d (3 x )

x(1

2ln x)

x

2

1

2 ln x

3

1

ln 1 2 ln x

2

e

3 x

C

2

3

8.

1

解：设

f ( x)dx

A

，则

f (x)

x

2 A

，

0

1

f ( x)dx

1

xdx

两边积分得：

2 A

0

0

A

1

，解得

A

1

2A

2

6

故

f (x)

x

1

3

D

0