江苏省南京市2023届高三上学期期末模拟数学试题(解析版)

南京市2023届高三年级期末调研模拟

数学

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合

A.

C.

M



x

1



1

x

3



,

N

2

x

0

x

2



则

MN

（

B.

D.

）



x0x4





x1x4





x0x4





x1x4



【答案】D

【解析】

【分析】将集合

M,N

分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.

【详解】因为

Mx11x3

，则

M



0,4



，



又因为

N

20

x

2

，则

N



1,4



，



x



所以

MN



1,4



.

故选：D.

2.若复数z满足

|zz|2,zz3

，则

z

2

的实部为（）

A.

2

【答案】C

【解析】

【分析】设复数

zxyi,(x,yR)

，则

zxyi

,

故根据

|zz|2,zz3

可求得

B.

1

C.1D.2

x

2

2,y

2

1

，

结合复数的乘方运算，可求得答案.

【详解】设复数

zxyi,(x,yR)

，则

zxyi

，

则由

|zz|2,zz3

可得

|2yi|2

且

x

2

y

2

3

，

解得

x

2

2,y

2

1

，

故

z

2

(xyi)

2

x

2

y

2

2xyi

，其实部为

x

2

y

2

211

.

故选：C.

3.

若等差数列



a

n



的前

5

项和为

75

，

a

4

2a

2

，则

a

9



（

A.40

【答案】

B

第

1

页/共

25

页

）

D.55B.45C.50

【解析】

【分析】设等差数列



a

n



的公差为

d

，根据等差数列前

n

项和与基本量

a

1

和

d

的关系将题

目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.

【详解】设等差数列



a

n



的公差为

d

，

5



4



d



75



5

a

1



2

根据题意可得



，解得

a

1

5

，

d5

，



a

1



3

d



2



a

1



d





a

9

a

1

8d45

.

故选：

B.

4.

已知随机变量

X

服从正态分布

N2,





2



，且

P



1X2



3P



X5



，则

C.0.75D.0.875

P



1X5



0.75

（

A.0.5

【答案】C

【解析】

）

B.0.625

【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可

.

【详解】因为

XN2,





2



，

P



1X2



P



2X5



并且

P



X2



0.5

又因为

P



1X2



3P



X5



，所以

P



X2



P



2X5



P



X5



4P



X5



0.5

，所以

P



X5



0.125

所以

P



2X5



0.50.1250.375

，所以

P



1X5



0.75

故选：

C



5.若正n边形

A

1

A

2

LA

n

的边长为2，



A

i

A

i



1



A

i



1

A

i



2



203

，则

n

（

n



2

i



1

）

D.12A.6

【答案】D

【解析】

B.8C.10



【分析】设正n边形的内角为



，根据数量积公式可得

A

i

A

i



1



A

i



1

A

i



2



4cos



，由于





n



2



π



53

，分别代入各

AA



AA



203

，根据求和公式得到等式

cos



ii



1

i



1

i



2

n



2

i



1

nn



2

选项的n即可判断正误.

【详解】解：设正n边形的内角为



，则







n2



π

，

n

第

2

页/共

25

页

n



2







A

i

A

i



1



A

i



1

A

i



2



2



2cos



π









4cos



，



A

i

A

i



1



A

i



1

A

i



2



4



n



2



cos



i



1

即



4



n



2



cos

当

n6

时，

cos

当

n8

时，

cos



n



2



π



20

n

6

3



cos



n



2



π



5

n

3

，

n



2



6



2



π



cos

2π



1





5

32

84

3

，

A

选项错误；

6



2



8



2



π



cos

3π



105

2



53

，B选项错误；



28



2

103

3

，

2

当

n10

时，

cos



10



2



π



cos

4

π



sin

3

π



sin

π



由于



53



34π



53

，所以

cos

，C选项错误；



8258

当

n12

时，

cos

故选：D.



12



2



π



cos

5

π



126

353

，选项正确；

D



212



2

x

2

6.已知O为坐标原点，椭圆C：

2



y

2



1(

a



1)

，C的两个焦点为F

1

，F

2

，A为C上一

a

点，其横坐标为

1

，且

|OA|

2

=|AF

1

|·|AF

2

|

，则

C

的离心率为（

A

）

D.

1

.

4

B.

2

4

C.

1

2

2

2

【答案】

D

【解析】

22

【分析】设

A



1,y

0



，由

|OA|1y

0

，

|AF

1

|aex

0

，

|AF

2

|aex

0

，根据题意列

方程可得结果

.

【详解】设

A(1,y

0

)

，则

22

11

22



y



1y



1



，即：，

00

a

2

a

2

11



2



.

a

2

a

2

∴

|OA|



1



y

0



1



1



又∵

|AF

1

|aex

0

ae

，

|AF

2

|aex

0

ae

，

∴

|AF

1

||AF

2

|ae

.

又∵

|OA||AF

1

||AF

2

|

,

∴

2



2

22

1

22



a



e

.

①

2

a

第

3

页/共

25

页

c

2

a

2



11

又∵

e



2



1



aa

2

a

2

2

②，

a1

③，

∴由①②③得：

a

2

2

，

e

又∵

0e1

,

∴

e

2

1

.

2

2

.

2

）

D.

1

2

故选：

D.

7.若

sin



2sin



,sin











tan











1

，则

tan



tan





（

A.2

【答案】A

【解析】

【分析】由三角恒等变换化简结合已知条件求解即可

B.

3

2

C.1





cos













cos



cos





sin



sin



【详解】因为



，

cos









cos



cos





sin



sin









所以

sin



sin





1



cos













cos















，

2



1



cos2





cos2





，

2

所以

sin











sin













又

sin











tan











1

，

所以

sin













sin











cos













1

即

sin











sin











cos











，

所以

1



cos2





cos2







cos











，

2

1

1



2sin

2





1



2sin

2





cos











即

sin

2



sin

2



cos











，

2

所以



又

sin



2sin



，

所以

4sin

2



sin

2



cos



cos



sin



sin



，

所以

4sin

2



sin

2



cos



cos



2sin

2



，

所以

sin

2



cos



cos



，

所以

1

sin



sin





cos



cos



即

sin



sin



2cos



cos



，

2

第

4

页/共

25

页

又易知

cos



cos



0

，

所以

sin



sin





2

，即

tan



tan



2

，

cos



cos



故选：A

8.

若函数

f(x)

的定义域为

Z

，且

f(xy)f(xy)f(x)[f(y)f(y)]

，

f(1)0，f(0)f(2)1

，则曲线

y|f(x)|

与

ylog

2

x

的交点个数为（

A.2

【答案】B

【解析】

B.3C.4D.5

）



时的一些函数值，从而找到【分析】利用赋值法求出当

x



Z

，且x依次取

0,1,2,3，

y|f(x)|

函数值变化的规律，



时，

y|f(x)|

同理找到当

x



Z

，且x依次取

1,2,3，

函数值变化的规律，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意函数

f(x)

的定义域为

Z

，且

f(xy)f(xy)f(x)[f(y)f(y)]

，

f(1)0，f(0)f(2)1

，

令

y1

，则

f(x1)f(x1)f(x)[f(1)f(1)]f(x)f(1)

，

令

x1

，则

f(2)f(0)f

2

(1)

，即

f

2

(1)2

，

令

x2

，则

f(3)f(1)f(2)f(1)

，即

f(3)0

，

令

x3

，则

f(4)f(2)f(3)f(1)

，即

f(4)1

，

令

x4

，则

f(5)f(3)f(4)f(1)

，即

f(5)f(1)

，

令

x5

，则

f(6)f(4)f(5)f(1)

，即

f(6)1f

2

(1),f(6)1

，

令

x6

，则

f(7)f(5)f(6)f(1)

，即

f(7)f(1)f(1),f(7)0

，

令

x7

，则

f(8)f(6)f(7)f(1)

，即

f(8)10,f(8)1

，



时，依次类推，可发现此时当

x



Z

，且x依次取

0,1,2,3，

函数

y|f(x)|

的值依次为

1，2，1,0，1，2，1,0，

，即每四个值为一循环，

此时曲线

y|f(x)|

与

ylog

2

x

的交点为

(2,1)

；

令

x=



1

，则

f(0)f(2)f(1)f(1)0,f(2)1

，

令

x2

，则

f(1)f(3)f(2)f(1)f(1),f(3)f(1)

，

令

x3

，则

f(2)f(4)f(3)f(1)f

2

(1),f(4)1

，

令

x4

，则

f(3)f(5)f(4)f(1)f(1),f(5)0

，

令

x5

，则

f(4)f(6)f(5)f(1)0,f(6)1

，

第

5

页/共

25

页

令

x6

，则

f(5)f(7)f(6)f(1)f(1),f(7)f(1)

，

令

x7

，则

f(6)f(8)f(7)f(1)f

2

(1),f(8)1

，



时，依次类推，可发现此时当

x



Z

，且x依次取

1,2,3，

函数

y|f(x)|

的值依次为

0,1，2，1,0，1，2，1,0，

，即每四个值为一循环，

此时曲线

y|f(x)|

与

ylog

2

x

的交点为

(1,0),(2,1)

；

故综合上述

,

曲线

y|f(x)|

与

ylog

2

x

的交点个数为

3

，

故选：

B

【点睛】难点点睛：确定曲线

y|f(x)|

与

ylog

2

x

的交点个数，要明确函数

y|f(x)|

的性质，因此要通过赋值求得

y|f(x)|

的一些函数值，从中寻找规律，即找到函数

y|f(x)|

的函数值循环的规律特点，这是解答本题的难点所在.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知点

A



cos



,sin





，

B2cos



,3sin



，其中



,







0,2





，则（

22

A.

点

A

的轨迹方程为

xy1



）

x

2

y

2

B.

点

B

的轨迹方程为



1

43

C.

AB

的最小值为

31

D.

AB

的最大值为

31

【答案】

ABC

【解析】

【分析】将

A,B

点坐标代入方程，即可判断

A

、

B

项；根据三角形三边关系，结合图象，

即可求出

AB

的最小值与最大值，即可判断

C

、

D

项

.

【详解】对于A项，将

A

点坐标代入，可得

cos

2



sin

2



1

成立，故A项正确；

第

6

页/共

25

页

对于B项，将

B

点坐标代入，可得



2cos







2



3sin



3



2

4



cos

2





sin

2





1

成立，故

B项正确；

对于C项，

A

点轨迹为以



0,0



为圆心，1为半径的圆.

B

点轨迹为椭圆.

两者位置关系如下图：

显然

BOAO1

，因为

ABBOAOBO1

，当且仅当

A,B,O

三点共线时（如

图

A

1

,B

1

或

A

2

,B

2

），等号成立.

所以，

AB

min

BO

min

1

，当点

B

为短轴顶点时，取得最小值，即

BO

min

b

以

AB

min



3

，所

31

，故

C

项正确；

对于D项，因为

ABAOBOBO1

，当且仅当

A,B,O

三点共线时（如图

A

3

,B

3

或

A

4

,B

4

），等号成立.

所以，

AB

max

BO

max

1

，当点

B

为长轴顶点时，取得最大值，

BO

max

a2

，所以

AB

max

3

，故

D

项错误

.

故选：

ABC.

10.记函数

f



x





cos





x



若

x

A.

B.





π



2

n

π

(





0)

Tn

π

n

N

*

.

的最小正周期为，且

T



4



3



π

为

f



x



的零点，则（

6

）

23







nn





3

2n



1

C.

x

π

为

f



x



的零点

2

第

7

页/共

25

页

D.

x

7π

为

f



x



的极值点

6

【答案】AD

【解析】

【分析】利用周期

T



2π

，计算出



的范围；结合

f





π



π







cos







0

计算出



的







6



64



值，结合余弦函数的零点，极值等性质可判断是否正确

.

【详解】

Q

T



2π

2

n





，



3



2π





n





n



N

*



得

2

n







3

n

，故A正确；

由题意得

f



π







6







cos





π





6







4







0

，



π



6





π

4



2



k

π,

k



Z

,







3

2



6

k

,

k

Z

，

又



2

n







3

n

，

n



N

*

，

则



1

3

n



1

4



k



1

2

n



1

4

，

n



N

*

,

k



Z

,

当

n2

有唯一解

k0

，则





3

2

，故B错误；



f



x





cos





3



2

x



π



4





，

则

f





π





2







cos





3



2



π





2



4







1

，故C错误；

f





7π





6







cos



3



2



7π

6







4







1

，故D正确；

故选：AD

11.对于伯努利数

B

n



n

N



，有定义：

B

0



1,

B

n





n

C

k

n

B

k

(

n