终于把“有”、“只有”和“有且只有”讲清了

2024年4月12日发(作者：2020沧州市中考数学试卷)

数学知教学也需咬文嚼字

江苏省常州市新北区浦河实验学校 眭亚燕

语文讲究遣词造句，所以写文章总会字斟句酌，反复推敲，那么数学需不需要讲究讲究

呢？毋容置疑，数学也需要咬文嚼字。因为数学是一门具有严谨性、科学性的学科。数学学

科的严谨性在于它的语言组织具有相当强的逻辑性，虽然它看似和语文学科有很大的不同，

但它在语言描述上字词的不同也会引起意思的不同。所以在数学知识教学过程中必须加强

“咬文嚼字”的训练，本文仅以 如何对“有”、“只有”、“有且只有”进行咬文嚼字为例展

开论述。

一、在新知传授时讲透“有”、“只有”、“有且只有”

关于数学的严谨性，涉及到数学的本质。我们既可以把数学看成是数学思维活动的结果

——数学概念、命题及其理论体系，也可以把数学看作数学思维活动本身。要使学生正确

理解、真正掌握新的概念、公理，必须做到咬文嚼字。

苏科版七年级上册有这样两个概念和一个公理：垂直的概念——当两条直线相交所成

的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；相交线概念——在同一平面

内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线叫做相交线；直线公理——过两点有

且只有一条直线。

在垂直概念的讲解中，“有”强调的是存在性，事实上，两条直线相交所成的四个角中，

当有一个角是直角时，通过推理可以得到其余三个角也都是直角，所以此时可以有一个直角，

也可以有两个直角，三个直角，甚至四个直角。在相交线概念的讲解中，假设两条直线有两

个公共点，根据直线公理——过两点有且只有一条直线，这两条直线重合，根据初中教材

的约定，此时就把它看成是一条直线。通过反证法，使学生明白：“只有”是指只存在一个

符合条件的情况，强调的是唯一性，表示充分条件。而在直线公理的讲解中，则在黑板上任

取两个点A和点B，先后请6位学生用不同颜色的粉笔画直线AB，发现这六种颜色的直线

完全重合，通过动手操作，学生自热而然理解了“有且只有”表示不但存在，而且唯一， “有

且只有”表示充要条件，即既具有充分性又具有必要性。

二、在新知传授时讲透“有”、“只有”、“有且只有”

例1 同一平面中，任意三点不在同一直线上的四个点A、B、C、D，过每两个点画一

条直线，一共可以画出多少条直线呢？

（1）若平面上有五个点A、B、C、D、E，其中任何三点都不在一条直线上，过每两

点画一条直线，一共可以画出______条直线；若平面上有符合上述条件的六个点，一共可以

画出______条直线；若平面上有符合上述条件的n个点，一共可以画出条直线（用含n的式

子表示）．

（2）若我校初中24个班之间进行篮球比赛，第一阶段采用单循环比赛（每两个班之

间比赛一场），类比上面的分析计算第一阶段比赛的总场次是多少？

错解 12条，20条，30条，n(n-1)条，24×23=552条。

点评 本题考查的是直线公理——过两点有且只有一条直线。过A点可以画出三条通过

其他三点的直线，过B点也可以画出三条通过其他三点的直线。同样，过C点、D点也分

别可以画出三条通过其他三点的直线。这样，一共得到3×4=12条直线，但其中每条直线

都重复过一次，如直线AB和直线BA是一条直线，因此，一共有(3×4)÷2=6条直线。可

见错误原因在于对“有且只有”理解不透彻。

三、在变式训练时巧选“有”、“只有”、“有且只有”

所谓变式训练，即是指在数学教学过程中，对概念、定理、公理等从不同角度、不同层

次、不同情形、不同背景做出有效的变化，而本质特征却不变。通过变式训练，让学生找到

哪些地方变了，“咬出”变化，“嚼出”区别，从而顺利地解决问题。

例2 我们知道：平面上有一个点，过这一点可以画 无数 条直线；

变式1：若平面上有两个点，则过这两点可以画的直线的条数是 ；

变式2：若平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 ；

变式3：若平面上有四个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是 。

错解（1）1；（2）3；（3）6。

点评 （1）由直线公理——经过两点有且只有一条直线可知：若平面上有两个点，则

过这两个点可以画的条数是：1

（2）当三点在同一条直线上时，可以画1条直线；当三点在不同一条直线上时，可以

画3条直线，故平面上有三个点，过每两点画直线，则可以画的直线的条数是1或3。

（3）当四点在同一条直线上时，可以画1条直线；当三点在同一条直线上时，可以画

4条直线；当任意三点均在不同一条直线上时，可以画6条直线。故平面上有四个点，过每

两点画直线，则可以画的直线的条数是1或4或6。

通过以上变式训练，可以使学生对直线公理的理解逐渐加深，对公理中本质的东西（有

且只有）有了非常清晰的认识，同时还渗透了分类思想。

四、在口头表达时用对“有”、“只有”、“有且只有”

《数学课程标准》中明确提出了“在数学教学中必须充分发挥学生的主体能动性，增强

学生的参与、交流、合作意识。”那么作为在学生进行参与、交流、合作时的思想载体——

口头语言的表达，就显得尤为重要了。一旦学生真正理清了“有”、“只有”、“有且只有”之

间的区别和联系后，随后即将学习的几个涉及到“有且只有”概念或公理也就不难理解了。

例如垂线性质——在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直；平行线公理

——经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 。数学语言是特殊的语言，它要

求准确无误，又强调严密的逻辑性，长期进行“说”的能力培养和训练，既提高了学生的口

头表达能力，更主要的也是对学生逻辑思维能力的训练与提高的过程。

总之，学生的学习如果缺少必要的“咬文嚼字”的训练，学生深入思考、主动探究的精

神就会缺失，学习变得肤浅，知识掌握就不会很扎实。所以，教师抓住日常教学中遇到的实

际问题，引导学生运用不同的方法，开展“咬文嚼字”的理解训练是提高学生的辨别能力和

思维能力的重要途径。

参考文献：

1．黄美新 关于数学严谨性与教学原则的思考 广西右江民族师专数学系，1998

2．王均丽 浅谈数学教学中如何加强学生“说”的训练 [j] 青少年日记