第四讲 先秦诸子与中国古代数学

2023年12月22日发(作者：幼儿园数学试卷 测试题)

第四讲 先秦诸子与中国古代数学

在上一讲中我们只是片面地看了看中国古代的文学与数学之间的联系，我们这时就有所必要从大师们的思维角度来观看数学这个神秘而有趣的话题，既然我们讲的是数学与文学的关系，那么我们就先从几位文学大师。

一．儒家文化与先秦数学

一提到儒家文化，我们不得不提及一位我们所共知的一位人物，他就是孔子！

孔子是儒学宗师，我国古代最杰出的教育家，孔子不仅首创平民教育，而且还以有教无类的教育方针培养了一大批优秀人才。但是， 由于孔子的教育观和培养目标是造就君子，轻视科学技术，从而为先秦数学及数学教育的发展带来消极的影响。以往对于这个重要的问题还很少有学者论及。

数学， 我国古代叫算术，相传伏羲时结绳记事，黄帝时始作算数。据殷墟甲骨文，商朝时各种数字已较齐备， 出现了个位到四位的复数。到春秋战国时期， 已经普遍运用加减乘除四则运算， 在《管子》、《苟子》等典籍中， 还出现了十以内相乘的乘法运算。先秦时期，数学还没有形成一门独立的学科，数学知识散见于诸子百家的著作中。数学成果往往带有哲学思辨的色彩，哲学观点也往往借助于数学语言来表达。

孔子出生于没落的贵族家庭，幼年丧父，少年丧母，饱经困苦生活的磨炼，从小“贫且贱”， 只能做一些被贵族视为低贱的工作，如为贵族官吏饲养牲口， 当会计，替人办理丧事等。《孟子·万章下》说“孔子尝为委吏矣， 日： ‘会计当而已矣’。‘尝为乘田矣’，

日： ‘牛羊茁壮而已矣⋯ 。《史记·孔子世家》记载“孔子贫且贱。及长，尝为季氏吏，料量平。尝位司职吏而畜蕃息”。就是说孔子家庭贫寒，长大以后，为季氏做事， 曾经当过会计，善于计算，账目清楚，管理饲养牲畜时，配料得当，牛羊肥壮。管理仓库能够正确使用量器， 准确计量。这些材料证明，孔子具有熟练的计算和测量的技能。

孔子勤奋好学，知识渊博，精于数学。他从30岁左右开始兴办私学， 聚众授徒，许多社会下层青年从四面八方慕名投奔到他的名下， 拜他为师。据说孔子办学的鼎盛时期，有3000弟子，其中杰出的有72人。孔子精通礼、乐、射、御、书、数六艺，并以六艺授徒。六艺中的数就是数学的数，而不是古代的数术。有专家认为数就是指“周官九数”， 它包括方田、栗米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要九种名目，与《九章算术》大同小异。

春秋是中国社会处于激烈动荡的转型时期， 王室衰微，诸侯争霸， 中国的奴隶社会已

由西周的鼎盛时期走向没落，与奴隶社会相适应的各种典章制度日趋崩溃。孔子一心向往文、武、周公时代，把西周的礼乐文化当作社会制度完善的典范， 面对现实生活中“君不君， 臣不臣，父不父，子不子”的现象感到痛心疾首。他一生都在为改变“礼坏乐崩” 的现实，恢复以前“礼乐征伐自天子出” 的政治理想而奔走呼号。他渴望能够参与国家政治，把自己的政治主张付诸实施。可是，他的执著追求与剧烈变革的社会现实之间存在着尖锐的冲突，一次又一次遭到失败。时代决定孔子不能成为伟大的政治家，只能在文化教育方面施展自己的才能。所以，他把实现自己政治理想的希望寄托在学生身上。因此，孔子的教育目标是使学生成为君子， 即品德高尚，能够施行仁政，安邦治国的政治家，而不是培养精通某一学科或技艺的专门人才。按照儒家的正统观点来看，数学列于六艺之一，有一定的重要性，但终究是一种技艺而已，作为一个通儒， 固然要懂点数学，但不能把主要精力放在上面，“修身、齐家、治国、平天下” 才是最重要的。因此，他教育培养学生重视六艺中的文献典籍，轻视数学和专门技艺。

孔子提出“君子不器”， 即品德高尚的人不能像器具那样具有各自独立的专门用途。君子应当“志于道、据于德、依于仁、游于艺”，也就是说君子对于专业知识和技艺只要游于其间就行了， 不必要去钻研，否则就会陷于其中而不能自拔，就不能成为君子。而君子正是孔子培养学生要达到的目标。所以，尽管他有3000弟子，但没有一位对于数学或专门技艺的发展作出过重大贡献。孔子由于其突出的历史地位，他对数学教育的认识及其科学技术观，对以后的儒学家以极大的影响，从而也影响到先秦数学的发展。

孔子的思想和学说在先秦儒家那里得到圆满的传承，这传承的人就是孟子和苟子。金景芳先生认为“孟子是自古迄今最了解孔子的人，他对孔子学说把握得最准确，最透彻，后世没有一个赶得上他” 。《史记·孟子苟卿列传》说孟子“受业子思之门人，所如者不合，退而与万章之徒序《诗》、《书》、述仲尼之意，作《孟子》七篇”。可知孟子是孔子之孙子思之门人的弟子。孟子一生以孔子为榜样，他曾说： “乃所愿，则学孔子。” (《公孙丑上》)

孟子熟悉数学和数学计算方法。他曾说： “天之高也， 星辰之远也，苟求其故， 千岁之日至，可坐而致也。” ( 《离娄下》) 意即尽管天空很高，星辰很遥远，但只要懂得其中的道理和计算方法， 即使是1000年以后的冬至日是什么时候，也可以坐着推算出来。说明他知道只要掌握正确的计算方法，就可以计算出节令运行的时间。他还熟悉面积的计算。他说： “今腾，绝长补短，将五十里也。”(《腾文公上》)也就是说，把腾国长的一方裁下，填补短的一方，长宽都使50里。

孟子广收学生， 以“仁政” 授徒。他成名以后， 带着学生周游列国， 向各国君王宣传自己的政治主张， 希望能够登上政治舞台，有机会大展身手，但却不为诸侯所用。因此，他把实现自己政治理想的希望寄托在学生身上。他也轻视科学技术，把天下事分为“大人之事” 和“小人之事”， 而把耕种、纺织、陶冶、制械等各种技艺统归为“小人之事”，并认为这些事都应由“小人” 去干， 而不应由君子去做。

孟子说： “有大人之事，有小人之事，且一人之身， 而百工之所为备。如必自为而后用之，是率天下而路也。故日：或劳心，或劳力；劳心者治人， 劳力者治于人； 治于人者食人， 治人者食于人；天下之通必也。” (《腾文公上》) 即：天下事有的由“大人” 去做，有的由“小人” 去做。每一个人所需要的生活资料都要靠各种工匠生产的产品，如果凡事都要亲自去做才能使用，那就是率领天下的人疲于奔命。所以说，有的人从事脑力劳动，有的人从事体力劳动， 脑力劳动者统治人，体力劳动者被人统治；被统治者养活别人，统治者靠别人养活，这是通行天下的原则。

苟子l5岁就游学齐国，30岁为齐祭酒， 三次担任稷下学宫主讲，被尊为卿。苟子怀抱治国宏愿， 周游列国，渴望能得到君王赏识， 以施展其才能抱负，然而事与愿违，他的政治理想终未实现。最终只有广收门徒，著书立说。

苟子继承了孔盂以培养君子为目标的教育传统，他把人分为两类：一类是“精于物者”，即掌握某种具体技艺的人； 另一类是“精于道者”，即能够管理和使用具有各种专门技艺者的人， “精于道者” 才是君子学习和努力的目标。

苟子提出： “兼足天下之道在阴分。” ( 《富国》) 他说考察地形的高低，鉴定土地的肥瘠，安排五谷的播种等事情，君子不如农民。钱财货物流通，判定货物质量优劣，君子不如商人。画方圆， 放墨线，灵巧运用， 君子不如工匠。至于依照人的德行来确定人的等级次序， 比较人的能力而授予官职，让各类人才都能获得相应的位置，使人的讲话符合道理， 做事合乎要求，这才是君子的专长。君子“其于天地万物也，不务说其所以然而致善用其材” (《君道》)。这种对天地万物不务说其所以然的态度， 也充分说明了其重视君道，轻视科学技术的态度。

苟子认为数学只是“官人使吏” 之事，不可达于君子之道。他说“计数纤啬而无敢遗丧，是官人使吏之材也”。他认为：“械数者， 治之流也， 非治之原也，君子者，治之原也。官人守数，君子养原。原清则流清， 原浊则流浊。” (《君道》) 十分阴显，苟子心目中教育的培养目标是君子，而君子应该是能够辅助圣君一统天下的治世之才，而不是局限于计数、制械等一些具体科学的“官人使吏” 。苟子以培养君子为目标的儒家传统教育观，

对先秦数学和科技发展极为不利。

总的来说，先秦时期， 伴随着奴隶制度的逐渐瓦解和封建制度的形成，反映社会各阶级利益的思想家蜂起。孔子等儒家普遍重视诸如“修、齐、治、平” 之道，而忽视数学(对其它科学技术亦然)，这与同时期的希腊思想家们普遍重视数学不同。

先秦儒家孔子、孟子、苟子的教育目标和对数学与科学技术的认识基本一致。他们承认数学和其它技术在实践和日常生活中的作用， 自己本身也对数学和某些专门技艺也有较深的造诣，但他们一致认为数学和其他科学技术都是“小道”， “君道”才是大道，教育的目标是培养能够辅佐君王治国平天下的治世之才和政治家。这些思想影响到我国古代数学和科学技术的发展，并对以后中国古代教育培养模式产生了重大影响。

二．道家思想与中国古代数学思想的比较

现在看来,

数学与哲学是两门各自独立、互不相关的学科,

但稍稍注意一下数学史和哲学史的发展历程,

我们就可以发现这两门学科之间存在着非常紧密的联系。尤其是在自然哲学尚未分化、各门学科尚未独立的古代,

数学和哲学之间,

存在着一种相互融合、浑然一体的关系,

这在我国先秦诸子的著作中有着不少的描述。本文以老子哲学为例,

拟对这种关系作一比较分析。

第一．老子的“道”与数学中的“点”

老子“道”的内容比较广泛,

也比较模糊,

在不同的地方具有不同的涵义,

或作本原,

或作本质,或作规律等,

但其基本规定是“无”。从《道德经》第十四章及第三十五章对道的描述我们可以看出:“道”没有颜色,

“视之不见”;

“道”没有声音,

“听之不闻”;

“道”也没有味道,

“道之出口,

淡乎其味”;

“道”又没有形体,

“搏之不得”;

“道”无始无终,

“迎之不见其首,

随之不见其后”。总之,“道”没有形体,

不是具体的事物,

不是人们的感官所能把握的,

是一个超形象、超感觉的抽象概念,所以它“复归于无物”,

我们把它称作“无”。但是,

这种“无”又不是空洞的,

因为它“湛兮,

似或存”;

“绵绵若存,

用之不勤”,

所以是一种实存。

“强之为容:

曰大、曰逝、曰远、曰友。”“大”指“道”分布的空间极大;

“逝”指“道”已经过了极长的过去;

“远”指“道”还有极为漫长的未来。因此,

“道”分布充满整个时间和空间,

它可“名于小”,

可“名于大”,

所以“道”具有无限性。“道生一,

一生二,

二生三,

三生万物。”即万事万物因道而生,

所以它和万事万物具体而联系。如果把“道”作为事物产生、发展直至灭亡的规律或法则来看,

它必然因具体事物的不同而在形态

或形式上的表现不同(虽然对这种表现往往无法直接感觉到)。换句话说,

“道”在体现具体事物的过程中它将因具体事物的有限和可数表现出它的有限性来。

综上所述,

“道”是一个对一切事物高度抽象化的概念,

有着强烈的双重性,

是虚无与实存、有限与无限的对立统一。数学中的“点”,

在几何中也是一个抽象的概念,

我们对“点”无法进行规定性的描述,

在欧几里得的《几何原本》中被认为“点没有部分”(《高等几何》148

页) ,

也仅此而已。“点”是在几何学中无法进行严格定义、也不能进行解释的“原始概念”。名之为“点”,

如同老子之道,

也是强之为名。从空间结构看,

它不列于任何维数的空间,

它仅仅是一个“点”,

除此不会被认为是任何形式的几何体,因此,

我们可以说,

“点”也是一种“无”;

可是它却又可以列入任何维数的空间,

因为任一空间的某

一位置总可以抽象成一个点;

它又存在于任意的几何形式之中——或直线,

或平面,

或立体等,

所以,它又是一种实存。“点没有部分”,

即是说“点”没有大小,

不可分割,

不可度量。大到一个星球,

小到一粒尘埃,

任何东西在系统研究中都可以抽象为一个点,

真乃“语大,

天下莫能载焉;

语小,

天下莫能破焉”(《中庸》)。所以“点”也是有限与无限的统一,

是“内部辩证的东西”(黑格尔《辩证逻辑》59

页)。由此可见“点”之去“道”不远矣!

另一方面,

老子认为“道”是万物的本原,

或者说万事万物都是由“道”演化而来,

即“道生一,一生二,

二生三,

三生万物”,

当然,

这里的“一”、“二”、“三”不是单纯的数字含义,

是“举虚数以代实物也。”(高亨《老子正诂》)

是老子采用抽象的方法和数学语言对世界万物的生成提供了一个简单的模式。而从数学轨迹的观点来看,

点的运动可以形成“线”(如一维空间的直线) ;

“线”的运动可以形成“面”(如二维空间的平面) ;

“面”的运动可以形成“体”(如三维空间的柱体、球体等)。而世间万物以“几何”的观点来看何尝不是形态各异的“几何体”呢?

换言之,

“点”是任何形式的几何体的本原和基石,

这也是我们前面所说的“点”可以列于任意维数空间,

甚至包括现代数学中的想空间的原因之一。老子以“道”演化世界的模式和思想,

与“点”从一维空间到多维空间动形成不同种几何形式的思想是一致的。

从以上所作比较分析看,

老子的“道”与数学中的“点”是极其相似的。这种相似性,

不仅表现在各自的性质上,

而且它们各自构造自己的哲学体系或科学体系的本原性也是相似的—— 老子以“道”为基石构造了他的哲学体系,

而数学则以“点”为基石构造了整个数学学科的几何体系。

第二、老子的“道”与模糊数学思想的对比分析

模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学理论和方法,

是现代数学的一个重要分支,

由美国控制论专家扎德于1965

年首先提出来。

经典数学理论是建立在二值逻辑基础之上,

对客观事物的认识“是”与“非”二者必居其一且只居其一。但是,

有许多现象用这种是此非彼或非此是彼的经典数学理论是极难描述清楚的。如右图,

若问“它是圆吗?”,

如果我们回答它是或者不是,

都是不符合实际、不正确的。当我们回答“它有50%

的程度是圆”,

才符合实际。象这种现象就被称其为模糊现象,

这种答语在数学中称作“模糊语言”。值得注意的是,

对这种模糊现象进行描述时,

我们是建立在一种精确的数学语言上(显然,

上述“50%

的程度是圆”是无可争议的)。换句话说,

模糊数学所研究的模糊现象,

事实上我们可以给它分成若干精确现象的“组合”(对于这种局部精确现象在量上的描述,

在模糊数学中被称为“隶属度”,

如50%

或015,

隶属度所构成的集合称为模糊集) ,

或者说,

正是基于这种对“局部精确”描述的“组合”(模糊集的建立) ,

到完成“整体模糊”的描述,

是模糊数学得以建立的基本思想。

外延模糊、内涵不同类的精确现象在老子哲学中也有着较精彩的描述。如“道之为物,

惟恍惟惚。惚兮恍兮,

其中有象;

恍兮惚兮,

其中有物;

窈兮冥兮,

其中有精;

其精甚真,

其中有信。自古及今,其名不去,

以阅众甫”。这里不论“恍”、“惚”,

还是“窈”、“冥”都是模糊不明确的,

不可测度的,

即“道”在总体上是模糊的。但是,

它又“其中有象”、“其中有物”、“其中有精;

其精甚真”、“其中有信”。这就是说,

对“道”具体地认真地加以剖析,

又是有形象可感、有实物可触、有真实可信等,

所以,

它可“以阅众甫”、可以认识和把握“道”。老子这种整体模糊、局部真实可感、以及认识和理解整体模糊的“道”,

须从把握和认识局部精确开始的思想和现代模糊学中的思想是多么地吻合!

当然,

在老子哲学中还有许多数学方面的概念,

都在今天的模糊数学研究范围之内。如“长”与“短”、“直”与“曲”、“多”与“少”、“重”与“轻”、“大”与“细”、“有余”与“不足”等等,

这些都是没有明确外延的概念,

用经典数学语言无法进行确定性的描述。

第三、老子的“无”与数学中的“零”

老子的“无”除了体现“道”的规定性外,

还有另外的意义。当然,

谈到老子的“无”,

不能不谈老子的“有”,

在老子的哲学思想中“有”与“无”是相互对立和统一的,

尤其是他的“有无相生”的辩证思想是极具深刻意义的。我们先来看老子在对客观事物的观察中对“有”和“无”的论述:

“三十辐共一毂,

当其无,

有车之用。陶埴以为器,

当其无,

有器

之用。凿户牖以为室,

当其无,

有室之用。故有之以为利,

无之以为用。”简单地说,

正因为有车轮中心的空虚部分,

才有车子的作用;

正因为有陶器中间的空虚部分,

才有容器的作用;

房屋因为有了门和窗这些空虚的部分,

才有房屋的作用。因此说,

“有”之所以能被利用,

就是因为无在起作用。这一对客观事物深刻细致的观察和精彩的辩证思考,

变换到我们今天的数学科学的角度是有意义的。实际上,

“无”就是今天数学语言中的“零”。在

上古人的头脑里,

“有”是可数的存在物,

因为,

所谓“结绳记事”就表明必须有某物或某事,

才有可能和其对应的“绳结”。“绳结”在量值上的表现,

显然就是我们今天数学语言中的正整数或自然数。这种“绳结”与事或物在量上的相互对应性表明,

人们最初对数的概念的形成起始于对“有”的认识。而“无”或者说“零”则是难以想象的,

或者说是不可数的非存在,

即“无”是“有”这种客观存在的否定。但是,

从上面老子关于“有”与“无”的作用的辩证说明,

以及他的“天下万物生于有,

有生于无”的思想可以看出,

这种认识到了老子这里得到了彻底的修正。而这种修正,

使我们的祖先在数的认识史上有了一个很大的飞跃。事实上,

在数学中,

今天不会有人否认“零”这个在现实生活中似乎毫无意义的数字,

虽然它是任何一个确定量的否定,

但决不是没有内容的。正如恩格斯指出的:

“零比其它一切数都有更丰富的内容。”是“一切正数和负数的分界线”;

“把它放在其它任何一个数的右边按我们的记数法它就使这个数增加十倍”;

“零乘任何一个数,

都使这个数变成零;

零除任何一个数,

使这个数就变成无限大;

零被任何一个数除使这个数变成无限小⋯⋯”(《自然辩证法》279—280)

等等。

如果我们把老子关于“无”的认识和作用与今天数学中零的作用来进行比较,

会得出什么样的结论呢?显然,

它们是相似的。

另外,

还应该说明,

对“零”的正确认识是负数出现的必要前提。我国在公元前1—2

世纪成书的《九章算术》中就已经出现了负数和“正负术”。印度到公元7

世纪才认识负数,

而西方国家的数学家到公元16

世纪还不承认负数,

甚至直到18

世纪,

还有数学家认为小于零的数是很“奇怪的数”。我国古代对负数的认识在世界数学史上的超前性是否和老子关于“无”的认识有关呢?

我认为即使作这种联系,

也决不能说是臆猜。

第四、老子“大直若曲”与数学中的极限思想

通常看来“直”和“曲”是绝对对立的,

有着不可调和的矛盾性。老子却不持这种观点,

他对“直”和“曲”有着深刻较辩证的认识。他不仅看到了“直”和“曲”之间相互对立的一面,

而且还看到了它们之间互相统一和依存的一面;

“直”和“曲”之间是可以相互转化的—— “大直若曲”,

即极大的直和曲是等同的。显然,

老子是以动态的观点来看待

“直”和“曲”的,

并且很明晰地指出了“直”和“曲”等同或转化的条件—— “大”——极大。“直”和“曲”,

依今天数学的观点来,

这是一对对客观事物空间形式及关系进行描述时所抽象出来的一对数学概念,

反映在我们头脑中最简单的几何形式就是直线和曲线。

极限是分析数学中最基本的概念之一,

主要用于描述变量在某种变化过程中的终极状态或结果。建立在极限概念基础上的最早数学分支便是微分学,

而“微分”在几何意义上就很明确地指出:

可以用切线段(直线段)

来近似代替曲线段。但是,

使用了极限概念后,

这种替代的“近似性”,

最终必将随着其参量的终极变化而消失,

使直线和曲线得到等同,

消除了直线和曲线之间的不可通约性。而事实上在平面解析几何中,

直线就被简单地定义为是曲率无限小或曲率半径无限大的一次曲线。还值得指明的是,

由于极限概念建立认可了在一定义上的“直”和“曲”的等同性,

从而使定积分概念的建立有了一种较为简单的途径,

为积分学的发展开辟了道路。

第五． 特化狭义老子道与最大熵的数学等价性对多符号广义集合也成立

设有一信源广义集合包含 q个符号：s1,s2,...sq. 每个符号在一次接收中出现的概率分别是p1,p2,...pq. 。

由于符号 s1,s2,...sq

中任意两个 对于一次接收而言是“有你无我”，“有我无你”。因此 这些符号是两两互斥的。因此任意两个符号都构成“正”与“反”。于是按特化狭义老子道 ，“正反相生”。两两概率相等。所有符号的概率相等。

我们有特化狭义老子道等价于 p1=p2=...=pq

= 1/q ；

于是我们的命题等价于最大熵 H 与 p1=p2=...=pq

= 1/q 等价。

这个数学命题早已是信息论中的定论，不再赘述。

于是我们证明了

特化狭义老子道与最大熵定律的数学等价性对多符号广义集合也成立。

应该强调:特化狭义老子道所对应的熵是一切概率分布所对应的熵的最大值。不小于一切限制条件下的条件最大熵。 正是浮浮沉沉众生相，“正反相生”方究竟！ 证毕。

我真为我们的祖先---老子而骄傲。按照他老人家的“反者道之动”。我定义“正反 相生”为\"狭义老子道\"。根据这个狭义老子道，我得出信息系统的最大熵 它比一切 拉格朗日乘数法得到的条件最大熵都大。我们知道，熵就是平均信息。我们的祖先 老子在几千年前就知道如何设计信息量最大的信息系统！

另外, 我国魏晋时期杰出的数学家刘徽, 在证明圆面积公式及计算圆周率时所创立的“割圆术”,就是采取以直代曲的方法, 即求圆的面积转化为求它的内接正多边形的面积。有数学史研究者认为, 刘徽是深受道家思想影响的人, 如此, 我们可以说, 刘徽这种“割圆术”的思想是老子“大直若曲”思想的延续和再创造。要知道, 刘徽提出的计算圆周率的方法, 奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位, 并且“割圆术”中所体现的极限思想, 比直到公元17 世纪巴罗(牛顿的老师) 利用特征三角形(又称微分三角) 求曲线的切线斜率时所隐含的极限思想更明确更清晰(注意: 曲线的切线斜率问题是导致微积分学建立的重要问题之一)。

从以上的对比分析我们可以看出, 老子在两千多年前提出的“大直若曲”(还有“大方无隔”、“大盈若冲”等) 的思想是多么的精彩。它对后来我国数学发展的影响, 以及一千多年后在近代数学中得到的印证和体现, 这不能不让我们敬佩我国古代先哲的超人之智慧。

通过以上几个方面的对比分析, 我们可以看到, 在老子朴素的辩证法思想体系中, 有不少是隐含数学意义的。统观《道德经》全篇, 老子总是用数学化的哲学语言或哲学化的数学语言表达他的思想,在看到事物数量关系或形式的后面揭示了深刻的哲学原理, 这无论是对哲学史还是对数学史, 都是一个很大的贡献。

三．法家与中国古代数学

1975 年底湖北云梦睡虎地11 号墓出土了大量竹简，主要是法律、文书。墓主可能是出土的《编年记》中的喜，他生于秦昭王45 年（公元前262 年），在秦王政时历任安陆御史、安陆令史、鄢令史等与法律有关的职务，他很可能卒于秦始皇30年即公元前217 年。由于墓主之死上距秦始皇统一六国仅4 年，所以墓中出土的这批竹简对战国以迄秦汉历史的研究，具有十分重要的意义，受到文史界的广泛关注。

但以往的论作很少注意到它对科技史研究的价值。其实它对科技史研究，特别是对从社会的政治经济背景和科技的关系来考察科技史有很高的价值。郭世荣、冯立升先生虽曾用汉简和睡虎地秦简论及数学与社会经济有关系，但较简括且限于秦汉时代。本文则拟利用睡虎地秦简来研究先秦数学史。

传世的中国数学著作，以《周髀算经》和《九章算术》为最早。前者主要是以数学为工具阐述盖天说，后者才是典型的数学著作，它形成了中国古典数学的代表性模式。《九章算术》内容丰富，门类齐全，学术界普遍认为它是先秦以迄秦汉数学的集大成之作。但其中先秦数学占到多少份额，则不易论定。过去钱宝琮先生认为《九章》方田、粟米、衰分、少广、

商功五章的绝大部分出于先秦，主要是从当时有此类社会需要的角度来估定的；郭书春先生则认为《九章》整书的大部分都出于先秦，除社会需要外，还从《九章》的结构和刘徽关于《九章》编纂说法的某种吻合以及刘徽的求实态度来考虑。但两家的论据与结论之间尚缺着较大的环节，从当时有此社会需要来说明其观点时都过于简括。由于粗略地看，比《九章》方法更原始的同类方法也可与先秦的社会需要相适应，所以，需要对先秦数学所达到的高度有一个切实的估价来支持，二位先生的观点才有说服力。睡虎地出土的秦律，正好提供了这种估价所需的材料。

第一、 透过秦律对会计、统计的严格要求看先秦数学

统计、会计对国家进行有效管理至为重要，先秦文献中大量提到“计”、“会”、

“会计”、“计数”等，实际都包含统计和会计工作，但比今天的“会计”和“统计”要宽一些，包含更多的与此相关的管理工作（如考核和分配等）。统计和会计要求相关人员通晓相应的计算方法。秦律对会计和统计的严格要求，说明当时对相关官吏的数学水平有较高的要求。

睡虎地秦简《效律》说“计校相谬也，自二百廿钱以下，谇官啬夫；过二百廿钱以到二千二百钱，赀一盾；过二千二百钱以上，赀一甲。人户、马牛一，赀一盾；自二以上，赀一甲”。会计经过校算发现差误，错算数目在二百二十钱以下的，斥责该官府的啬夫；超过此数而不多于二千二百钱的，要罚一盾；超过二千二百钱的，要罚一甲。错算人口一户或牛马一头的，要罚一盾；错算两户或更多的，要罚一甲。《效律》的另一段则说：“计脱实及出实多于律程，及不当出而出之，值其价，不盈廿二钱，除；廿二钱以到六百六十钱，赀官啬夫一盾；过六百六十钱以上，赀官啬夫一甲，而复责其出也。人户、马牛一以上为大误。误自重也，减罪一等”。也就是：会计帐目和实际数目相比，差数超过了法律规定的限度，和不应销帐而销了帐，要估计其价值，不满二十二钱的，可免罪；在二十二钱到六百六十钱之间的，要罚该官府的啬夫一盾；超过六百六十钱的，要罚该官府的啬夫一甲，并要责令赔偿所销帐的东西。错算人口一户或牛马一头以上便属大误。如系自行查出的错误，可减罪一等。看来，秦律对经济上差错的处罚是非常严厉的。之所以有这样严厉的法规，除了官吏不贪脏枉法外，还必须官吏有较高的管理能力，这其中就少不了要有较高的数学计算能力。

秦律还规定了在具体负责会计的人员有过失时，其上司应负的责任。《效律》

云：“尉计及尉官吏即有劾，其令、丞坐之，如它官然”，“司马令史掾苑计，计有劾，司马令史坐之，如令史坐官计劾然”。这是说县尉的会计以及县尉官府中的吏如有罪行，该县县令、县丞应承担罪责，和其它官府一样；司马令史掾管理苑囿的会计，如会计有误，司马

令史应承担罪责，和令史承担官府会计的罪责一样。可见这种对下属有过失时也要追究上司的法律，是十分严厉的。《效律》不避秦始皇讳，其写作时代很可能早于始皇元年即公元前246 年，行用于战国时期。经济管理工作中的统计、会计必须用到大量的计算方法，秦律能有这样严厉的规定，必然以当时大批官吏掌握了相应的计算方法为前提。因此，战国时代的数学水平不宜低估。

第二、 从关于几种米的换算比例看《九章算术》粟米章的渊源

《九章算术》第二粟米章以比例算法（称为“今有术”）为核心，主要讲各种

粮食换算的数学方法，也包括相关的一些其他问题和方法。该章开首说：

粟米之法：

粟率五十 粝米三十

粺米二十七 糳米二十四

御米二十一 小十三半

大五十四 粝饭七十五

粺饭五十四 糳饭四十八

御饭四十二 菽、荅、麻、麦各四十五

稻六十 豉六十三

飱九十 熟菽一百三半

糵一百七十五

《说文解字》米部也有关于几种米的换算比例：

1 粟重一为十六斗太半斗，舂为米一斛曰粝。 （粝字条）

2 毇，米一斛舂为八斗也。 （毇字条）

3 糳，粝米一斛舂为九斗曰糳。 （糳字条）

4 粺，毇也，从米卑声。 （粺字条）

取粟率为50，则《说文》中粟、粝、糳、粺、毇之比为50：30：27：24：24。《九章》粟、粝、糳、粺之比为50：30：24：27。两文献中糳和粺之比是互换的，且《九章》没有出现毇。段玉裁把《九章算术》视为张苍的作品，又据郑玄、吕忱的说法与《九章》所载相同，谓“许在张苍之后，郑、吕之前，断无乖异”，一口咬定《九章算术》的数据是对的，《说文解字》原来也不误，是后世传写过程中发生了错误，他还据此改动了《说文》。

睡虎地秦简《仓律》说：

[粟一]石六斗大半斗，舂之为粝米一石；粝米一石为糳米九斗；九斗为毇米八斗。稻

禾一石，为粟廿斗，舂为米十斗；十斗粲，毇米六斗大半斗。麦十斗，为三斗。菽、荅、

麻十五斗为一石。稟毇粺者，以十斗为石。

“粟一”二字为秦简整理小组补。从下引《算数书》文字看，也许补“禾黍一”更

合适些。近期公布的湖北江陵张家山247 号墓（约公元前186 年下葬）出土的《算数书》

也引了一段秦律：

程曰：禾黍一石为粟十六斗泰半斗，舂之为粝米一石，粝米一石为糳米九斗，糳米[九]斗为毇米八斗。王程曰：稻禾一石为粟廿斗，舂之为米十斗为毇，粲米六斗泰半斗。麦

十斗， 三斗。程曰：麦、菽、荅、麻十五斗一石，稟毇糳者，以十斗为一石。 “粲”字前“为毇”二字整理者作连下读，今改为连上读。两段出土文献基本相同，只是秦简中“粲”、“毇”二字误倒，《算数书》把秦律的“稟毇粺者”引作“稟毇糳者”，即“粺”换成了“糳”。另外，《算数书》还有其他条目涉及粮食的比率，但没有出现糳，而代之以粺。笔者曾分析过上引《说文》、《九章》、秦简《仓律》和《算数书》的异同，指出：“糳”和“粺”在汉初或更早时代曾用来指同种精度的米；《说文》的粺率不是错误的，就是后起的；《九章》的错误是糳米和相应的糳饭的比率，即“毇”被误作了“糳”。

那么，《九章》这个错误是否后世传写过中程才出现的呢？现传《九章》“粟米之法”中粺饭和糳饭之比为54：48=27：24，与粺米和糳米之比正同；同时，经笔者校算，不仅粟米章的问题都按此比例计算，而且《九章》全书也都按此比率计算。

由此看来，这一错误不会是传写之误。那么，有没有可能是后来的学者根据“粟米之法”第一个错倒的数据改动了汉《九章》的其他数据呢？这种可能性也是微乎其微的，因为找不到任何的证据，而且东汉时郑玄（127-200）通晓《九章》，并已经用此错误的数据来注解经书了。所以，这个错误的数据，应是西汉晚期编成《九章》时就已经有了的。

《九章》的这个错误，至少说明粟米章不可能直接出于秦汉两朝负责谷物的官吏之手，而是一定程度上脱离这种实际工作的学者所为。秦律的主要部分成于秦统一六国以前，特别是《秦律十八种》不避秦始皇嬴政之讳，其年代当早于始皇，在公元前246 年以前。另外，这批竹简中还抄有两条颁布于魏安釐王25 年（公元前252年）的魏国法律，也说明此墓中出土先秦法律文书是不奇怪的。因此，早在先秦就有了这种按比例换算的实际活动，先秦的学者按一组稍有错误的比例设置问题也是有可能的。《算数书》既引秦律以糳率9（以粝为10），又有大量以粺率为9 的问题，说明《九章》之以粺率为9（不同于许慎之以粺为8）确实可能出于先秦。退一步说，即使粟米章按此错误比例设置的内容晚出，由秦简和《算数书》也可推断在先秦仍会有按正确比例进行计算的事实，也会有同样的算法。所以，我们至少可以说

粟米章有早在先秦的渊源。另外，秦简中的比例带有分数，而传世文献和一些先秦器物也用到分数，说明先秦产生了解决基于分数运算的问题的方法。

关于《九章》的编纂，学术界正逐渐统一到魏晋时刘徽的观点上来。刘徽说：“周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏。自时厥后，汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补。故校其目则与古或异，而所论者多近语也。”也就是说：张苍、耿寿昌收集免于秦始皇焚书的先秦《九章》残简，进行整理和删补，调整了数学的科目，并在一定程度上用当时的语言改写而形成汉代的《九章算术》。张苍历战国、秦、汉三代，他在汉代曾为计相，做过会计工作；他定章程，包括对历数和度量衡的确定。

耿寿昌在汉宣帝时任大司农中丞，担负有关农业水利漕运之事。如果粟米章为张苍、耿寿昌所撰，那么他们应是从实际中直接归纳出这些问题的，以他们的条件，当不至于犯把粺米和糳米比例颠倒或把“毇米”误成“糳米”的错误。而如果这些问题是早已有之，那么，他们在编辑《九章》时未加考究而承袭这些错误则完全可能。因此，我们认为粟米章与“粟米之法”相关的问题源于先秦。

第三、 从秦简看比例分配问题

《九章算术》第三衰分章处理比例分配问题。遇有公事，分配粮食和工程量是必需的，这时必定会用到衰分方法。从秦简可以看出，这种方法在先秦必然已经用到了。秦简《仓律》云：

隶臣妾其从事公，隶臣月禾二石，隶妾一石半；其不从事，勿稟。小城旦、隶臣作者，

月禾一石半石；未能作者，月禾一石。小妾、舂作者，月禾一石二斗半斗；未能作者，月

禾一石。婴儿之毋母者各半石；虽有母而与其母冗居公者，亦稟之，禾月半石。隶臣田者，

以二月月稟二石半石，到九月尽而止其半石。舂，月一石半石。隶臣、城旦高不盈六尺五

寸，隶妾、舂高不盈六尺二寸，皆为小；高五二寸，皆作之。

这里对公事活动中隶臣、隶妾、小隶妾、小孩等各种不同身分的人的粮食分配都有一定标准，而且要根据不同的情况和时间供给，其比例数值含有分数，说明当时对复杂的分数运算已经烂熟。由于在这种公事活动中会遇到各种情况，如现有若干粮食，要了解能支用多久和多少人，还缺多少需要从新调拨等问题（对照后面引《左传》中关于修建工程的记载），这时肯定要用到包括衰分术在内的很多计算方法，而且这种衰分术是适用于分数情况的，这

实际比《九章》衰分术的不少问题的运算还要复杂。因此，衰分方法产生于先秦，《九章》的衰分章必有其先秦的渊源。

第四、 从秦简和先秦文献看商功和均输等问题

《九章算术》第五商功章处理工程问题，要用到多种形体体积的计算和工程当量的计算。《左传》（详下）等文献记载春秋时修建大型工程，事先要做计划，其中肯定要用到多种形体的体积计算和工程当量的计算。秦律规定度量衡不准确要受罚，说明当时计算体积、容积的水平不宜低估。如睡虎地秦简《效律》载：“衡石不正，十六两以上，赀官啬夫一甲；不盈十六两到八两，赀一盾。桶不正，二升以上，赀一甲；不盈二升到一升，赀一盾。”“斗不正，半升以上，赀一甲；不盈半升到少半升，赀一盾。半石不正，八两以上；钧不正，四两以上；斤不正，三铢以上；半斗不正，少半升以上；参不正，六分升一以上；升不正，廿分升一以上；黄金衡累不正，半铢以上，赀各一盾”。这里规定了衡石（重量的一石）、桶、斗、半石、钧、斤、半斗、参（1/3 斗）、升、黄金衡累（称黄金用的天平法码）等不准确时应受的处罚。这些处罚，是针对贪脏枉法和玩忽职守者的，忠于职守的自然不会有问题。因此，他们在度量衡的制作中用到的面积和体积计算方法问题，应已解决，而且实际上应能达到比此精密得多的程度。可见，战国时代关于体积和容积的计算方法已经很高级了。

秦简中提到大量的工程当量。如《秦律十八种·工人程》“隶臣、下吏、城旦与工从事者冬作，为矢程，赋之三日而当夏二日”，矢程指放宽生产的标准。这里说在冬季劳动时，三天收取相当于夏季两天的产品。又“冗隶妾二人当工一人，更隶妾四人当工一人，小隶臣妾可使者五人当工一人”，这是以一工匠一人为标准，规定冗隶妾（可能是做零杂活的）2 人相当于工匠1 人，更隶妾（以部分时间轮流为官府服役的）4 个人相当于工匠1 人，而能够做点事情的小隶妾（据居延汉简指七岁以上的儿童）则5 个人相当于工匠1 人。又“隶妾及女子用针为缗绣它物，女子一人当男子一人”，这是说隶妾和一般女子用针做刺绣类产品时，女子1 人和男子1 人相当。银雀山汉简《守法守令》（作于战国时期）也说“乃为分职之数，齐其食饮之量，均其作务之业”[18]。这里“均其作务之业”就是要考虑各种工程量的比例关系。先秦规定这些工程当量，为的是计算产品和工作量；同时也会用来分配工作量和劳动力，这就需要用到比例分配方法，这就是《九章》衰分章的方法。

应该说，这种工程当量与《九章》商功章是有区别的，后者主要涉及土方工程的当量问题。大概与《工程人》中的工程当量有关的问题实际是用衰分章和粟米章的比例方法解决的，所以《九章》商功章没有收录这类问题。《九章》均输章前四问是均输本术问题，要根据路途远近、物价、劳动力价格等多个参数中的若干个因素，计算出在每人（或每户、每算）

负担平均的情况下，每个单位应出的粮食或人数。这几个问题比该章后面的问题要复杂得多。如果先秦能有均输本术的数学方法，那么产生该章其他问题的方法就不成问题。从先秦文献中我们可以看到，当时是考虑了这种由多个参数确定某个指标的问题的。《国语》：“季康子欲以田赋，使冉有访诸仲尼。仲尼不对，私于冉有曰：‘求来！女不闻乎？先王制土，籍田以力，而砥其远迩；赋里以入，而量其有无；任力以夫，而议其老幼……若子季孙欲其法也，则有周公之籍；若欲犯法，则苟而赋，又何访焉。’”。孔子说先王时按土地的肥瘠、人体力的强弱（年龄是一个重要因素）、土地的远近等方面分为不同差等征收赋税，这显然是均输的思想，至少牵涉3个参数。从孔子后面的话看，此种先王之法是本于周公的，看来均输思想确是源远流长。《吕氏春秋·季秋纪》“是月也……与诸侯所税于民轻重之法。贡职之数，以远近土地所宜为度，以给郊庙之事，无有所私”。高诱注云：“诸侯所税轻重，职贡多少之数，远者贡轻，近者贡重，各有所宜”，说明要使远近不同的地方都有相同的负担。《荀子·王制》也说“王者之[法]：等赋，政事，财万物，所以养万民也。田野什一，关市几而不征，山林泽梁，以时禁发而不税，相地而衰政，理道之远近而致贡，通流财物粟米，无有滞留，使相归移也。四海之內若一家，故近者不隐其能，远者不疾其劳，无幽间隐僻之国莫不趋使而安乐之”。关市萧条要免税，山泽在某一时间禁发时也要免税，收税时考虑土地肥沃的差等、路途的远近。这里涉及市场情况、山泽状况、土地肥瘠、路途远近、财物粮食的价格（“通流财物粟米”必然与价格密切相关）共5 个因素，其中至少后3 个因素是要在同一个问题中同时考虑的。《左传》宣公十一年（前598）“令尹蒍艾猎城沂，使封人虑事，以授司徒。量功命日，分财用，平板干，称畚筑，程土物，议远迩，略基趾，具餱粮，度有司。事三旬而成，不愆于素”。令尹蒍艾猎为了建一座城，先要让主管筑城的封人做规划，然后上报司徒，规划做得很周密，结果工程进行30 天就完成了，和计划的工期没有差错。这里提到规划时考虑的问题有：计算工作量的多少，各项目所用的时间，相应所需财物和经费的开支，要使筑墙所需的夹板和支柱相匹配，让运土和筑土相适应，计算土方和材物使正好合适，考虑运输的远近对工程的影响，考察基址的情况，计算应准备的粮食，审查相关官员的能力等。《左传》昭公三十二年（前510）“己丑，士弥牟营成周，计丈数，揣高卑，度厚薄，仞沟洫，物土方，议远迩，量事期，计徒庸，虑财用，书餱粮，以令役于诸侯。属役赋丈，书以授帅，而效诸刘子。韩简子临之，以为成命”。这里讲士弥牟在设计营建成周时，要考虑城的长、宽、高，沟的形制，土地的情况，道路的远近，计算工程所要的时间、人工、财物、粮食的多少，与蒍艾猎建城时要考虑的因素差不多。在制定计划时要

考虑这么多因素，肯定要用到复杂的计算方法（严敦杰、郭书春先生都曾指出这种工程需要

用到很多数学方法）。其中，至少挖土、运土、筑土属于同一个工作流程，从数学计算来讲则是一组互相关联的参数，这组参数又与采土的土质有关，而运土又和路途远近有关，为了不出现有的环节人浮于事、有的环节又忙不过来的情况，就势必要以各个环节在同一时间内处理的土方相等为前提，计算各环节应安排的人数，这与《九章》的均输术具有同样的数学模型，只是均输术的基础负担平均换成了处理的土方相等而已。实际上，上述古人制定大型工程时要考虑的因素比《九章》的还要多，不仅要用到均输方法，而且也用到商功和勾股测量方法，至于说必须用到《九章》粟米章的比例方法、衰分章的比例分配方法这些更简单的数学方法，则更不在话下。营建大型的水利、城防、建筑等工程，事先要有周密的策划，在施工进程中又要灵活调整，才能使工程正常进行。因此，商功、均输类的典型方法和勾股类的某些测算方法是必然要用到的。但是，这些数学方法比起《九章》中相应的具体方法，也有可能水平要低得多。因为如果对工程的计划与实际完成的情况之差异没有太严格限制的话，古人利用比较原始的、经验的方法算出一个大致的结果也可以交差。但我们从秦简看，战国时确实已用到了十分先进的数学方法。秦律规定，工程出了问题，要按律追查责任。《秦律十八种·徭律》载有工程问题的处罚规定。如征发徒众营建城邑，要对所筑的墙担保一年。不满一年而墙坏，主持工程的司空和负责该墙的君子都有罪，要令原来筑墙的徒众重新修筑，且不得算入服徭役的时间。而且“县为恒事及氵獻 有为也，吏程功，赢员及减员自二日以上，为不察。上之所兴，其程功而不当者，如县然。度功必令司空与匠度之，毋独令匠。其不审，以律论度者，而以其实为徭徒计”。这里，“员”训数[27]。说明县里进行经常性的及经呈报批准的工程，由吏估算工程量，如施工时间比所估算的时间相差（不论是超过或不足）两天以上，就要以不察论处。县以上的征发，如估算的工程量不准确，与县级同例。估算工程量，必须由司空和匠人一起估算，不得单令匠人估算。如果估算得不好，要对估算者依法论处，再按实际情况计算所需服徭役的徒众的数量。秦律的这种规定，为相关的商功和均输等类计算方法提出了高要求，如果开始时这类方法还欠成熟的话，这种规定必然会促进这些方法的进步。秦律对估算差误的严厉处罚，则正是这些数学方法已经成熟的表现。因此，说《九章》的商功和均输类的典型数学方法（不一定是其中的文字）在先秦已经成熟，不是过分之辞。另外，战国时代有好些大型的水利工程（如秦国的都江堰、郑国渠，工程都十分浩大）涉及山川地势，还必须用到《九章》勾股章的方法测算，因此，联系秦律对工程规

划和施工的严格要求（对都江堰这类特大工程不一定实行得这么严）看，勾股章的各种方法中也出于先秦的比例可能比原来想象的要大得多。

睡虎地秦简《效律》说：“上即发委输，百姓或之县僦及移输者，以律论之”。委输即

以车运送。僦是雇人车载送。移输是把应当由本人运送的物品转交给别人运送。秦律规定朝廷如果征发运输的劳役，百姓有到县里雇车或转交他人运送的，应依法论处。这从另一个侧面反映了当时是有人愿意出钱雇人运送的，所以，朝廷在征发徭役和收取租税时肯定会考虑到路途的远近、当时的运费（劳动价格、租车的价格等）的因素，而这就是典型的均输问题。秦律禁止雇人和车运送，看来此前是有这种雇佣运送的。另外，秦律的目的可能是抑制商业流通，在先秦其他诸侯国，这种雇佣运输的情况，至少也应是存在过的。这又从一个侧面说明《均输》章中均输粟类题目有其先秦的渊源。

上面我们分四项讨论睡虎地秦简对于研究先秦数学史的意义，由于中国古代数学与实际密切相关，我们实际上从秦简所能琢磨到的先秦数学的信息还不止于此。如《仓律》说出禾，非入者是出之，令度之，度之当题，令出之。其不备，出者负之；其嬴者，入之。杂出禾者勿更。入禾未盈万石而欲增积焉，其前入者是增积，可也；其它人是增积，积者必先度故积，当题，乃入焉。后即不备，后入者独负之；而书入禾增积者之名事邑里于廥籍。又《效律》说仓库的粮食坏了，“禾粟虽败而尚可食也，程之，以其耗石数论负之”。《秦律杂抄》“工久榦曰不可用，负久者，久者谒用之，而赀工曰不可者二甲”。

这里的“负”和“嬴”、“增”相对，是赔偿的意思，和负数的概念是相通的。居延汉简和公元前2 世纪的董仲舒《春秋繁露·考功名》都用到负数概念。《九章》的负数只见于方程章，看来是在方程式之间相减出现不足的情况下引进的，因此方程的出现实际比负数要早。出土《算数书》中出现负数，并用到正负数的乘除法，可能是针对医生治病效果的考核问题[33]，说明负数的使用至迟可以推到公元前2 世纪的初年。结合战国时代秦简透露的信息看，说方程章有其先秦的渊源是可信的。

第五、 从秦律看《九章算术》与先秦数学

限于篇幅，上面的讨论还没能涉及秦简中能反映先秦数学信息的全部材料。而且，由于睡虎地秦简所抄秦律只是秦律的一部分，有些还只是摘抄，我们可以想见，战国时代的法律制定和施行，必定建立在当时数学知识高度发达的基础之上。另一方面，战国时代一些国家（特别是秦国）的严刑峻法也会为数学提出更高的要求，从而促进数学的进步。看来，法家与数学的关系乃是一个十分有意义的课题，“文革”期间“评法批儒”时出现的有关法家与《九章算术》关系的文章，也不是一点道理都没有。

从社会背景来说，汉代并不比战国时代更具备对数学有更高要求的社会基础，相反，战国时代法家的严苛有着深广的影响，尤其是秦简所反映的秦国在社会经济管理中的严厉法律（最典型的是对工程计划和实际完成时限差异的处罚规定，其严厉程度在中国历史上恐怕是

无出其右的），说明当时数学必定有很高的水平。因此《九章算术》主要数学方法的产生时代，只能是战国或更早的时代，或最多延续到秦代，而不会是汉代；法家对数学的影响也主要发生在先秦或秦代而不是前人所说的汉代。刘徽的说法，确实是有根据的。

从数学发展的角度看，说《九章》的主要方法产生于先秦也是合理的。数学在西周时已成为贵族子弟学习的一门课程（按《周礼》的说法叫做“九数”），当时至少已积累了基于十进位置值制记数法和整数四则运算的一批数学方法。春秋时代已大量使用分数，基于“九九”表和算筹的四则运算已经普及，《左传》中记载的几次工程，实际要用到类似《九章》中衰分、商功、均输、勾股等章的数学方法（可能是要低级些，笔者另有论述），《周髀算经》载陈子（在春秋末季或战国初年）答荣方问所说“此皆算术之所及也”的“算术”，大概有书可依（有人甚至以为指《九章》，虽无证据，但先秦可能真存在一本有古老渊源的书为《九章》所宗）。因此战国以前中国数学已经积累了进一步发展的基础。战国时代，墨家和名家对逻辑推理规范的研究和对一些数学或与有数学有关的概念及命题的认识，反映出战国时代具备创造《九章》数学方法所需要的逻辑推理水平。因此，先秦时代产生《九章》数学方法的数理条件也已具备。近期发表的编成早于公元前186 年的《算数书》是一本取材于多种著作的撮编之书，虽然和《九章算术》没有直接的文本影响关系，但其中所反映的在西汉初年甚至更早时代流传的数学知识，说明把《九章》数学方法的产生时代返推到先秦是可行的[35]。考虑到《算数书》的撮编性质，它所取材的书会更早，其中必有超过该书的其他内容，所以先秦数学所取得的成就确实是不应低估的。

总之，结合数学发展的原始积累、所需要的数理条件、社会经济背景和需要、刘徽的记载以及出土《算数书》的性质与内容等多方面看，《九章》主要数学方法确实是应产生于先秦的。这里，睡虎地秦简为我们确认《九章》中一些典型的数学方法特别是部分复杂的数学方法出于先秦提供了坚实的时间标尺。不仅如此，秦简还为我们研究先秦科学技术与当时社会背景和文化思潮的关系提供了新的视野，值得我们多加重视。

下一节我们一起去了解《中国数学的发展历程》。