2023年甘肃省高考理科数学真题及参考答案

2024年4月11日发(作者：月考数学试卷分析作文)

2023年甘肃省高考理科数学真题及参考答案

一、选择题

1.设

z



2



i

，则

z

（

25

1



i



i

B

.

12i

）

A

.

12iC

.

2i

D

.

2i

2.设集合

UR

，集合

Mxx1

，

Nx1x2

，则

xx2

（



）

A

.

C

U



M



N



B

.

NC

U

M

C

.

C

U



MN



D

.

MC

U

N

3.

如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为

1

，则该零件的表面积

为（）

A

.

24B

.

26C

.

28

D

.

30

xe

x

4.已知

f



x





ax

是偶函数，则

a

（

e

1

A

.

2B

.

1

C

.

1

）

D

.

2

5.设

O

为平面坐标系的坐标原点，在区域



x

,

y



1

xy

4

内随机取一点，记该点为

A

，

22



则直线

OA

的倾斜角不大于

A

.

1

8

B

.

1

6



的概率为（）

4

11

D

.

C

.

42



2







2





，



单调递增，直线

x

和

x

为函数

63

63



）

6.已知函数

f



x



sin





x





在区间





5





yf



x



的图象的两条对称轴，则

f









（



12



A

.



3

2

B

.



1

2

C

.

1

2

D

.

3

2

则这两人选读的课外读物中恰有

1

种相同

7.

甲乙两位同学从

6

种课外读物中各自选读

2

种，

的选法共有（）

A

.

30

种

B

.

60

种

C

.

120

种

1

D

.

240

种

8.

已知圆锥

PO

的底面半径为

3

，

O

为底面圆心，

PA，PB

为圆锥的母线，

AOB120

，

若

PAB

的面积等于

93

，则该圆锥的体积为（

4

C

.

3



）

A

.



B

.

6



D

.

36



9.已知

ABC

为等腰直角三角形，若二面角

CABD

AB

为斜边，

ABD

为等边三角形，

为150°，则直线

CD

与平面

ABC

所成角的正切值为（）

A

.

1

5

B

.

2

5

C

.

3

5

D

.

2

5

10.已知等差数列



a

n



的公差为

A

.

1B

.



1

2

2

2





，集合

S

cos

a

n

nN

，若

S



a,b



，则

ab

（

3

1

D

.

C

.

0

2



）

y

2

11.已知

A,B

是双曲线

x



1

上两点，则可以作为

A,B

中点的是（

9

A

.



1,1



2

）

B

.



1,2



2

C

.



1,3



D

.



1,4



12.已知圆

O：xy

1

，

OP2

，过点

P

作直线

l

1

与圆

O

相切于点

A

，作直线

l

2

交

）圆

O

于

B,C

两点，

BC

中点为

D

，则

PAPD

的最大值为（

A

.

12

2

B

.

122

2

C

.

12

D

.

22

二、填空题

13.已知点

A1，5

在抛物线

C

：

y



2px

上，则

A

到

C

的准线的距离为



2

.



x



3

y



1



14.若

x,y

满足约束条件



x



2

y



9

，则

z2xy

的最大值为



3

x



y



7



15.已知



a

n



为等比数列，

a

2

a

4

a

5

a

3

a

6

，

a

9

a

10



8

，则

a

7



.

.

16.已知

f



x



a



1a



，

a



0,1



，若

f



x



在



0，



为增函数，则实数

a

的取值范

x

x

围为

.

2

三、解答题

（一）必做题

17.

某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行

10

次配对试验，每次配对试

验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，

测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为

x

i

,y

i



i1,2,10



，试验结果如下

试验序号

i

伸缩率

x

i

伸缩率

y

i

1

545

536

2

533

527

3

551

543

4

522

530

5

575

560

6

544

533

7

541

522

8

568

550

9

596

576

2

10

548

536

记

z

i

x

i

y

i



i1,2,10



，记

z

1

,z

2

z

10

的样本平均数为

z

，样本方差为

s

，

（

1

）求

z

，

s

；

（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显

2

s

2

著提高（如果

z

2

，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡

10

胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

18.在

ABC

中，

BAC120

，

AB2

，

AC1

.

（1）求

sinABC

；

（2）若

D

为

BC

上一点，且

BAD90

，求

ADC

的面积.

19.如图，在三棱锥

PABC

中，

ABBC

，

AB2

，

BC22

，

PBPC6

，

BP,AP,BC

的中点分别为

D,E,O

，

AD5DO

，点

F

在

AC

上，

BFAO

.

（1）证明：

EF

∥平面

ADO

；

（2）证明：平面

ADO

⊥平面

BEF

；

（3）求二面角

DAOC

的正弦值.

3

5

y

2

x

2

，点

A



2，

20.

已知椭圆

C

：

2



2



1



ab

0



的离心率为

0



在

C

上

.

3

ab

（1）求

C

的方程；

（2）过点



2,3



的直线交曲线

C

于

P,Q

两点，直线

AP,AQ

交

y

轴于

M,N

两点，求证：

线段

MN

中点为定点.

21.已知函数

f



x









1



a



ln



x

1



.



x



（1）当

a1

时，求曲线

f



x



在



1,f



1



的切线方程；

（2）是否存在实数

a,b

使得曲线

y



f



如果不存在，请说明理由；

（3）若

f



x



在



0，



存在极值，求

a

的取值范围.

（二）选做题

【选修

4-4

】

22.在直角坐标系

xOy

中，以坐标原点

O

为极点，

x

轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C

1



1





关于直线

xb

对称，若存在，求出

a,b

的值；



x





x



2cos









的极坐标方程为





2sin













，曲线

C

2

：



（



为参数，

y



2sin



42















）.

2

（1）写出

C

1

的直角坐标方程；

（2）若直线

yxm

既与

C

1

没有公共点，也与

C

2

没有公共点，求

m

的取值范围.

【选修

4-5

】

23.已知

f



x



2xx2

.

（1）求不等式

f



x



6x

的解集；



f



x





y

（2）在直角坐标系

xOy

中，求不等式组



所确定的平面区域的面积.

x



y



6



0



4

参考答案

一、选择题

1

B

2

A

3

D

4

D

5

C

6

D

7

C

8

B

9

C

10

B

11

D

12

A

1.

解：

z



2



i

2



ii



2



i



2

i



1



1



2i

，则

z12i

252

1



1



i



1

1



i



ii

2.解：由题意可得

MNxx2

，则

C

U



MN





xx2

.





3.

解：如图所示，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

ABBC2

，

AA

1



3

，点

H,I,J,K

为所在棱上靠近点

B

1

,C

1

,D

1

,A

1

的三等

分点，

O,L,M,N

为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为

长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

去掉长方体

ONIC

1

LMHB

1

之后所

得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.

xe

x

4.解：∵

f



x





ax

是偶函数，则

e

1



xe

x



x



e



x

xe

x



e



a



1



x





ax



0

，

f



x



f



x





axax

e



1

e



1

e



1

又∵

x

不恒为

0

，可得

e



e

x





a

1



x



0

，则

x



a1



x

，∴

a2

.

5.解：∵区域



x

,

y



1

xy

4

表示以

O



0，0



为圆心，

22



外圆半径

R2

，内圆半径

r1

的圆环，则直线

OA

的



的部分如阴影所示，在第一象限对应的

4



圆心角

MON

，结合对称性可得所求概率为

4



2



4



1

.

p



2



4

倾斜角不大于

6.解：∵

f



x



sin





x





在区间



则

T



，









2



，



63

T

2





单调递增，∴



，且



0

，



2362



2



2

.

T

5

当

x



时，

f



x



取得最小值，则

2







2

k



,kZ

，

662

5





5





,kZ

，不妨取

k0

则

f



x





sin



2

x





，

6



6



则





2

k





则

f





3



5





5





.





sin









2



12



3



1

7.解：有1本相同的读物，共有

C

6

种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有

A

5

种，

根据分布乘法公式则共有

C

6

A

5



120

种.

12

2

AOB120

，在

AOB

中，而

OAOB

8.

解：

取

AC

中点

C

，连接

OC,PC

，有

OCAB

，

3

，

PCAB

，如图，

ABO30

，

OC

3

，

AB2BC3

，

2

由

PAB

的面积为

9319333

得



3

PC

，解得

PC

，

4242

22



33



3



22



于是

POPCOC





2







2



6

，



2

11

2

∴圆锥的体积

V



OAPO



366



.

33



9.解：取

AB

的中点

E

，连接

CE,DE

，∵

ABC

为等腰直角三角形，

AB

为斜边，则有

CEAB

，又

ABD

为等边三角形，则

DEAB

，从而

CED

为二面角

CABD

的平面角，即

CED150

，

显然

CEDEE

，

CE,DE

平面

CDE

，

又

AB

平面

ABC

，因此平面

CDE

⊥平面

ABC

，

显然平面

CDE

∩平面

ABCCE

，

直线

CD

平面

CDE

，则直线

CD

在平面

ABC

内的射影为直线

CE

，

从而

DCE

为直线

CD

与平面

ABC

所成的角，令

AB2

，则

CE1

，

DE3

，

6

在

CDE

中，由余弦定理得：



3





CDCE

2

DE

2



2

CEDE

cos

CED

1



3



2



1



3









2





7

，



由正弦定理得

DECD



，即

sin

DCE

sin

DCE

sin

CED

3sin150



7

2



3

27

，



3



5

2





显然

DCE

是锐角，

cos

DCE

1



sin

DCE

1





，



27



27



∴直线

CD

与平面

ABC

所成角的正切值为

3

.

5

2



2



2







n





a

1



333







，



10.解：依题意，等差数列



a

n



中，

a

n



a

1





n



1





显然函数

y



cosa

n



cos





2



2





n





a

1



3





3













的周期为3，而

nN

，即

cosa

n

最多有





3个不同取值，又

cos

a

n

n



N







a

,

b



，

而在

cosa

1

,cosa

2

,cosa

3

中，

cosa

1

cosa

2

cosa

3

或

cosa

1

cosa

2

cosa

3

，

于是有

cos





cos











2





2









即有











解得



k



,kZ



，



2k



,kZ

，

3



3



3















4











1



2

ab

cos



k







cos





k









cos

k





cos

k





cos

k



cos





3







3



3



3



32





11.解：由对称性只需考虑



1,1



，



1,2



，



1,3



，



1,4



即可，注意到



1,3



在渐近线上，



1,1



，



1,2



在渐近线一侧，



1,4



在渐近线的另一侧.下证明



1,4



点可以作为

AB

的中点.

设直线

AB

的斜率为

k

，显然

k

存在.



y



k



x



1





4



设

l

AB

：yk



x1



4

，直线与双曲线联立



2

y

2

，



1



x



9



整理得

9k

只需满足





2



x

2

2k



4k



x



4k



90

，

2



x

1



x

2



2

2

k



4



k



9

，∴，解得，此时满足

0

.



2

k

2

4

9



k





0

7

12.解：如图所示，

OA1

，

OP2

，则由题意可知：

22

由勾股定理可得

PAOPOA1

，

APO45

，

当点

A,D

位于直线

PO

异侧时，

设

OPC



，

0









，

4





则：

PAPDPAPD

cos

















1



2cos



cos







4



4





2



21



cos2



1

2





2cos





cos





sin







cos





sin



cos



sin2





2222





12









sin



2







224



∵

0









，则



2





，∴当

2





时，

PAPD

有最大值1.

444444



，

4





当点

A,D

位于直线

PO

同侧时，

设

OPC



，

0







则：

PAPDPAPD

cos



















1



2cos



cos









4



4





2



21



cos2



1





cos

2





sin



cos





2cos





cos





sin



sin2





2



222





12









sin



2







224



∵

0







∴当

2





二、填空题



，则



2





，

4442

12





时，

PAPD

有最大值为

.

422

9

13.

；

4

14.

8

；15.

2

；

2



5



1



,1



16.







2



13.解：由题意可得：



5





2

p

1

，则

2p5

，∴抛物线的方程为

y

2

5x

，

8