2019年勤学早数学中考在线

2023年12月25日发(作者：2023年职教高考数学试卷答案)

勤学早中考在线

第一部分 数与代数

第一章 数与式

中考聚焦

考点解读

本章主要涉及数与式的考点，重在实数的运算，整式及分式的运算，规律探索等问题，试题难度不大，多属基础题。

考点扫描

考点一 实数的意义及大小比较

1．（2019武汉）实数2的值在（ B ）

A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间

2（2019潍坊）在2，﹣1，﹣3，0这四个实数中，最小的是（ C ）

A．2 B．﹣1 C．﹣3 D．0

考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数

3．（2019黄冈）－2的相反数是（ A ）

A． 2 B． －2 C．－11 D．

224．（2019宜宾）－5的绝对值是（

B ）

11 B. 5 C. － D. －5

5515．（2019黄石）的倒数是（ B ）

2A.

A．1 B．2

2C．－2 D．－1

2考点三 近似数与科学计数法

6．（2019武汉）某市2019年初中毕业生人数约为63 000，数63 000用科学记数法表示为___6.3×104___

7．（2019随州）2019年“圣地车都”----随州改装车的总产值为14.966亿元，其中14.966亿元用科学计数法表示1

为 元．1.4966×109

考点四 整式及其运算

8．（2019武汉）下列计算中正确的是（ B ）

A．a·a

2＝a

2 B．2a·a＝2 a 2 C．（2a 2）2＝2a4 D．6a 8÷3 a 2＝2a 4·

9．（2019武汉）运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ C ）

A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9

10．（2019荆州）下列运算正确的是（ B ）

A．m6÷m2＝m3 B．3m2－2m2＝m2 C．（3m2）3＝9m6 D．1m·2m2＝m2

2考点五 分式及其运算

11.（2019武汉）若代数式在A．x＜3

1实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ C ）

x3C．x≠3 D．x＝3

2a3a112．（2019黄石）先化简，再求值：a3a÷2·，其中a＝2019．

2a1aaa1B．x＞3

解：原式＝a1a(a3)(a1)(a1)a1··＝（a－1）·＝a＋1.

a(a1)a3a1a1当a＝2019时，原式＝2007．

考点六 根式及其运算

x1有意义，则x的取值范围是( C )

2A．x＞1 B．x＞－1 C．x≥1 D．x≥－1

14.（2019咸宁）下列运算正确的是( D )

13．（2019荆门）要使式子 A．6－3＝3 B．（-3）＝－3 C． a·a2＝a2 D． (2a2)

2＝4a4

2考点七 实数的运算

15．（2019黄石）计算：（－1）2019＋2sin60°－|－3|＋π0．

解：原式＝1＋2×3－3＋1＝1＋3－3＋1＝2．

2考点八 规律探究

（一）图形规律

16．（2019武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）

A．5 B．6 C．7 D．8

17．（2017武汉四调）如图，2×5的正方形网格中，用5张1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖方法有（ C ）

A．3种 B．2种 C．8种 D．13种

2

18．（2018武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数（ B ）

A．31 B．46 C．51 D．66

（二）自定义规律

19．（2018武汉四调）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：

十六进制

0

十进制

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

A B C D E F

10 11 12 13 14 15

例如，用十六进制表示：C＋F＝1B，19－F＝A，18÷4＝6，则A×B＝( B )

A．72 B．6E C．5F D．B0

20．（2019武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3= 10 ．

（三）数式规律

1121．（2019武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1＝，an＝（n为不小于2的整数），则a4的值为1an12（ A ）

A．58138B．C．D．

8

5

8

13

第一节 数与式

微专题1 实数的意义及大小比较

典例精讲

【例1】（2019荆州）比0小1的有理数是（ A ）

A．－1 B．1 C．0 D．2

【例2】（2019泰州）下列4个数：9，22，π，(3)2，其中无理数是（ C ）

7

3

A．9 B．22 C．π D．(3)2

7【例3】（2019武汉四调）实数3的值是（ C ）

A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间

典例精练

考点一 实数的意义

1．（2019咸宁）冰箱冷藏室的温度零上5℃，记作+5℃，保鲜室的温度零下7℃，记作( B )

A．7℃ B．－7℃ C．2℃ D．－12℃

考点二 实数的分类

2．下列各数不是负数的是（ B ）

A．－2 B．3 C．－3．下列各数是无理数的是（ C ）

A.

4 B．－5 D．－0.10

81 C．π D．－1

3考点三 平方根与立方根

4．（2019黄冈）9的平方根是（ C ）

A. ±3 B．±1 C．3 D．－3

35．64的立方根是（ A ）

A． 4 B． ±4 C．8 D．±8

6．（2019毕节）38的算术平方根是（ C ）

A. 2 B．±2 C．2 D．±2

考点四 实数大小的比较

7．下面实数比较大小正确的是（ B ）

A．3＞7 B．3＞2 C．0＜－2 D．22＜3

8．已知a＝235，b＝，c＝，则下列大小关系正确的是（ A ）

235A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b

9．（2019贵州）估计6＋1的值是（ B ）

A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间

10．判断22－1的值介于下列哪两个整数之间（ C ）

4

A．3，4 B．4，5 C．5，6 D．6，7

微专题2 数轴、相反数、绝对值、倒数

典例精讲

【例1】如图数轴上的A、B、C、D四点中，与表示数-3的点最接近的是（ B ）

ABC01D23

–3–2–1A.点A B.点B C.点C D.点D

【例2】3的倒数是_______，333的相反数是_______，-3

3的绝对值是_______；3

典例精练

1.（2019襄阳）-3的相反数是（ A ）

A. 3 B. -3 C.

2.11 D.

－

331的相反数是（ D ）

211 D.

－

22A. 2 B. -2 C.

3.下列各对数是互为倒数的是（ C ）

A. 4和－4 B. －3和4.-2的绝对值是（ A ）

A. 2 B. -2 C.

11 C.-2和－ D.

0和0

3211 D.

－

225.下列说法正确的是（ D ）

A.

-2=-2 B.0的倒数是0 C.4的平方根是2 D.-3的相反数是3

6.已知一个数的绝对值是4，则这个数是_______.4或-4

7.倒数等于本身的数是_______.±1，相反数等于本身的数是_______.0 ，绝对值等于本身的数是_______. 非负数，算术平方根等于本身的数是_______.0、1 ，立方根等于本身的数是_______.0，±1

8.

2－1的相反数是_______；1－2

|3－π|=_______.π－3

9.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上的对应点分别为M，N，P，Q，若n＋p＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（A）

PNMQ

A．p B．q C．m D．n

10.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确结论是（ D ）

a–3–2–15

b0123

A.a＞－2 B.a＜-3 C. a＞- b D.a＜-b

11.如图数轴的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，若|a－b|＝3，|b－c|＝5，且原点O与A，B的距离分别为4，1，则关于O的位置，下列叙述正确的是（ C ）

ABC

12. 已知实数，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ D ）

a–2–101b2

A.a·b＞0 B.a＋b＜0 C. |a|＜|b| D.a-b＞0

微专题3 近似数与科学记数法

典例精讲

【例1】（2019武汉4调）2019年全国两会在3月3日开幕，引起了传媒的极大关注.某网络平台在3月1日至8日，共检测到两会对于民生问题相关信息约290000条，数290000用科学记数法表示为____________.2.9×105

【例2】（2019齐齐哈尔）某种电子元件的面积大约为0.000 000 69平方毫米，将0.000 000 69这个数用科学记数法表示为 . 6.9×107

典例精练

考点一 用科学记数法表示绝对值大于1的数

1.用科学记数法表示-316 000 000为（ B ）

A.-3.16×107

B.-3.16×108

C.-31.6×107 D.-31.6×108

2.（2019德州）2019第一季度，我市“蓝天白云，繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元，408万万用科学记数法表示为（ D ）

A.408×104 B. 4.08×104 C. 4.08×105 D. 4.08×106

3. （2019潍坊）近日，记者从潍坊市统计局获悉，2019年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为（精确到百亿位）(B )

A．1.2×1011 B．1.3×1011 C．1.26×1011 D．0.13×1012

4.2018年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为（ C ）

A.0.6×1013

B.60×1011 C.6×1012 D.6×1013

5.（2018黄石）国家统计局数据显示，截至2018年末全国商品房待售面积约为62200万平方米，该数据用科学记数法可表示为（ C ）

A．6.22×104 B．6.22×107 C．6.22×108 D．6.22×109

6. （ 2019安顺）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，这个数用科学记数法表示为（ B ）

A．44108 B．4.4109 C．4.4108 D．4.41010

7.某市2017年底机动车的数量是2×106辆，2018年新增3×105辆用科学记数法表示该市2018年底机动车的数量是（ C ）

A．2.3×105辆 B．3.2×105辆 C．2.3×106辆 D．3.2×106辆

8.近似数8.6×105精确到____________位.万

考点二 用科学记数法表示绝对值小于1的数

9.（2019宜宾）科学家在实验中检测出某微生物细胞直径约为0.0000035米，将0.0000035用科学记数法表示为（ A ）

A.3.5×10-6

B.3.5×106

C.3.5×10-5

D.35×10-5

6

10.全球可被人类利用的淡水总量约占地球上总水量的0.00003.其中数字0.00003用科学记数法表示为（ D ）

A.0.3×10-4 B.3×10-3 C.0.3×10-6

D.3×10-5

11.将-6.18×10-3化为小数是（ B ）

A．-0.000618 B.-0.00618 C.-0.0618 D.-0.618

空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境空气质量标准》增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示0.0000025为____________.2.5×10-6

微专题4 实数的运算

典例精讲

1-1 【例1】（2019荆州）|－2|＋9×－4×1－(π－1)0

（）22 解：原式＝2＋3×2－2×2－1＝2＋6－2－1＝5.

2【例2】（2019荆门）4分)计算：|1－3|＋3tan30°－(3－5)0－(－)1．

－13解：原式＝3－1＋3×3－1＋3

3＝3－1＋3－1＋3

＝23＋1．

典例精练

考点一 实数的基本计算

1.计算：

（1）（2018宜昌）|－2|＋30－(－6) ×(－解：原式=2+1-3=0.

（2）（2018咸宁）|1－2|＋8＋（－2）0;

解：原式=2－1＋22＋1＝32.

（3）（2018珠海）解：原式=2＋1-(2-（4）(4＋2019-|01)；

23-2|＋1

3)＋1=3-2＋3＋1=2＋3.

1-2)-(-1) 2019-25＋(π-1) 0

3解：原式=9-1-5＋1=4.

考点二 实数与特殊角的三角函数值的混合运算

2.计算：

（1）|－1|－(3)0＋2cos60°

1解：原式=1-1+2×=1

21（2）()＋|1-3|-27tan30°

4解：原式=4＋3-1-33×3=3＋3-3=3.

37

（3）(2019随州）计算：-|-1|＋12·cos30°-(-1-2)＋(π-3.14)0

2解：原式=-1＋2（4）计算：|-3|＋3×3-4+1=-1+3-4+1=-1.

22)-1

313·tan30°-8-(2019-π)0＋(解：原式=3＋3×3-2-1＋2=3＋1-2-1＋2=3.

3第2节整式、分式、根式及其运算

微专题5 因式分解

典例精讲

【例1】因式分解：ax-ay=_______________

【答案】a(x-y)

【例2l(2019江西)分解因式：ax2 -a y2=_________________

【答案】a(x+y)(x-y)

【例3】把多项式ax2 +2a2x+a3分解因式的结果是_____________

【答案】a(x+a)2

典例精练

1．下列四个多项式，能因式分解的是(

A．a-1 B．a2 +1

【答案】D.

2.分解因式：3x2-x=_____________.

【答案】x(3x-1)

3．因式分解：a2-6a+9=____________.

【答案】(a-3)2

4．分解因式：a3 -16a=___________

【答案】a(a+4)(a-4)

5．(2019宜宾)分解因式：ab4 -4ab3 +4ab2=____________

【答案】ab2(b-2)2

8

)

C. x2-4y D.x2-6x+9

6．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=( )

A．4 B．3 C．12

【答案】C

7．把多项式2x2 -8分解因式，结果正确的是( )

A. 2 (x2 -8) B. 2(x- 2)2 C. 2 ( x+2) (x-2)

【答案】C

8．分解因式ab2 -6ab十9a的最终结果是( )

A.a(b-3) B. a(b2—6b+9)

【答案】C

9．把8a3—8a2 +2a进行因式分解，结果正确的是(

A. 2a (4a2 - 4a+l) B.8a2 (a-l)

【答案】C

10.分解因式：a2-2a+l=_____________

【答案】(a-1)2

11.因式分解：3a2-3b2=____________

【答案】3(a+b)(a-b)

12.分解因式：(a-b)2 - 4b2=___________.

【答案】(a+b)(a-3b)

13.分解因式(a-b) (a-4b) +ab的结果是____________.

【答案】(a-2b)2

14.分解因式3m4 -48=__________.

【答案】3(m2+4)(m+2)(m-2).

15.若x2-4x+5= (x-2)2+m，则m=___

【答案】1

16,把多项式x2 +ax+b分解因式，得(x+l) (x-3)则a,6的值分别是( )

A.a=2,b=3 B. a= -2,b=-3 C.a= -2,b=3 D.a=2,b= -3

【答案】B

17.已知a+b=2在，求代数式(a-l)2

+b(2a+b) +2a的值．

【答案】解:当a+b=2时,原式=a2-2a+1+2ab+b2+2a=a2+2ab+b2+1=(a+b)2+1=(2)2+1=-3

C.2a(2a-1)2

)

D.2a(2a+1)2

C.a(b-3)2 D.(ab-3)2

D.2x(x- D.1

4)

x9

微专题6 整式及其运算

典例精讲

【例1】（2019武汉四调）下列计算正确的是( )

A. 3x2-2x2=1 B.x+x=x2 C.4x8÷2x2=2x4

【答案】D 【例2]（2019武汉四调）运用乘法公式计算(a-3)2的结果是( )

A. a2-6a+9 B.a2-3a+9 C.a2-9

【答案】A

【例3】若-x3 ya与xby是同类项，则a+b的值为( )

A.2 B．3 C．4 D.5

D.a2-6a-9

=x2

【答案】C

【例4]若2x-3y-l=0，则5-4x+6y的值为 ___________.

【答案】3

【例5】先化简，再求值：(x+1)2-x(2-x），其中x=2．

【答案】原式=x2+2x+1-2x+x2=2x2+1,当x=2时,原式=8+1=9

典例精练

1．下列运算中，正确的是( )

A. 3a+2ab=5ab B.2a3 +3a2=5a5 C.3a2 b- 3ba2 =0 D.5a2-4a2 =1

【答案】C

2．下列运算正确的是( )

A.x4+x4=2x8 B.(x2)3=x5 C.(x-y)2 =x2-y2

【答案】D

3．计算以aga5 - (2a3)2的结果为( )

A. a6-2a5 B.-a6 C.a6—4a5 D.- 3a6

【答案】D

4．计算(2x2 -4) (2x -l-D. x3gx =x4

3x)的结果是( )

2 A. -x2 +2 B.x3 +4 C.x3-4x+4 D.x3-2x2-2x+4

【答案】D

5．下列计算正确的是( )

10

A. (x+y)2=x2+y2 B.(x- y)2 =x2 -2xy- y2 C.(x+1)(x-1)=x2 -1 D.（x-1)2=x2-1

【答案】C

6．计算(x- y)2 -x(x-2y)=___________．

【答案】y2

7．若mn=m+3,则2mn+3m-5nm+10=_________.

【答案】1

8．已知x2+x-5=0，则代数式(x-1)2-x(x-3)+(x+2)(x-2)的值为__________．

【答案】2

9.已知4x=3y，求代数式(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2的值．

【答案】(x-2y)2-(x-y)(x+y)-2y2=x2-4xy+4y2-(x2-y2)-2y2=-4xy+3y2=-y(4x-3y),∵4x=3y,∴原式=0

110．先化简，再求值：(2a)(2a)+a(a5b)+3a5b3(a2b)2，其中以ab.

21【答案】原式=4a2a25ab3ab=42ab,当ab时,原式=4+1=5.

211.已知2a23a60,求代数式3a(2a1)-(2a1)(2a1)的值.

【答案】解:原式=2a23a1617

微专题7 分式及其运算

典例精讲

【例1】（2019武汉四调）分式1有意义，则x的取值范围是( )

x2A．x>2 B．x=2 C．x≠2 D．x<2

【答案】C

【例2】当x=______时，分式【答案】-1

【例3】先化简，再求值：（【答案】解:原式=典例精练

x1的值为0．

x2a2a22）÷，其中a21．

a1a1a1332

a121可变形为( )

1x1111A． B． C． C． D．

1x1x1xx11．分式11

【答案】A

2. (2019滨州)下列分式中，最简分式是( )

x1x21x236x22xyy2A．2 B．2 C． D．

x12x12x1x2xy【答案】A

m2n23．化简的结果是( )

mnnm A.m+n B.n-m C.m-n D.-m-n

【答案】A

1x1，再从1,2,3三个数中选一个合适的数作为x的值，代入求值．

)2x2x4x4x1(x2)2x21x1【答案】解:原式===x2,取x3,原式=3-2=1

g2x2(x2)x2x14．先化简(1abaa2b25．先化简，再求值：2，其中a13，b13.

g2a2abbabab 【答案】解:原式=

6．先化简，再求值：

b33

ab6x1xx21

(2,其中x的值从不等式组的整数解中选取.

1)22x14xxx2x1x1xxx15xx2xx1【答案】解:原式===解不等式组得,1x

ggx1x11x2x(x1)x12x14当x2时,原式=22

123x24x47．（2019随州）先化简，再求值：(，其中x22．

x1)x1x13(x1)(x1)2x(x2)(x2)x1x1【答案】解:原式=[==,当x22时,

]gg22x1(x2)(x2)x1x1x2原式=222=42221

2222微专题8 根式及其运算

典例精讲

【例1】式子x1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )

A.x> -1 B.x≥1 C.x≥-1 D.x>l

12

【答案】B

【例2]下列各式计算正确的是( )

A．235 B．43331 C．233363 D．2733

【答案】D

【例3】化简求值：3x34xx12，其中x18．

343x【答案】原式=3x典例精练

155153x23x=3x318=6

2222考点一 二次根式的意义及有关概念，性质

1．在函数yx3中，自变量x的取值范围是( )

x4 A．x>3 B．x≥3 C.x>4

【答案】D

2．若D.x3且x4

x3在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

x1 A.x≥3 B.x≤3且x≠1

【答案】A

C.1x3 D.x1且x3

3．（2019临夏州）下列根式中是最简二次根式的是(

A．2

3 B．3 C.

9 D.

12

【答案】B

4．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是(

A．18

【答案】B

考点二 二次根式的运算

5．（2019南充）下列计算正确的是(

A．1223

【答案】A.

6．计算：(1)1821___________; (2)计算:61(31)2________.

23)

B.1

3C.

24 D.

0.3

)

D.

x2x B.33

22C.x3xx

【答案】(1)22 (2)-4

13

27．若x

【答案】xy

8．计算：(1)(27112)3

3 (2)(23)(32)2

(3 )6xx24

6x (4)(x9x5y23xy1)(xx2)

yxx【答案】(1)42 (2) (3)36x

23(4)xx6xy

第3节猜想、规律探索

微专题9 图形规律（一）中考新动向

典例精讲

【例】如图，在四边形OAPB中，∠AOB =120º，OP平分∠AOB，且OP=2．若点

M，N分别在直线OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN

有( )个

A.1个 B。2个 C．3个 D．3个以上

【答案】D

典例精练

1．如图，已知A(0，4)，B(4，O)，C(l，0)，点D，E分别是线段OA，AB上的动点,若△CDE是等腰直角三角形

，则满足条件的等腰直角△CDE有( )个.

A.3 B．4 C. 5

【答案】A

D.6

14

2．如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由

点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形，图中以A，B为顶点，面积为2的阵点平行四边

形的个数为( )

A.3个 B．6个 C．7个 D．9个

【答案】D

3．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片

(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则满足条件的等腰三角形AEP的个数是( )

A.3 B．4 C. 5 D．6

【答案】A

4．如图，已知点A(l，2)，B(1，-2），点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P的

个数是( )

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

5.在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要

求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有( )种。

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】 C

6．如图所示的3×3的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格

15

点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为( )

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】C

微专题10 图形规律（二）

典例精讲

【例1】（2019荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，

若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )

第1个 第2个 第3个

A. 671 B. 672 C. 673 D. 674

【答案】B

典例精练

考点一 图形与个数规律

1．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2019根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个，那么能连续搭建正三角形的个数是( )

A. 222 B．280 C．286 D．292

【答案】D

2．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有_____________个太阳．

【答案】21

3．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成．第(1)个图案有4个三角形，

第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，……，依此规律，第卵个图案有_______个三角

16

形（用含n的代数式袁示）．

【答案】3n+1

4．如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行

有23个点，……，按此规律，第n行有____________个点.

【答案】3g2n11

考点二 图形与坐标规律

5．正方形A1B1C1O，A2B2C2C， A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=kx+6（k>0）和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则Bn的坐标是____________.

【答案】(2n1,2n1)

6．如图，等边三角形的顶点A(l，1)，B(3，1)，规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次

变换，如果这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为__________.

【答案】(2014,31)

微专题11 新定义运算规律

典例精讲

【例】把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，17

21，23，25，27，29，31)，···，现有等式Am＝(i，j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2018＝（ B ）

A．(31，50) B．(32，47) C．(33，46) D．(34，42 )

典题精练

1．一列数a1，a2，a3，···，其中a1＝18，an＝1(a≥2且n为整数)，则a5＝ ．

2131an12．定义：a是不为1的有理数，我们把111称为a的差倒数．如：2的差倒数是＝－1，－1的差倒数是．．．1(1)1a12＝11，已知a1＝－，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，······，依此类推，则a100＝ －321 ．

2

3．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝2，f（4）＝3，···；（2）f（11111）＝2，f（）＝3，f（）＝4，f（）＝5，···；利用以上规律计算：f()－f(2018)＝ 1 ．

35242015

4．对于两个不想等的实数，a，b，我们规定符号max︱a，b︱表示a，b中较大的数，如max︱2，4︱＝4，按2x1的解为（ D ）．

xA．1－2 B．2－2 C．1－2或1＋2 D．1＋2或－1

照则个规定，方程max︱x，－x︱＝5．定义运算maxa，b：当a≥b时，maxa，b＝a；当a＜b时，maxa，b＝b，如max-3，2＝2．

（1）max（2）max7，3＝ 3 ；2x1，x2的值为 2x＋1或x－2 ．

6．定义：给定关于x的函数y，对于该函数图象上任意两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1＜x2时，都有y1＜y2，称该函数为增函数．根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有 ①③ ．（填上所有正确答案的序号）．

①．y＝2x ②．y＝－x＋1 ③．y＝x2(x＞0) ④．y＝－

7．在平面直角坐标系中，任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．规定运算：

①AB＝(x1＋x2，y1＋y2)；（2）AB＝x1x2＋y1y2；②当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B．有下列四个命题：（1）若A(1，2)，B(2，－1)，则AB＝(3，1)，）AB＝0，（2）若AB＝BC，则A＝C；（3）若AB＝BC，则A＝C，（4）对任意点A，B，C，均有(AB)C＝A(BC)成立．其中正确命题的个数为（ C ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1

x18

微专题12 数式与数阵规律

典例精讲

【例1】古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，···，叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形记为a1，······，第n个三角形数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，···，由此推算a399＋a400＝ 160000 ．

【例2】观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，···，其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 15 ．

典题精练

考点一 等式规律

15110115＝12×，①2－＝22×，②3－＝32×，③···

8667785n1观察上述等式的规律，猜想第n个等式(用含n的式子表示)为： n－＝n2× ．

n5n52．（2019滨州）观察下列式子：1×3＋1＝22；7×9＋1＝82；25×27＋1＝262；79×81＋1＝802；···；可猜想第2019个式子为： (32019－2)×32019＋1＝(32019－1)2 ．

考点二 等差数列与等比数列规律

3．观察下列关于x的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，···，探究其规律，按照上述规律，第2018个单项式是（ C ）

A．2018x2018 B．4029x2018 C．4029x2018 D．4031x2018

1．观察下列等式：1－12345104．观察下列一组数：，，，，，···，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是 ．

35791121

考点三 平方与平方差规律

5．（2019 丹东）观察下列数据：－2，第11个数据是 －5101726，－，，－，···，它们是按一定规律排列的，依照此规律，2345122 ．

11考点四 数阵规律

6．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7···，将这列数排成下列行式：记aij为第i行第j列的数，如a23＝4，那么a87是 56 ．

10

······

－5

－11

2

6

12

－1

－3

－7

4

8

14

－9

16

······

－13

······

－15

······

7．（2019 南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2019在第 44 层．

第1层

第2层

第3层

1＋2＝3

4＋5＋6＝7＋8

9＋10＋11＋12＝13＋14＋15

19

第4层

···

16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24

第二章 方程（组）与不等式（组）

中考聚焦

考点解读

本章主要内容是解方程（组），不等式（组），以及方程（组）、不等式（组）在实际问题中的应用，试题难度小，多属基础题，中等题．

考点扫描

考点一 方程的解的定义

1．（2019 菏泽）已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝ 6 ．

3ax－a2＝0的一个根，则a的值为（ C ）

2A．－1或4 B．－1或－4 C．1或－4 D．1或4

考点二 解方程（组）

2．（2019 攀枝花）若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋xy23．（2019 武汉）解方程：5x＋2＝3(x＋2)． 4．（2019江西）解方程组：

xyy1x3解：x＝2． 解：．

y123＝． 6．（2019 益阳）解方程x2－2x－3＝0．

xx3解：x＝9 解：x1＝－1，x2＝－3．

考点三 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

7．（2019荆门）已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（ D ）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

考点四 解不等式（组）

5．（2019潜江）解方程：31x1≤7x8．（2019 随州）不等式组22的解集表示在数轴上，正确的是（ A ）

5x2＞3(x1)

2.5

A．

4

2.5

B．

4

20

2.5

C．

4

2.5

D．

4

考点五 一元一次方程的实际应用

9．（2019 黄冈）在红城中学举行的“我爱祖国”征文活动中，七年级和八年级共收到征文118篇，且七年级收到的征文篇数是八年级收到的征文篇数的一半还少2篇，求七年级收到的征文有多少篇？

解：38

考点六 分式方程的实际应用

10．（2019 随州）某校学生利用双休时间去距学校10 km的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．

解：设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，可得：101020＝＋，解得：x＝15，经检x2x60验x＝15是原方程的解，2x＝2×15＝30．

答：骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15 km，30 km．

考点七 一元二次方程的实际应用

11．（2019 巴中）随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每场降价的百分率．

解：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得：200(1－x)2＝98，解得：x1＝1.7(不合题意舍去)，x2＝0.3＝30％．答：该种药品平均每场降价的百分率是30％．

考点八 方程组的实际应用

12．（2019 自贡）某厂为了丰富大家的业余生活，组织了一次工会活动，准备一次性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相同，每本笔记本的价格相同)作为奖品．若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元，购买5支钢笔和1本笔记本共需90元．问购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元？

2x3y62x16解：设一支钢笔需要y元，一本笔记本需要y元，，解得．

5xy90y10

考点九 不等式（组）的实际应用

13．（2019 东营）东营市某学校2018年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．

（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？

（2）2019年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该21

商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10％，乙种足球售价比第一次购买时降低了10％．如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？

解：（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；

（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，则购买(50－y)个甲种足球，由题意得：50×(1＋10％)×(50－y)＋70×(1－10％)y≤2900，解得：y≤18.75，由题意知，最多可购买18个乙种足球，答：这所学校此次最多可购买18个乙种足球．

第1节 解方程（组）与不等式（组）

微专题1 解方程（组）

典例精讲

【例】解下列方程（组）

1．（2019 武汉四调）解方程：5x＋2＝2(x＋4) 2．解方程组：3xy29x8y17．

解：x＝2 解：x1y1．

3．（2019 吉林）解方程：2x3＝1x1． 4．解方程：x2－3x＋2＝0．

解：x＝5 解：x1＝1，x2＝2．

典题精练

1．方程2x＋3＝7的解是（ D ）

A．x＝5 B．x＝4 C．x＝3.5 D．x＝2

2．二元一次方程组xy52xy4的解为（ C ）

A．x1y4 B．x2y3 C．x3x4y2 D．y1

3．（2019贵州）已知关于x，y的方程x2m－n－2＋4ym＋n＋1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1 C．m＝14143，n＝－3 D．m＝－3，n＝3

4．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为（ C ）

A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15 C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15

5．方程3x－2x2＝0的解是 x＝6 ．

6．若关于x的分式方程m1x1＝2的解为非负数，则m的取值范围是（ D ）

22

A ）

A．m＞－1 B．m≥1 C．m＞－1且m≠1 D．m≥－1且m≠1

7．解下列方程（组）

1+mm1（1）解方程：＋1＝m－． （2）解方程组：1

32xy.29x，解：m＝5 解：2

y4.2xy5，

（3）解方程：x2－2x－1＝0． （4）解方程：解：x1＝1＋2，x2＝1－2 解：x＝

x2＋＝4．

x11x2

3微专题2 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系

典例精讲

【例1】关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是（ D ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

2【例2】已知一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根为x1、x2，则x1＋x1x2＋x2＝ 13 ．

2【例3】（2019雅安）已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ D ）

A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，2

典题精练

考点一 一元二次方程的根的判别式

1．已知关于x的方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 －3 ．

2．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是 a＞0 ．

13．已知关于x的方程x2－2x＋3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围 k＜ ．

34．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0．

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；

（2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．

解：（1）＝(m＋2)2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2，∵不论m为何值时，(m－2)2≥0，∴≥0，∴方程总有实数根；

2m2(m2)，x1＝，x2＝1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m＝1或2，但m＝2m2m不合题意，∴m＝1．

考点二 一元二次方程的根与系数的关系

5．（2019枣庄）已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为（ B ）

A．5 B．－1 C．2 D．－5

（2）解方程得：x＝6．设x1，x2是方程5x2－3x－2＝0的两个实数根，则311＋的值为 － ．

x2x1223

7．已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)＝0有实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围．

解：（1）根据题意得△＝(－6)2－4(2m＋1)≥0，解得m≤4；

（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3，而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．

8．关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不等实根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程两实数根x1，x2满足｜x1｜＋｜x2｜＝x1·x2，求k的值．

解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，解得：3k＞；

43（2）∵k＞，∴x1＋x2＝－(2k＋1)＜0，又∵x1·x2＝k2＋1＞0，∴x1＜0，x2＜0．

4∴｜x1｜＋｜x2｜＝－x1－x2＝－(x1＋x2)＝2k＋1，∵｜x1｜＋｜x2｜＝x1·x2，∴2k＋1＝k2＋1，∴k1＝0，k2＝2，又∵k＞3，∴k＝2．

4微专题3 解不等式（组）

典例精讲

【例1】（2019湖州）已知四个有理数a，b，x，y同时满足以下关系式：bc，xyab，yxab．请将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来是 ．yabx

【例2】（1）解不等式2(x1)13x2 （2）解不等式组：【解析】（1）x1． （2）x3．

x12

x24x1典题精练

考点一 不等式的基本性质

1．下列说法不一定成立的是（ C ）

A．若ab，则acbc B．若acbc，则ab

C．若ab，则ac2bc2 D．若ac2bc2，则ab

考点二 解一元一次不等式（组）

12．不等式x30的解集是 ．x6

23x2x43．不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ A ）

3x23-304-304-304-304

A B C D

24．解不等式：3(x)x4．

3解：去括号，得3x2x4，移项，得2x42，系数化为1，得x3．

24

①2x105．（2019荆门）解不等式组2xx3．

②2311，解②得x0，则不等式组的解集是x0．

22考点三 一元一次不等式（组）的特殊解

x12x26．不等式1的正整数解得个数是（ D ）

23A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解：解①得xx17．不等式组有3个整数解，则m的取值范围是 ．2x3

xm

第2节 方程（组）及不等式（组）的实际应用

微专题4 一次方程（组）的实际应用

典型精讲

【例】某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．A、B两种商品的单价分别是多少元？

【解析】设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，则根据题意可得：答：A、B两种商品的单价分别为16元和4元．

典题精练

1．世界读书日，某书店举办“书香”图书展，已知《汉语成语大词典》和《中华上下五千年》两本书的标价总和为150元，《汉语成语大词典》按标价的50%出售，《中华上下五千年》按标价的60%出售，小明花80元买了这两本书，求这两本书的标价各是多少元．

解：设《汉语成语大词典》的标价是x元， 《中华上下五千年》 的标价是（150—x）元．依题意得：．

50%x60%(150x)80，解得：x100，150—100＝50（元）60x30y1080x16，解得，50x20y880y4答：《汉语成语大词典》的标价是100元，《中华上下五千年》的标价是50元．

2．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？

240300解：设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据题意，得15．解这个方程，得

x2xx6．经检验，x6是所列方程的根．∴2x2612 ．答：甲、乙两种商品的单价分别为6元、12（元）元．

3．某运动员在一场篮球比赛中的技术统计如下表所示：

上场时间 出手投篮

技术

（分钟） （次） （次）

投中 罚球

得分

25

篮板

（个）

助攻

（次）

个人

总得分

数据

46 66 22 10 11 8 60

注：表中出手投篮次数和投篮次数均不包括罚球．

根据以上信息，求本场比赛中该运动员投中2分球和3分球各几个．

解：设投中2分球x个，投中3分球y个，则根据题意可得：答：本场比赛中该运动员投中2分球16个和3分球6个．

xy22x16，解得，

2x3y6010y6微专题5 不等式（组）的实际应用

典例精讲

【例】早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．

（1）求小明步行速度(单位：米/分)是多少；

（2）下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆．如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程是多少米？

900900【解析】设小明的步行速度为x米/分，根据题意，得：10解得x＝60．经检验，x＝60是原方程x3x的解．答：小明的步行速度为60米/分；

y900 （2）设小明家与图书馆之间的路程为y米，根据题意，得2，解得y≤600．

60360答：小明家与图书馆之间的路程最多是600米．

典题精练

1．某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？

解：（1）设A种商品的单价为x元，B种商品的单价为y元，则根据题意可得：答：A种商品的单价为16元， B种商品的单价为4元．

（2）设购买A商品的件数为m，则购买B商品的件数为（2m-4）件，60x30y1080x16，解得，50x20y880y4m(2m4)32，解得12m13，16m4(2m4)296又∵m为整数，所以m=12或m=13，故有如下两种方案：

方案（1）：当m=12时，2m-4=20，即购买A种商品的件数为12件，B商品的件数为20件；

方案（2）：当m=13时，2m-4=22，即购买A种商品的件数为13件，B种商品的件数为22件．

26

2．某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表：

蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角

3.6 5.4 8 4.8

批发价（元/kg）

5.4 8.4 14 7.6

零售价（元/kg）

请解答下列问题：

（1）第一天，该经营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共300kg，用去了1520元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？

（2）第二天，该经营户用1520元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于1050元，则该经营户最多能批发西红柿多少千克？

解：（1）设批发西红柿xkg，西兰花ykg，xy300x200，解得：，

3.6x8y1520y100∴200(5.43.6)100(148)960（元）．

（2）设批发西红柿akg，（5.43.6）a(148)

15203.6a

1050，a≤100．故最多能批发西红柿100kg．8微专题6 一元二次方程的应用

典例精讲

【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【解析】（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：1x去）．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；

（2）64×7=448（人）．答：第三轮将又有448人被传染．

264，解之，得x17或x29（舍典例精炼

考点一 传播问题

1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：(1x)(1x)x81，整理，得1x281，

解得x18，x210（不合题意舍去），∴x8；3轮感染后，感染的电脑有81818729700．．

答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．

考点二 循环问题

2．某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程并求其解．

解：设全班有x名同学，则每人送出（x﹣1）张相片，根据题意得x(x1)2550，所以x2x25500，

27

(x51)(x50)0，x151，x250（不合题意，舍去）

答：全班有51人．

考点三 增长率问题

3．某地2018年为做好“精准扶贫”工作，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2018年基础上增加投入1600万元．从2018年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

解：设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得12801x212801600. 解得

x10.5或x2－2.5（舍）. 答：从2018年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．

考点四 面积问题

4．如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和，若丙的一直角边长为2，且丁的面积比丙的面积小，求丁的一条直角边长．

1212解：设丁的一股长为a，且a＜2，则2a2a2a，a423，∵4232，不合题意舍，

224232，合题意，∴a423．答：丁的一条直角边长为423．

丁甲丙乙

第二部分 函数及其图象

第三章 一次函数

中考聚焦

考点解读

本内容理解函数的概念，自变量的取值范围，一次函数与方程（组）、不等式（组），一次函数在实际中的应用等知识，题型变化较大，命题新颖，应重点训练落实．

考点扫描

一、一次函数与代数问题的结合

考点一 函数的概念

1．（2019南宁）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）D

28

yyyyOxOxOxOx

A B C D

考点二 自变量的取值范围

2．（2019黄冈）在函数yx4中，自变量x的取值范围是（ D ）

xA．x0 B．x4 C．x4且x0 D．x0且x4

考点三 一次函数的图象与性质

3．（2019邵阳）一次函数yx2的图象不经过的象限是（D ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．（2019吉安）已知(x1,y1)，(x2,y2)是直线yx1上两点，若x1x2，则y1

＞

y2．

5．（2019雅安）若式子yk1(k1)0有意义，则一次函数y(1k)xk1的图象可能是（C ）

yyyOxOxOxOx

A B C D

考点四 一次函数与方程、不等式

6．（2019武汉）将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为___________

2b2b，直线y2xb沿x轴翻折得y2xb，当y2，则2xb2，得x，222b2b2b则，∵0x3 ，∴b2，x3，∴b4，∴b的取值范围是4b2．

2227．（2019东营改）如图，直线yxm与ynx4n(n0)的交点的横坐标为﹣2,．

解：∵y2xb，则x（1）关于x的方程xmnx4n的解是 ；x2

（2）关于x的不等式xmnx4n0的解集为

．4x2

29

yy=﹣x＋my＝nx+4n-2Ox

8．（2018武汉）已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4)

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求关于x的不等式kx＋3≤6的解集．

解：（1）yx3；

（2）x3．

考点五 图象信息问题

（一）行程问题

9．（2018武汉4调）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，则当乙车到达B城时，甲车离B城的距离为 km．6

y/km300甲乙O5:006:007:309:0010:00t

10．（2017武汉）设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回．设x秒后两车间的距离为y千米，y关于x的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒．20

y900D500AOB100C200220x

（二）工程及其它问题

11．（2018武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA30

和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 元．2

y/元36AB20O24x/千克

12．（2018武汉4调）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的若干分钟内既进水又出水i，之后只出不进水．每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则a＝ ．15

y/升3020O412a24x/分

二、一次函数与图形变换

考点六 一次函数与图形变换

（一）一次函数与平移

13．（2019吉林改）如图，边长为2的正方形ABCD在第一象限内，AB∥x轴，点A的坐标为（5,3），将直线y0.5x2向上平移m个单位，使平移后的直线恰好经过点A，则m的值是 ．2.5

31

yBACODx

（二）一次函数与对称

214．（2019包头）如图，直线yx4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的3中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（ ）C

35A．（﹣3，0） B．（﹣6，0） C．（，0） D．（，0）

22yBCDPOAx

3x＋6与x，y轴交于B，A两点，将△AOB沿着某直线CD折叠后如图所示，47CD与x轴交于点C，与AB交于点D，则点C的坐标是 (，0)

415．(2019辽宁)已知直线y＝－yADxO

第15题图

(三)一次函数与旋转

16．(2019咸丰)如图，直线y＝－2x＋2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后CB

B，则直线AB¢的函数解析式是 y＝0.5x－0.5 得到△AOⅱ32

yBOBxOA

第16题图

三、一次函数与几何问题的结合

考点七 一次函数与几何á

(一)一次函数与面积问题

17． (2019肥城)八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的函数解析式为( C )

339 A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x

5410ylxO

第17题图

(二)一次函数与勾股定理

18．(2019平南)如图，直线y＝－4x＋8与x轴，y轴分别交于A，B两点，点M是OB上一点，若直线AB沿3AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C处，则点M的坐标是( B )

A．(0，4) B． (0，3) C．(0，2) D．(0，2．5)

33

yBMAxCO

第18题图

(三)一次函数与全等、相似

3x＋3的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，以线段AB为边在第41一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，则过B，C两点的直线解析式是 y＝x＋3

719．(2019沈阳·一模)如图，一次函数y＝－yCBxOA

第19题图

20． (2019江阴)如图，已知A(2，0)，B(4，0)，C(0，－4)，CB平分∠ACP，则直线PC的解析式为 y＝0.5x－4

yAOBPxC

第20题图

34

第1节 一次函数基础知识

微专题1 一次函数的图象与性质

典例精讲

【例1】(2019南宁)正比例函数y＝3x的图象经过点A(1，m)，则m＝ 3

【例2】(2019湘西)一次函数y＝－2x＋3的图象不经过( C )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【例3】在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是( A )

A．将l1向右平移3个单位长度 B．将l1向右平移6个单位长度

C．将l1向上平移2个单位长度 D．将l1向上平移4个单位长度

典例精练

1．(2019云南)函数y＝1的自变量x的取值范围为( D )

x-2 A．x>2 B．x<2 C．x≤2 D．x≠2

2．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是( C )

A．y＝x2 B．y＝2x C．y＝ D．y＝x＋1

x23．写出一个经过点(1，1)的直线的解析式__y＝x__．

4．(2019河北)一次函数y＝kx＋b(k≠0)在平面直角坐标系内的图象如图所示，则k和b的取值范围是( C )

A． k>0，b>0 B．k<0，b<0 C．k<0，b>0 D． k>0，b<0

yy=kx+b(k≠0)xO

5．关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法错误的是( D )

A．点(0，k)在l上 B．l经过定点(－1，0)

C．当k>0时，y随x的增大而增大 D．l经过第一，二，三象限

6．一个正比例函数的图象经过点(2，－4)，那么它的函数解析式是 y＝－2x ．

35

7．(2019广安)一次函数y＝－3x＋6中，y随x的增大而 减小 ．

8．直线y＝2x－4与y轴的交点坐标是 (0，－4) ，与x轴的交点坐标是 (2，0) ．

9．一次函数y＝2x－6的图象与坐标轴围成三角形的面积是 9 ．

10．点(－1，y1)，(2，y2)是直线y＝2x＋1上的两点，则y1__<__y2(填“>”或“＝”或“<”)．

11．已知直线y＝(k－1)x＋(k－3)经过第一，二，三象限，则是的取值范围是 k＞3 ．

12．若直线l1与直线l2：y＝－x＋3关于x轴对称，则直线l1的解析式为_y＝x－3___．

13．若直线y＝kx＋b与直线y＝2x－5关于y轴对称，则k＋b的值为 －7 ．

14．把直线y＝－x－1沿x轴向上平移2个单位，所得直线的函数解析式为 y＝－x＋1 ．

15．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过A(0，1)，B(2，0)两点，则x＝ －4 时，y＝3．

微专题2一次函数与方程、不等式(一)基础

典例精讲

【例1】(2019镇江)直线y＝2x－1和直线y＝x＋1的交点坐标是( D )

A． (－2，3) B．(2，－3) C．(－2，－3) D．(2，3)

【例2】(2018武汉四调)已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(3，5)与(－4，－9)，则关于x的不等式kx＋b≤5的解集是 x≤3 ．

【例3】如图，经过点B(－2，0)的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2相交于点A(－1，－2)，则不等式组4x＋2

yy=kx+b(k≠0)y=4x+2(k≠0)xO

【例3】图

典例精练

1．直线y＝kx＋b的图象如图所示．

(1)关于x的不等式kx＋b≥0的解集是 x≥－1 ；

36

(2)关于x的不等式kx＋b<3的解集是 x＜0 ．

y3-1xO

第1题图

2．如图，一次函数y＝x＋b与一次函数y＝kx＋4的图象交于点P(1，3)，则关于x的不等式x＋b>kx＋4的解集是( C )

A．x>－2 B．x>0 C．x>1 D．x<1

y=kx+4yy=x+b3O1

第2题图

3．直线y＝kx＋3过点A(1，5)，直线y＝mx过点B(2，－1)，求不等式kx＋3≥mx的解集．

解：x≥－6

54．直线y＝kx＋b上有一点P1(2，1)，将点P1先向右平移1个单位，再同上平移2个单位得到点P2，点P2恰好在直线y＝kx＋b上．

(1)写出点P2的坐标； (2)求直线y＝kx＋b的解析式； (3)求不等式kx＋b≤－x＋6的解集．

解：(1)P2(3，3)

ììï2k+b=1ïk=2(2)∵点P1(2，1)，P2(3，3)在直线y＝kx＋b上，∴í，解得í，∴直线解析式为y＝2x－3．

3k+b=3b=-3ïïîî(3)解不等式2x－3≤－x＋6，得x≤3．

37

5．直线y＝kx＋b与x轴交于点B(1，0)，与y轴正半轴交于A点，求不等式组－2b

解：1≤x＜3

微专题3一次函数与方程、不等式(二)中考新动向

典例精讲

【例1】如图，有一种动画程序，屏幕上正方形区域ABCD表示黑色区域甲．已知A(1，1)，B(2，1)，C(2，2)，D(1，2)，用信号枪沿直线y＝2x＋b发射信号，当信号遇到区域甲(正方形ABCD)时，区域甲由黑变白．则b的取值范围为 －3≤b≤0 时，区域甲能由黑变白．

y21DCBA1x2O

【解析】当直线经过点B(2，1)时，b有最小值，1＝4＋b，b＝－3，当直线经过点D(1，2)时，b有最大值，2＝2＋b，b＝0，故b的取值范围为－3≤b≤0

典例精练

1．如图，在平面直角坐标系中，我们把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C．已知A(－1，0)，B(1，0)，AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上．

(1)求两条射线AE，BF所在直线的距离；

(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

yDFxAEOB

解：(1)在Rt△DOB中，由勾股定理得BD＝OB2+OD2＝2，∵AE∥BF，∴两条射线AE，BF所在直线的38

距离为2．

(2)当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b＝2或－1＜b＜1，；当一次函数y＝x＋b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜2

2．将函数y＝x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝x的图象，已知直线y＝kx＋b(k>0)与折线y＝x围成的三角形的面积是2，且其中一个交点的坐标是(－1，1)．

(1)在平面直角坐标系中画出y＝x的大致图象；

(2)求k，b的值；

(3)不等式kx＋b≥x的解集是 －1≤x≤2

14解：k＝，b＝

33ìïx-2(x?2) 3．已知函数y＝kx＋1，与函数y＝í，

-x+2(x<2)ïî (1)函数y＝kx＋1的图象一定经过定点 ；

ìïx-2(x?2) (2)在平面直角坐标系中，画出函数y＝í的大致图象；

ïî-x+2(x<2) (3)若两函数的图象仅有一个公共点，则k的取值范围是 ．

解：(1)(0，1)；(2)略；

(3)①当直线y＝kx＋1与直线y＝－x＋2平行，没有公共点，k＝－1，∴当k＜－1时，直线y＝kx＋1与直线y＝－x＋2有一个公共点，②当直线y＝kx＋1与直线y＝x＋2平行，没有公共点，k＝1，∴当k≥1时，直线y＝kx＋1与直线y＝x＋2有一个公共点，∴k＜－1或k≥1

第2节一次函数的应用

微专题4一次函数应用(一)图象信息问题

典例精讲

【例】甲，乙两人在直线道路上同起点，同终点，同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲，乙两人的距离y(米)与甲出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是 175 米．

39

y75030180x

典例精练

一、图象分析

1．(2018十堰)如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为t时，蚂蚁与O点的距离为s，则s关于t的函数图象大致是( B )

BAO

SSSStOtOtOOt

A． B． C． D．

二、行程问题

2．小敏上午8:00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市返回家中．小敏离家的路程(米)和所经过的时间(分)之间的函数图象如图所示，则小敏返回到家的时间是 8:55 ．

y30002000xO104045

第2题图

40

3．为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的长跑训练，在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S(米)与所用的时间t(秒)之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是起跑后的第 120 秒．

y800540360x060150200

第3题图

三、工程及其他问题

4．有甲，乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度(米)与注水时间(小时)之间的函数图象如图所示，若要使甲、乙两个蓄水池的蓄水量(指蓄水的体积)相同，则注水的时间应为( C )

A．12小时 B．小时 C．1小时 D．2小时

25y21甲乙x3O第4题图

5．某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA(千克)与时间x(时)的函数图象，根据图象提供的信息，如果A，B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了 150 千克．

41

yyBF180PyAxO第5题图

6．有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满．已知容器中的水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系如图所示，则在第7分钟时，容器内的水量为 16 升．

461E356

y20xO5722

微专题5 一次函数的应用(二)优选方案问题

典例精讲

【例】已知A，B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车或火车中的一种进行运输，且须提前预订，现有货运收费项目及收费村准表，行驶路程(千米)与行驶时间t(时)的函数图象(如图1)，上周货运量折线统计图(如图2)等信息如下：

S火车200汽车120tO2

(1)汽车的速度为____千米／时，火车的速度为 千米／时；

(2)设每于用汽车和火车运输的总费用分别为y汽(元)和y火(元)，分别求y汽，y火与x的函数关系式(不必写出42

x的取值范围)，及x为何值时y汽 >y火(总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用)；

(3)根据上周货运量的折线统计图，请你从平均数和折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？

【解析】(1)60，100；

240×5x＋200＝500x＋200；

60240y火＝240×1.6x＋×5x＋2280＝396x＋2280．

100(2) y汽＝240×2x＋若y汽＞y火，得出500x＋200＞396x＋2280，∴x＞20；

(3)上周货运量x＝(17＋20＋19＋22＋22＋23＋24)÷7＝21＞20，从平均数分析，建议预定火车，费用较省．从折线图走势分析，上周货运量周四(含周四)后大于20且呈上升趋势，建议预定火车，费用较省．

典例精练

1．现决定从某地运送152箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱／辆和8箱／辆，其运往A，B两村的运费如下表：

目的地/车型

大货车

小货车

A村(元/辆)

800

400

B村(元/辆)

900

600

(1)求这15辆车中大小货车各多少辆？

(2)现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．

(3)在(2)的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

ììïx+y=15ïx=8解：(1)设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得í，解得í，∴大货车用8辆，小货车用12x+8y=152y=7ïïîî7辆．

(2)y＝800x＋900(8－x)＋400(10－x)＋600[7－(10－x)]＝100x＋9400．(3≤x≤8，且x为整数)．

(3)由题意得：12x＋8(10－x)≥100，解得：x≥，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且x为整数，∵y＝100x＋9400，k＝100＞0，y随x的增大而增大，∴当x＝5时，y最小，最小值为y＝100×5＋9400＝9900(元)．

答：使总运费最小的调配方案是：5辆大货车，5辆小货车前往A村；3辆大货车，2辆小货车前往B村． 最少运费为9900元．

43

微专题6 一次函数的应用（三）最值问题

典例精讲

【例】某学校是兵乓球体育传统项项目学校，为进一步推动该项目的发展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元.

（1）求两种球拍每副各多少元？

（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用.

【答案】（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，由题意得：

ììïx=220ï20(x+20)+15(y+20)=9000

í，解得í

y=260ïï5x+20+1600=10y+20î))(î( 答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元.

（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球拍（40﹣m）副，由题意得m?3(40m)，解得

m£30，设买40副球拍所需的费用为w元，则w=(220+20)m+(260+20)(40-m)=-40m+

11200，∵-40＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=30时，w取得最小值，并且最小值为

-40?3011200=10000（元）.答：购买直拍球拍30副，横拍球拍10副时，费用最少.

典例精练

1. 某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A、B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：

载客量（人/辆）

租金（元/辆）

A型客车

45

400

B型客车

28

250

经测算，租用A、B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：

（1）用含x的代数式填写下表：

A型客车

B型客车

车辆数（辆）

x

13－x

载客量（人）

45x

租金（元）

400x

（2）采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？

【答案】（1）B型客车载客量为28（13－x），租金为250（13－x）；

（2）设租车总费用为W元，则有W=400x+250(13-x)=150x+3250，由已知可得45x+

28(13-x)?500，解得x³8. ∵在W=150x+3250中，150＞0，∴当x=8时，W取最小值，最小值为4450元，故租A型客车8辆，B型客车5辆时，总租车费用最低，最低为4450元.

微专题7 一次函数的应用（四）分段函数问题

典例精讲

44

【例】现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展. 小明计划给朋友快递一部分物品，经了解有甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示：快递物品不超过1千克，按每千克22元收费；超过1千克，超过的部分按每千克15元收费. 乙公司表示：按每千克16元收费，另加包装费3元．设小明快递物品x千克．

（1）请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式；

（2）小明选择哪家快递公司更省钱？

【答案】（1）由题意可知当0＜x≤ 1时，y甲=22x；当x＞1时，y甲=22+15(x-1)=15x+7，

y乙=16x+3.

（2）当0＜x≤ 1时，令y甲＜y乙，即22x＜16x+3，解得0＜x＜ 0.5；令y甲＝y乙，即22x＝16x+3，解得x＝0.5；令y甲＞y乙，即22x＞16x+3，解得0.5＜x≤1；当x＞1时，令y甲＜y乙，即15x+7＜16x+3，解得x＞4；令y甲＝y乙，即15x+7＝16x+3，解得x＝4；令y甲＞y乙，即15x+7＞16x+3，解得1＜x≤4；综上可知，当0.5＜x＜4时，选乙公司省钱；当x＝4或x＝0.5时，选甲乙两家快递公司快递费一样多；当0＜x＜ 0.5或x＞4时，选甲公司省钱.

典例精练

1．甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部分打折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（千克），在甲采摘园所需总费用为y1（元），在乙采摘园所需总费用为y2（元），图中折线OAB表示y2与x之间的函数关系．

（1）甲、乙两采摘园优惠前的草莓销售价格是每千克 元；

（2）求y1、y2与x的函数解析式；

（3）在图中画出y1与x的函数图象，并写出选择甲采摘园所需总费用较少时，草毒采摘量x的取值范围．

【答案】（1）30；

ìï30x(0＃x10)（2）由题意y1=18x+60，y2=í；

ï10)î15x+150(x＞

ììììïy=18x+60ïx=5ïy=18x+60ïx=30ííí（3）图略，由题意得解得，所以点F坐标（5,150），由解得í，所y=30xy=150y=15x+150ïïïïîîîîy=60045

以点E坐标（30,600）.由函数图像可知甲采摘园所需总费用较少时5＜x＜30 .

第四章 反比例函数

中考聚焦

考点解读

1. 理解反比例函数的图象和性质，理解反比例函数与方程，不等式，方程的根的判别式，根与系数的关系；

2．能利用反比例函数解决实际问题．

3．掌握反比例函数和图形变换，依据图形变换规律与反比例结合解题．

考点扫描

一、反比例函数与代数问题的结合——中考新动向

考点一 反比例函数的图象与性质

1．（2018武汉）在反比例函数y=的取值范围是( )

46

1-3m的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1＜0＜x2，y1＜y2，则mx

1111 A．m＞ B．m＜ C.

m≥ D．m≤

3333【答案】B

考点二 反比例函数与数形结合

2．若直线y=m(mìx2(x£2)ïï为常数)与函数y=í8的图象恒有三个不同的交点，则常数ï(x＞2)ïîxm的取值范围是 ．

【答案】0＜m＜4

考点三 反比例函数与方程、不等式

3. 反比例函数y=kk和正比例函数y=mx的图象如图所示，由此可知关于x的方程=mx的实数根xx为 .

【答案】x1=1，x2=-1

k4．已知一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=（k¹0）的图象交于A（﹣4，﹣2）和B(2，4)，若y1＞y2，x则x的取值范围是 .

【答案】x＞2或﹣4＜x＜0

5．如图，已知反比例函数y=-式ax2+bx＞-3与二次函数y=ax2x+bx的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的不等3的解集为 .

x【答案】x＜﹣3或x＞0

考点四 反比例函数与一元二次方程

6．（2019武汉四调）双曲线y=【答案】A（2,3），B（6,1）

考点五 反比例函数与方程的判别式根与系数的关系

7.（2019烟台）反比例函数y=取值范围是( )

47

6与直线y=-0.5x+4相交于A,B两点，则点A,B的坐标是 .

x1-6t的图象与直线y=-x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的x

A．t＜1111 B．t＞ C.

t≤ D．t≥

6666【答案】B

考点六 反比例函数的应用

8．（2019盐田）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x( min)的变化规律如图所示（其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：

（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？

（2）某道难题需连续讲18min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？

【答案】（1）y1=2x+20，y2=1000100，当x1=5时，y1=30，当x2=30时，y2=，∴

x3y1＜y2，∴第30min注意力更集中；

（2）令y1=36，∴36=2x+20，∴x1=8，令y2=36，∴36=﹣8＝

250250100，∴x2=，∵

99x178＞18，∴经适当安排，老师能在所需要求下讲完这道题.

9二、反比例函数与图形变换的结合——中考新动向

考点七 反比例函数与平移

9．（2019武汉）如图，反比例函数y=4(1＃xx4)的图象记为曲线Cl，将Cl向左平移2个单位长度，得曲线C2，则C1平移至C2处所扫过的面积是 ．

48

【答案】6

考点八 反比例函数与对称

10．如图，菱形ABCD的顶点A，顶点B均在x轴的正半轴上，AB＝4，∠DAB＝600．将菱形ABCD沿AD翻折，得到菱形AEFD，若双曲线y=k（x＞0）恰好经过点C和F，则k的值是 .

x

【答案】243

连接AC，AF，过C作CM⊥x轴于M，则CM＝23，AC＝43，则AF＝AC＝43，可知FA⊥x轴，设F（a，43），则C（2a，23），则2a﹣a=xC-xF=6，则a=6，则k=43a=243.

考点九 反比例函数与旋转

11．如图，已知A（﹣3，5），B（﹣3，O）．C(2.0)，将△ABC绕B点顺时针旋转一定的角度后使得点A落在y轴上，与此同时顶点C落在y=k的图象上，则k的值是 ．

x

【答案】﹣3

49