等比数列项数求和公式

2024年3月2日发(作者：2020全国新高考I卷数学试卷)

等比数列项数求和公式

等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的每一项与前一项的比值都相等。在学习等比数列时，我们常常需要求和公式来计算数列的前n项和。本文将介绍等比数列项数求和公式，并结合实际问题进行说明。

一、等比数列项数求和公式的推导

要推导等比数列项数求和公式，我们先来回顾一下等比数列的定义。等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。

现在我们来求等比数列的前n项和S_n。假设首项为a1，公比为q，前n项和为S_n，则有：

S_n = a1 + a1 * q + a1 * q^2 + ... + a1 * q^(n-1)

将S_n乘以公比q，得到：

q * S_n = a1 * q + a1 * q^2 + ... + a1 * q^(n-1) + a1 * q^n

两式相减，可以消去大部分项：

S_n - q * S_n = a1 - a1 * q^n

化简得：

S_n * (1 - q) = a1 * (1 - q^n)

由于等比数列的公比q不等于1，所以可以将上式两边除以(1 - q)，

得到：

S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

这就是等比数列项数求和公式。

等比数列项数求和公式在实际问题中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景。

1. 财务规划

假设你计划每年将存款的利息重新投资，以提高收益。如果你知道每年的存款金额和年利率，可以使用等比数列项数求和公式来计算多年后的总存款金额。

2. 程序设计

在编程中，经常需要对等比数列进行计算。例如，计算一个等比数列的前n项和可以使用等比数列项数求和公式来简化计算过程。

3. 经济学

在经济学中，等比数列项数求和公式可以用来计算复利的增长情况。复利是指在一段时间内，利息不仅仅是基于本金，还包括之前已经积累的利息。

三、应用实例

为了更好地理解等比数列项数求和公式的应用，我们来看一个具体的例子。

假设某人每年的投资利率为5%，他打算连续投资10年，每年的投资金额为1000元。现在我们来计算10年后的总投资金额。

我们需要确定等比数列的首项a1和公比q。由题目可知，a1 =

1000，q = 1 + 0.05 = 1.05。

接下来，我们将这些值代入等比数列项数求和公式：

S_n = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)

= 1000 * (1 - 1.05^10) / (1 - 1.05)

≈ 1000 * (1 - 1.6289) / (-0.05)

≈ 1000 * (-0.6289) / (-0.05)

≈ 12578

所以，经过10年的连续投资，投资者的总投资金额约为12578元。

四、总结

本文介绍了等比数列项数求和公式的推导过程，并给出了该公式在实际问题中的应用示例。通过学习等比数列项数求和公式，我们可以更好地理解和应用等比数列，从而解决各种与等比数列相关的问题。希望本文能对读者在学习和应用等比数列时提供帮助。