初一数学下册期末压轴题试题(带答案)

2023年12月3日发(作者：大连中考数学试卷2013)

一、解答题

1．在平面直角坐标系xOy中，如图正方形ABCD的顶点A，B坐标分别为A1,0，B3,0，点E，F坐标分别为Em,0，F3m,0，且1m2，以EF为边作正方形EFGH.设正方形EFGH与正方形ABCD重叠部分面积为S.

（1）①当点F与点B重合时，m的值为______；②当点F与点A重合时，m的值为______.

（2）请用含m的式子表示S，并直接写出m的取值范围.

2．如图1，已知直线CD∥EF，点A，B分别在直线CD与EF上．P为两平行线间一点．

（1）若∠DAP＝40°，∠FBP＝70°，则∠APB＝

（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之间有什么关系？并说明理由；

（3）利用（2）的结论解答：

①如图2，AP1，BP1分别平分∠DAP，∠FBP，请你写出∠P与∠P1的数量关系，并说明理由；

②如图3，AP2，BP2分别平分∠CAP，∠EBP，若∠APB＝β，求∠AP2B．（用含β的代数式表示）

3．已知，如图：射线PE分别与直线AB、CD相交于E、F两点，PFD的角平分线与直线AB相交于点M，射线PM交CD于点N，设PFM，EMF且3520．

（1）________，________；直线AB与CD的位置关系是______；

（2）如图，若点G是射线MA上任意一点，且MGHPNF，试找出FMN与GHF之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图）分别与AB、CD相交于点M1和点N1时，作PM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q，问在旋转的过程中FPN1的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Q

4．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．

（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；

（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；

22（3）如图③，点P在直线CD下方，当∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP时，写出33∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．

5．如图，已知直线AB//射线CD，CEB100．P是射线EB上一动点，过点P作PQ//EC交射线CD于点Q，连接CP．作PCFPCQ，交直线AB于点F，CG平分ECF．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求PCG的度数；

（2）若点P，F，G都在点E的右侧，EGCECG30，求CPQ的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使EGC:EFC4:3？若存在，求出CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 6．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．

（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；

（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．

7．阅读理解：

一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中a代表这个整数分出来的左边数，b代表的这个整数分出来的中间数，c代表这个整数分出来的右边数，其中a，b，c数位相同，若b﹣a＝c﹣b，我们称这个多位数为等差数．

例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5﹣3＝7﹣5；

413223分成三个数41，32，23，并且满足：32﹣41＝23﹣32；

所以：357和413223都是等差数．

（1）判断：148

等差数，514335

等差数；（用“是”或“不是”填空）

（2）若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除；

（3）若一个三位数T是等差数，且T是24的倍数，求该等差数T．

8．对于实数a，我们规定：用符号a表示不大于a的最大整数，称a为a的根整数，例如：93，10=3．

(1)仿照以上方法计算：4=______；26=_____．

(2)若x1，写出满足题意的x的整数值______．

如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次1033=1，这时候结果为1．

(3)对100连续求根整数，____次之后结果为1．

(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是____．

9．对非负实数x“四舍五入”到各位的值记为x.即:当n为非负整数时，如果11xn，则xn；反之，当n为非负整数时，如果xn，则22n11n≤xn．

220.480，0.641.491,3.54.124．

例如： 0（1）计算：1.87

；

；

（2）①求满足x12的实数x的取值范围，

②求满足x4x的所有非负实数x的值；

31ax1x2有正整数解，求非负实数a的取值范围．

22（3）若关于x的方程10．三个自然数x、y、z组成一个有序数组x,y,z，如果满足xyyz，那么我们称数组x,y,z为“蹦蹦数组”．例如：数组2,5,8中2558，故2,5,8是“蹦蹦数组”；数组4,6,12中46612，故4,6,12不是“蹦蹦数组”．

（1）分别判断数组437,307,177和601,473,346是否为“蹦蹦数组”；

（2）s和t均是三位数的自然数，其中s的十位数字是3，个位数字是2，t的百位数字是2，十位数字是5，且st274．是否存在一个整数b，使得数组s,b,t为“蹦蹦数组”．若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由；

（3）有一个三位数的自然数，百位数字是1，十位数字是p，个位数字是q，若数组1,p,q为“蹦蹦数组”，且该三位数是7的倍数，求这个三位数．

11．观察下列各式：

(x－1)(x+1)=x2－1

(x－1)(x2+x+1)=x3－1

(x－1)(x3+x2+x+1)=x4－1

……

（1）根据以上规律，则(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=__________________．

（2）你能否由此归纳出一般性规律(x－1)(xn+xn－1+xn－2+…+x+1)=____________．

（3）根据以上规律求1+3+32+…+349+350的结果．

12．阅读材料，解答问题：如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”，例如，自然数2135，其中3＝2×2﹣1，5＝2×2+1，所以2135是“依赖数”．

（1）请直接写出最小的四位依赖数；

（2）若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数．

（3）已知一个大于1的正整数m可以分解成m＝pq+n4的形式（p≤q，n≤b，p，q，n均为正整数），在m的所有表示结果中，当nq﹣np取得最小时，称“m＝pq+n4”是m的“最小分解”，此时规定：F（m）＝qn，例：20＝1×4+24＝2×2+24＝1×19+14，因为1×19﹣1×1pn＞2×4﹣2×1＞2×2﹣2×2，所以F（20）＝22＝1，求所有“特色数”的F（m）的最大值．

2213．如图①，在平面直角坐标系中，点A(0,a)，C(b,0)，其中，a是16的算术平方根，b38，线段GO由线段AC平移所得，并且点G与点A对应，点O与点C对应． （1）点A的坐标为

；点C的坐标为

；点G的坐标为

；

（2）如图②，F是线段AC上不同于AC的任意一点，求证：OFCOAFAOF；

（3）如图③，若点F满足FOCFCO，点E是线段OA上一动点（与点O、A不重合），连CE交OF于点H，在点E运动的过程中，OHCACE2OEC是否总成立？请说明理由．

14．问题情境：

（1）如图1，AB//CD，PAB128，PCD119．求APC度数．小颖同学的解题思路是：如图2，过点P作PE//AB，请你接着完成解答．

问题迁移：

（2）如图3，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，ADP，PCE．试判断CPD、、之间有何数量关系？（提示：过点P作PF//AD），请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你猜想CPD、、之间的数量关系并证明．

15．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足(a2)2b20，过C作CBx轴于B，

（1）求a，b的值；

（2）在y轴上是否存在点P，使得△ABC和△OCP的面积相等，若存在，求出点P坐标，若不存在，试说明理由.

（3）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，图3，

①求：∠CAB＋∠ODB的度数；

②求：∠AED的度数.

16．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．

如A:x0，B:x1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．

（1）若关于x的不等式A:x21，B:x3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；

（2）已知关于x的不等式C:x1a1，D:2x3x3，若C与D存在“雅含”关231，n1，且k为整数，关于x的不等式2系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；

（3）已知2mnk，mn3，mP:kx6x4，Q:62x14x2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．

17．如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，点E是CD边上的一点，且DE=2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．

（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标．

（2）在（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点A（x1，y1）与B（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点A与点B的“非常距离”为|y1﹣y2|．

（1）填空：已知点A（3，6）与点B（5，2），则点A与点B的“非常距离”为

；

（2）已知点C（﹣1，2），点D为y轴上的一个动点．①若点C与点D的“非常距离”为2，求点D的坐标；②直接写出点C与点D的“非常距离”的最小值．

19．（阅读感悟）

一些关于方程组的问题，若求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的式子的值，如以下问题：已知实数x，y满足3xy5①，2x3y7②，求x4y和7x5y的值．

本题的常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的式子得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得式子的值，如由①－②可得x4y2，由①+②×2可得7x5y19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．

（解决问题）

3xy4（1）已知二元一次方程组，则xy

，xy

．

x3y12（2）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需多少元？

（3）对于实数x，y，定义新运算：x※yaxbyc，其中a，b，c是常数，等式右边※416，1※521，求1是通常的加法和乘法运算．已知1※1的值．

223020．如图，和的度数满足方程组，且CD//EF，ACAE．

320（1）用解方程的方法求和的度数；

（2）求C的度数． 21．历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f(x)来表示．例如f(x)＝x2＋3x－5，把x＝某数时多项式的值用f(某数)来表示．例如x＝－1时多项式x2＋3x－5的值记为f(－1)＝(－1)2＋3×(－1)－5＝－7.

(1)已知g(x)＝－2x2－3x＋1，分别求出g(－1)和g(－2)；

1(2)已知h(x)＝ax3＋2x2－ax－6，当h()＝a，求a的值；

2(3)已知f(x)＝的值．

22．阅读下列材料，解答下面的问题：

我们知道方程2x3y12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其

正整数解．

例：由2x3y12，得：y122x2x4，（x、y为正整数）

33xbk2kx+a－－2(a，b为常数)，当k无论为何值，总有f(1)＝0，求a，b36x02x2x∴，则有0x6．又y4为正整数，则为正整数．由2与3互质，122x033可知：x为3的倍数，从而x=3，代入y4问题：

（1）请你写出方程2xy5的一组正整数解：

.

（2）若x32x2∴2x+3y=12的正整数解为

3y26为自然数，则满足条件的x值为

.

x2（3）七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？

23．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．

（1）如图1，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由；

（2）如图2，在（1）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，若BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝5∠DBE，求∠ABE的度数．

24．学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元．

（1）求A，B两种奖品的单价；

1（2）学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的．请3设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

25．某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元：新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元，

（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?

（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案?

（3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额.

26．在平面直角坐标系xOy中．点A，B，P不在同一条直线上．对于点P和线段AB给出如下定义：过点P向线段AB所在直线作垂线，若垂足Q落在线段AB上，则称点P为线段AB的内垂点．若垂足Q满足|AQ-BQ|最小，则称点P为线段AB的最佳内垂点．已知点A（﹣2，1），B（1，1），C（﹣4，3）．

（1）在点P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣2，4）中，线段AB的内垂点为

；

（2）点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2，则点M的坐标为

；

（3）点N在y轴上且为线段AC的内垂点，则点N的纵坐标n的取值范围是

；

（4）已知点D（m，0），E（m+4，0），F（2m，3）．若线段CF上存在线段DE的最佳1内垂点，求m的取值范围．

27．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标为0,a，b,0，b,c，其中a，b，c满足3a2bab10，c40．

（1）求a，b，c的值；

（2）若M在x轴上，且S△COM1S△ABC，求M点坐标；

22（3）如果在第二象限内有一点Pm1,1，m在什么取值范围时，AOP的面积不大于ABC的面积？求出在符合条件下，AOP面积最大值时点P的坐标．

x2y3a,①28．已知关于x、y的二元一次方程

xy3a3.②（1）若方程组的解x、y满足x0,y1，求a的取值范围；

（2）求代数式6x3y8的值．

29．阅读下列材料：

我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即|x||x0|，也就是说，|x1x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离；

例 1．解方程|x|2，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为2，所以方程|x|2的解为x2．

例 2．解不等式|x1|2，在数轴上找出|x1|2的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为1或3，所以方程|x1|2的解为x1或x3，因此不等式|x1|2的解集为x1或x3．

参考阅读材料，解答下列问题：

（1）方程|x3|5的解为

；

（2）解不等式：|x2|3；

（3）解不等式：x4x28．

30．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0.

（1）a=___，b=___，△BCD的面积为______； （2）如图2，若AC⊥BC，点P线段OC上一点，连接BP，延长BP交AC于点Q，当∠CPQ=∠CQP时，求证:BP平分∠ABC；

（3）如图3，若AC⊥BC，点E是点A与点B之间一动点，连接CE,CB始终平分∠ECF,当点E在点A与点B之间运动时，理由.

BEC的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明BCO

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一、解答题

2m26m1m2214mm0131．（1）①1；②；（2）S.

324m0m1122m2m1m3【分析】

（1）①②根据点F的坐标构建方程即可解决问题．

（2）分四种情形：①如图1中，当1≤m≤2时，重叠部分是四边形BEGN．②如图2中，1当0＜m＜1时，重叠部分是正方形EFGH．③如图3中，-1＜m＜时，重叠部分是矩形31AEHN．④如图4中，当-≤m＜0时，重叠部分是正方形EFGH．分别求解即可解决问3题．

【详解】

解：（1）①当点F与点B重合时，由题意3m=3，

∴m=1．

②当点F与点A重合时，由题意3m=-1，

1∴m=，

31故答案为1，．

3（2）①当1m2时，如图1.

BE3m，HEEF3mm2m.

SBEHE2m3m2m26m.

②当0m1时，如图2.

EF3mm2m.

SEF22m4m2.

2

1③当1m时，如图3.

3AEm1m1，HEEFm3m2m.

SAEHE2mm12m22m

1④当m0时，如图4.

3EFm3m2m.

SEF22m4m2.

2

综上，

2m26m1m2214mm0S3.

4m20m1122m2m1m3【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．（1）110°；（2）猜想：∠APB=∠DAP+∠FBP，理由见解析；（3）①∠P=2∠P1，理由1见解析；②∠AP2B=180．

2【分析】

（1）过P作PM∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠APM=∠DAP，再根据平行公理求出CD∥EF然后根据两直线平行，内错角相等可得∠MPB=∠FBP，最后根据∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP等量代换即可得证；

（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．

（3）①根据（2）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，然后根据角平分线的定义和平角等于180°列式整理即可得解．

【详解】

（1）证明：过P作PM∥CD，

∴∠APM=∠DAP．（两直线平行，内错角相等），

∵CD∥EF（已知），

∴PM∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），

∴∠MPB=∠FBP．（两直线平行，内错角相等），

∴∠APM+∠MPB=∠DAP+∠FBP．（等式性质）

即∠APB=∠DAP+∠FBP=40°+70°=110°．

（2）结论：∠APB=∠DAP+∠FBP．

理由：见（1）中证明．

（3）①结论：∠P=2∠P1；

理由：由（2）可知：∠P=∠DAP+∠FBP，∠P1=∠DAP1+∠FBP1，

∵∠DAP=2∠DAP1，∠FBP=2∠FBP1，

∴∠P=2∠P1．

②由①得∠APB=∠DAP+∠FBP，∠AP2B=∠CAP2+∠EBP2，

∵AP2、BP2分别平分∠CAP、∠EBP，

∴∠CAP2=2∠CAP，∠EBP2=2∠EBP，

∴∠AP2B=2∠CAP+2∠EBP，

=

2（180°-∠DAP）+

2（180°-∠FBP），

=180°-

2（∠DAP+∠FBP），

=180°-

2∠APB，

=180°-

2β．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线．

3．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，证明见解析；（3）不变，2

【分析】

（1）根据（α-35）2+|β-α|=0，即可计算α和β的值，再根据内错角相等可证AB∥CD；

（2）先根据内错角相等证GH∥PN，再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°；

（3）作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，先根据同位角相等证ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得FPN1=2．

Q111111111【详解】

解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，

∴α=β=35，

∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，

∴∠EMF=∠MFN，

∴AB∥CD；

（2）∠FMN+∠GHF=180°；

理由：由（1）得AB∥CD，

∴∠MNF=∠PME，

∵∠MGH=∠MNF，

∴∠PME=∠MGH，

∴GH∥PN，

∴∠GHM=∠FMN，

∵∠GHF+∠GHM=180°，

∴∠FMN+∠GHF=180°；

（3）FPN1的值不变，为2，

Q理由：如图3中，作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R，

∵AB∥CD，

∴∠PEM1=∠PFN，

∵∠PER=2∠PEM1，∠PFQ=2∠PFN，

∴∠PER=∠PFQ，

∴ER∥FQ，

11

∴∠FQM1=∠R，

设∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，

则有：2y2xEPM，

1yxR可得∠EPM1=2∠R，

∴∠EPM1=2∠FQM1，

EPM1FPN1∴==2．

FQM1Q【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等知识是解题的关键．

214．（1）80°；（2）∠AKC＝2∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝∠APC，理由见解析

3【分析】

（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；

（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝2∠BAP+2∠DCP＝2（∠BAP+∠DCP）＝2∠APC，进而得到∠AKC＝2∠APC；

（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣2222∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝∠APC．

333311111【详解】

（1）如图1，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，

∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；

（2）∠AKC＝2∠APC．

理由：如图2，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，

∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，

∴∠BAK+∠DCK＝2∠BAP+2∠DCP＝2（∠BAP+∠DCP）＝2∠APC，

∴∠AKC＝2∠APC；

2（3）∠AKC＝∠APC

3111111理由：如图3，过K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，

∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，

过P作PF∥AB，

同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，

22∵∠BAK＝∠BAP，∠DCK＝∠DCP，

332222∴∠BAK﹣∠DCK＝∠BAP﹣∠DCP＝（∠BAP﹣∠DCP）＝∠APC，

33332∴∠AKC＝∠APC．

3

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．

5．（1）40°；（2）65°；（3）存在，56°或20°

【分析】

（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；

（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG=∠GCF=25°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=65°；

（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=4x-3x=x，分两种情况讨论：①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．

【详解】

解：（1）∵∠CEB=100°，AB∥CD，

∴∠ECQ=80°，

∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，

∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝2∠QCF+2∠FCE=2∠ECQ=40°；

（2）∵AB∥CD

∴∠QCG=∠EGC，∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，

∴∠EGC+∠ECG=80°，

又∵∠EGC-∠ECG=30°，

∴∠EGC=55°，∠ECG=25°，

∴∠ECG=∠GCF=25°，∠PCF=∠PCQ=2（80°-50°）=15°，

∵PQ∥CE，

∴∠CPQ=∠ECP=65°；

（3）设∠EGC=4x，∠EFC=3x，则∠GCF=∠FCD=4x-3x=x，

①当点G、F在点E的右侧时，

1111 则∠ECG=x，∠PCF=∠PCD=∵∠ECD=80°，

3x，

233∴x+x+x+x=80°，

22解得x=16°，

3∴∠CPQ=∠ECP=x+x+x=56°；

2②当点G、F在点E的左侧时，

则∠ECG=∠GCF=x，

∵∠CGF=180°-4x，∠GCQ=80°+x，

∴180°-4x=80°+x，

解得x=20°，

∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=40°+80°=120°，

∴∠PCQ＝2∠FCQ＝60°，

∴∠CPQ=∠ECP=80°-60°=20°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．

6．（1）证明见解析；（2）ABCF90；（3）45．

【分析】

（1）过点C作CF∥AB，先根据平行线的性质可得ABCBCF180，再根据平行公理推论可得CF可得证；

（2）过点C作CG∥AB，同（1）的方法，先根据平行线的性质得出DE，然后根据平行线的性质可得CDEBCFBCD180，由此即1ABCBCG180，FBCGBCF180，从而可得ABCFBCF，再根据垂直的定义可得BCF90，由此即可得出结论； （3）过点G作GMAB，延长FG至点N，先根据平行线的性质可得ABHMGH，MGNDFG，从而可得MGHMGNABHDFG，再根据角平分线的定义、结合（2）的结论可得MGHMGN45，然后根据角的和差、对顶角相等可得BGDCGFMGHMGN，由此即可得出答案．

【详解】

证明：（1）如图，过点C作CF∥AB，

ABCBCF180，

ABDE，

CFDE，

CDEDCF180，即CDEBCFBCD180，

CDEBCFBCDABCBCF，

BCDCDEABC；

（2）如图，过点C作CG∥AB，

ABCBCG180，

ABDE，

CGDE，

FFCG180，即FBCGBCF180，

FBCGBCFABCBCG，

ABCFBCF，

CFBC，

BCF90，

ABCF90；

（3）如图，过点G作GMAB，延长FG至点N， ABHMGH，

ABDE，

GMDE，

MGNDFG，

BH平分ABC，FN平分CFD，

11ABHABC,DFGCFD，

22由（2）可知，ABCCFD90，

11MGHMGNABHDFGABCCFD45，

22BGDMGHMGD又，

CGFDGNMGNMGDBGDCGFMGHMGN45．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．

7．（1）不是，是；（2）见解析；（3）432或456或840或864或888

【分析】

（1）根据等差数的定义判定即可；

（2）设这个三位数是M，M100a10bc，根据等差数的定义可知bM335a2c即可．

ac，进而得出2（3）根据等差数的定义以及24的倍数的数的特征可先求出a的值，再根据是8的倍数可确定c的值，又因为bac，所以可确定a、c为偶数时b才可取整数有意义，排除不符2ac求出b的值，即可求解．

2合条件的a、c值，再将符合条件的a、c代入b【详解】

解：（1）∵4184

，

∴148不是等差数，

∵435135438

，

∴514335是等差数；

（2）设这个三位数是M，M100a10bc， ∵bacb

，

∴bac

，

2acc105a6c335a2c

，

2∵M100a10∴这个等差数是3的倍数；

（3）由（2）知T335a2c,b∵T是24的倍数，

∴35a2c

是8的倍数，

∵2c是偶数，

∴只有当35a也是偶数时35a2c才有可能是8的倍数，

∴a2或4或6或8，

当a2时，35a70

，此时若c1，则35a2c72

，若c5

，则35a+2c80

，若ac

，

2c9

，则35a+2c88，大于70又是8的倍数的最小数是72，之后是80,88当35a+2c96时c10

不符合题意；

当a4时，35a140，此时若c2，则35a2c144，若c6，则35a2c152，（144、152是8的倍数），

当a6时，35a210，此时若c3，则35a2c216，若c7，则35a2c224，

（216、244是8的倍数），

当a8时，35a280，此时若c0，则35a2c280，若c4，则35a2c288，

若c8，则35a2c296，（280,288,296是8的倍数），

∵bac，

2∴若a是偶数，则c也是偶数时b才有意义，

∴a2和a6是c是奇数均不符合题意，

当a4,c2时，b当a4,c6时，b当a8,c0时，b当a8,c4时，b当a8,c8时，b423,T432

，

2465,T456，

2804,T840，

2846,T864，

2888,T888，

2综上，T为432或456或840或864或888．

【点睛】

本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键．

8．（1）2；5；（2）1，2，3；（3）3；（4）255 【分析】

（1）先估算4和26的大小，再由并新定义可得结果；

（2）根据定义可知x＜4，可得满足题意的x的整数值；

（3）根据定义对120进行连续求根整数，可得3次之后结果为1；

（4）最大的正整数是255，根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案．

【详解】

解：（1）∵22=4， 62=36，52=25,

∴5＜26＜6，

∴[4]=[2]=2，[26]=5，

故答案为2，5；

（2）∵12=1，22=4，且[x]＝1，

∴x=1，2，3，

故答案为1，2，3；

（3）第一次：[120]=10，

第二次：[10]=3，

第三次：[3]=1，

故答案为3；

（4）最大的正整数是255，

理由是：∵[255]=15，[15]=3，[3]=1，

∴对255只需进行3次操作后变为1，

∵[256]=16，[16]=4，[4]=2，[2]=1，

∴对256只需进行4次操作后变为1，

∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255，

故答案为255．

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力，同时也考查了一个数的平方数的计算能力．

57339．（1）2，3

（2）①x②0,,

（3）0a0.5

4222【分析】

（1）根据新定义的运算规则进行计算即可；

（2）①根据新定义的运算规则即可求出实数x的取值范围；②根据新定义的运算规则和4x为整数，即可求出所有非负实数x的值；

3（3）先解方程求得x值范围．

【详解】

2，再根据方程的解是正整数解，即可求出非负实数a的取2a（1）1.872；3；

（2）①∵x12

∴2≤x12

57解得x；

221212②∵x∴4x

34141x≤xx

32323232解得x≤

∵4x为整数

3333∴x,0,,

44233故所有非负实数x的值有0,,；

42（3）1ax1x2

221ax2x41

x2

2a∵方程的解为正整数

∴2a1或2

①当2a1时，x2是方程的增根，舍去

②当2a2时，0a0.5．

【点睛】

本题考查了新定义下的运算问题，掌握新定义下的运算规则是解题的关键．

10．（1）(437，307，177)是“蹦蹦数组”， (601，473，346)不是“蹦蹦数组”；（2）存在，数组为(532，395，258)；（3）这个三位数是147．

【分析】

（1）由“蹦蹦数组”的定义进行验证即可；

（2）设s为m32，t为25n，则m3225n274，先后求得n、s的值，根据“蹦蹦数组”的定义即可求解；

（3）设这个数为1pq，则q2p1，由p和q都是0到9的正整数，列举法即可得出这个三位数．

【详解】

解：（1）数组(437，307，177)中，437-307=130，307-177=130，

∴437-307=307-177，故(437，307，177)是“蹦蹦数组”；

数组(601，473，346)中，601-473=128，473-346=127，

∴601-473473-346，故(601，473，346)不是“蹦蹦数组”； （2）设s为m32，t为25n，则m3225n274，

∵m、n为整数，

∴n8，则t为258，

∴s为532，

而2742137，则b为532-137=395，

验算：532-395=395-258=137，

故数组为(532，395，258)；

（3）根据题意，设这个数为1pq，则1ppq，

∴q2p1，

而p和q都是0到9的正整数，

讨论：

p

q

1pq

1

1

111

2

3

123

3

5

135

4

7

147

5

9

159

而是7的倍数的三位数只有147，

且1-4=4-7=-3，数组(1，4，7)为“蹦蹦数组”，

故这个三位数是147．

【点睛】

本题是一道新定义题目，解决的关键是能够根据定义，通过列举法找到合适的数，进而求解．

351111．（1）x－1；（2）x－1；（3）．

27n+1【分析】

（1）仿照已知等式写出答案即可；

（2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可；

（3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可．

【详解】

解：（1）根据题意得：(x－1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1)=x7-1；

（2）根据题意得：（x-1）（x\"+x\"-1+.…+x+1）=x\"+1-1；

1135112495050+1··+3+3)= ×（x-1）=（3）原式=×（3-1）(1+3+3+·

222故答案为：（1）x－1；（2）x【点睛】

7n+13511－1；（3）．

2本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．

12．（1）1022；（2）3066，2226；（3）67

36【分析】

（1）由于千位不能为0，最小只能取1；根据题目得出相应的公式：十位＝2×千位﹣百位，个位＝2×千位+百位，分别求出十位和个位，即可求出最小的四位依赖数；

（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），依据题意列出代数式然后表示为7的倍数加余数形式，然后求出x、y即可，从而求出所有特色数;

（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝入F（m）＝【详解】

解：（1）由题意可知：千位一定是1，百位取0，十位上的数字为：2×1－0=2，个位上的数字为：2×1＋0=2则最小的四位依赖数是1022；

（2）设千位数字是x，百位数字是y，根据“依赖数”定义，

则有：十位数字是（2x﹣y），个位数字是（2x+y），

根据题意得：100y+10（2x﹣y）+2x+y﹣3y＝88y+22x＝21（4y+x）+（4y+x），

∵21（4y+x）+（4y+x）被7除余3，

∴4y+x＝3+7k，（k是非负整数）

∴此方程的一位整数解为：x=4，y=5（此时2x+y＞10，故舍去）；x＝3，y＝7（此时2x﹣y＜0，故舍去）；x＝3，y＝0；x＝2，y＝2；x＝1，y＝4（此时2x﹣y＜0，故舍去）；

∴特色数是3066，2226．

（3）根据最小分解的定义可知： n越小，p、q越接近，nq﹣np才越小，才是最小分解，此时F（m）＝qn，

pnqn，故将（2）中特色数分解，找到最小分解，然后将n、p、q的值代pnqn，再比较大小即可.

pn由（2）可知：特色数有3066和2226两个，

对于3066＝613×5+14=61×50+24

∵1×613－1×5＞2×61－2×50，

∴3066取最小分解时：n=2，p=50，q=61

∴F（3066）＝61263=

50252对于2226＝89×25+14＝65×34+24，

∵1×89－1×25＞2×65－2×34，

∴2226取最小分解时：n=2，p=34，q=65

∴F（2226）＝∵65267=

342366367

523667．

36故所有“特色数”的F（m）的最大值为：【点睛】

此题考查的是新定义类问题，理解题意，并根据新定义解决问题是解决此题的关键.

13．（1）(0,4)，(2,0)，(2,4)；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】

（1）根据算术平方根、立方根得A(0,4)、C(2,0)；再根据直角坐标系、平移的性质分析，即可得到答案；

（2）根据平移的性质，得OG//CA；根据平行线性质，分别推导得OFCGOAAOF，GOAOAF，从而完成证明；

（3）结合题意，根据平行线的性质，推导得GOAACO90、AOFOAC；结合（2）的结论，通过计算即可完成证明．

【详解】

（1）连接GA

∵a是16的算术平方根

∴a4

∴A(0,4)

∴AO4

∵b38

∴b2

∴C(2,0)

∴OC2

∵线段GO由线段AC平移所得，并且点G与点A对应，点O与点C对应

∴GAOC2，GA//OC

∴G(2,4)

故答案为：(0,4)，(2,0)，(2,4)；

（2）∵线段GO由线段AC平移所得

∴OG//CA，

∴OFCGOF

∵GOFGOAAOF

∴OFCGOAAOF

∵OG//CA

∴GOAOAF ∴OFCOAFAOF

（3）∵OG//CA

∴GOCACO180

∵GOCGOAAOC

∴GOAAOCACO180

∵AOC90

∴GOA90ACO180，即GOAACO90

∵OG//CA

∴GOAOAC

∴OACACO90

∵AOCAOFFOC90

∴AOFFOCOACACO

∵FOCFCO，ACOFCO

∴AOFOAC

由（2）的结论得：OHCOEHEOH，OECEACACE

∵OEHOEC，EOHAOFOAC

∴OHCOECOAC

∴OHCACEOECOACACE

∵EACOAC

∴OECOACACE

∴OHCACE2OEC

∴在点E运动的过程中，OHCACE2OEC总成立．

【点睛】

本题考查了算术平方根、立方根、平行线、平移、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、平移、平行线的性质，从而完成求解．

14．（1）见解析；（2）CPD180，理由见解析；（3）①当P在BA延长线时（点P不与点A重合），CPD180；②当P在BO之间时（点P不与点B，O重合），CPD180．理由见解析

【分析】

（1）过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=113°；

（2）过过P作PF//AD交CD于F，，推出AD//PF//BC，根据平行线的性质得出BCP180，即可得出答案；

（3）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②当P在BO之间时（点P不与点B，O重合）），根据平行线的性质即可得出答案．

【详解】

解：（1）过P作PE//AB，

AB//CD，

PE//AB//CD，

APEPAB=180，CPEPCD180，

PAB128，PCD119 APE52，CPE61，

APC5261113；

（2）CPD180，理由如下：

如图3，过P作PF//AD交CD于F，

AD//BC，

AD//PF//BC，

ADPDPF，BCPCPF，

BCPPCE180，PCE，

BCP180

又ADP

CPDDPFCPF=180；

（3）①当P在BA延长线时（点P不与点A重合），CPD180；

理由：如图4，过P作PF//AD交CD于F，

AD//BC，

AD//PF//BC，

ADPDPF，BCPCPF，

BCPPCE180，PCE，

BCP180，

又ADP，

CPDCPFDPF180；

②当P在BO之间时（点P不与点B，O重合），CPD180．

理由：如图5，过P作PF//AD交CD于F，

AD//BC，

AD//PF//BC，

ADPDPF，BCPCPF， BCPPCE180，PCE，

BCP180，

又ADP

CPDDPFCPF180．

【点睛】

本题考查了平行线的性质的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．

15．（1）a=-2，b=2；（2）P（0，-4）或（0，4）；（3）①∠CAB＋∠ODB=90°；②∠AED=45°.

【分析】

（1）根据非负数的性质即可求得a、b的值；（2）先求得S△ABC=4，设P（0，t），根据S△OPC=2OP×2=2×t ×2=4求得t值，即可求得点P的坐标；（3）①已知BD∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠CAB=∠OBD，由∠OBD＋∠ODB=90°，即可得∠CAB＋∠ODB=90°；②根据角平分线的定义及①中的结论，可求得∠3+∠4=45°；过点E作EF∥AC，即可得EF∥BD∥AC，根据平行线的性质可得∠3=∠1，∠2=∠4，由此求得∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.

【详解】

（1）∵a2b20，

∴a+2=0，b-2=0，

∴a=-2，b=2；

（2）∵a=-2，b=2，

∴A（-2，0），C（2，2），

∴S△ABC=2 AB•BC=2×4×2=4；

设P（0，t），

∴S△OPC=2OP×2=2×t ×2=t=4；

∴t=4或t=-4，

∴P（0，-4）或（0，4）．

（3）①∵BD∥AC，

∴∠CAB=∠OBD，

∵∠OBD＋∠ODB=90°，

∴∠CAB＋∠ODB=90°；

1111211②∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

11∴∠3=CAB,∠4=ODB,

22∵∠CAB＋∠ODB=90°，

11∴∠3+∠4=CAB+ODB=45°，

22过点E作EF∥AC，

∵BD∥AC，

∴EF∥BD∥AC，

∴∠3=∠1，∠2=∠4，

∴∠AED=∠1+∠2=∠4+∠3=45°.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，熟知非负数的性质、三角形的面积公式及平行线的性质是解决问题的关键．

16．（1）A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；（2）a【分析】

（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；

（2）先求出C，D解集，根据“雅含”关系的定义得出1；（3）存在，k0．

22a42，解不等式即可；

31，n1，且k为整2（3）首先解关于m，n的方程组即可求得m，n的值，然后根据m数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值．

【详解】

解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x1，

∵B:x3

∴A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；

（2）不等式C:x1a12a5，解得：x，

233不等式D：2x3x3，解得：x2， ∵C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，

∴2a512，解得：a，

23（3）存在；

k3m2mnk3由解得：，

k6mn3n3k313312∵m，n1，即：，解得：k3，

22k613∵k为整数，

0,1,2，

∴k的值为1，解不等式P:kx6x4得：k1x2，

解不等式Q:62x14x2得：x1，

∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，

∴不等式P:kx6x4的解集为：x∴k10，且2，

k121，

k1解得：1k1，

∴k0．

【点睛】

本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解．

17．（1）建立直角坐标系见解析，当0＜t≤4时，即当点P在线段AB上时，其坐标为：P(2t，0)，当4＜t≤7时，即当点P在线段BC上时，其坐标为：P(8，2t﹣8)，当7＜t≤10时，即当点P在线段CE上时，其坐标为：P(22﹣2t，6)；

（2）存在，当点P的坐标分别为：P(【分析】

（1）建立平面直角坐标系，根据点P的运动速度分别求出点P在线段AB，BC，CE上的坐标；

（2）根据（1）中得到的点P的坐标以及S的值再进行讨论．

【详解】

（1）正确画出直角坐标系如下：

APE20，0)或 P(8，4)时，△APE的面积等于20cm2．

320cm2，分别列出三个方程并解出此时t 当0＜t≤4时，点P在线段AB上，此时P点的横坐标为2t2t，其纵坐标为0；

∴此时P点的坐标为：P(2t，0)；

同理：

当4＜t≤7时，点P在线段BC上，此时P点的坐标为：P(8，2t﹣8)；

当7＜t≤10时，点P在线段CE上，此时P点的坐标为：P(22﹣2t，6)．

（2）存在，

①如图1，当0＜t≤4时，点P在线段AB上，

SAPE1102t620，解得：t（s）；

3220，0)．

3∴P点的坐标为：P(②如图2，当4＜t≤7时，点P在线段BC上，

SAPEABBCSADESABPSPCE；

111∴2048628(2t8)6(142t)；

222解得：t=6（s）；

∴点P的坐标为：P(8，4)．

③如图3，当7＜t≤10时，点P在线段CE上， SAPE16(202t)20；

220（s）；

3解得：t∵2020＜7，∴t（应舍去），

3320，0)或 P（8，4)时，△APE的面积等于20cm2．

3综上所述：当P点的坐标为：P（【点睛】

1本题考查了三角形的面积的计算公式，S三角形底高，在本题计算的过程中根据动点2的坐标正确地求出三角形的底边长度和高是解题的关键．

18．（1）4；（2）①(0,0)或(0,4)；②1．

【分析】

（1）依照题意，分别求出|35|2和|62|4，比较大小，得出答案，

（2）点D在y轴上所以横坐标为0，|10|12，所以点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，可得D点坐标，

（3）已知点C和点D的横坐标差的绝对值恒等于1，纵坐标差的绝对是个动点问题，取值范围和1比较，可得出最小值为1．

【详解】

解：（1）A(3,6)，B(5,2)，

|35|2，|62|4

24，

点A与B点的“非常距离”为4．

故答案为：4．

（2）①点D在y轴上所以横坐标为0

|10|12，

点C和点D的纵坐标差的绝对值应为2，

设点D的纵坐标为yD，

|2yD|2，

解得yD0或yD4，

∴D点的坐标为(0,0)或(0,4)，

故D点的坐标为(0,0)或(0,4)；

②最小值为1， 理由为已知点C和点D的横坐标差的绝对值恒等于1，

|10|1，

设点D的纵坐标为yD，

当1yD3时，0|2yD|1，可得点C与点B的“非常距离”为1，

当yD1或yD3时，|2yD|1，可得点C与点B的“非常距离”为|2yD|．

|2yD|1，

点C与点D的“非常距离”的最小值为1，

故点C与点D的“非常距离”的最小值为1．

【点睛】

本题考查了直角坐标系坐标结合绝对值的应用，是新定义问题，难点在于第三问的动点位置取值范围讨论，需要学生根据题意正确讨论．

19．（1）－4，4；（2）购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；（3）1

【分析】

（1）由①-②得2x-2y=-8，则x-y=-4，再由①+②得4x+4y=16，则x+y=4；

（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，由题意：买5支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买9支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，列出方程组，再由整体思想”求出x+y+z=6，即可求解；

（3）由定义新运算：x※y=ax+by+c得1※4=a+4b+c=16①，1※5=a+5b+c=21②，求出a+b+c=1，即可求解．

【详解】

3xy4①解：（1），

x3y12②①-②得：2x-2y=-8，

∴x-y=-4，

①+②得：4x+4y=16，

∴x+y=4，

故答案为：-4，4；

（2）设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，

5x3y2z32①由题意得：，

9x5y3z58②①×2-②得：x+y+z=6，

∴20x+20y+20z=20（x+y+z）=20×6=120，

即购买20支铅笔、20块橡皮、20本日记本共需120元；

（3）∵x※y=ax+by+c，

∴1※4=a+4b+c=16①，1※5=a+5b+c=21②，

②-①得：b=5，

∴a+c=16-4b=-4，

∴a+b+c=1，

∴1※1=a+b+c=1． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用、整体思想以及新运算等知识；熟练掌握整体思想和新运算，找准等量关系，列出方程组是解题的关键．

20．（1）50，130；（2）C40

【分析】

（1）把和当做未知数，利用加减消元法解二元一次方程组即可；

（2）先证明AB∥EF，则可以得到CD∥AB，∠C+∠CAB=180°，求出∠CAB的度数即可求解．

【详解】

2230①解：（1）

320②用② +①得：5=250，解得=50，

把=50代入①

解得=130；

（2）∵∠=50130=180

∴AB∥EF，

∵CD//EF，

∴CD∥AB，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠CAB=∠EAC+∠BAE，AC⊥AE，

∴∠CAE=90°，

∴∠CAB=140°

∴C40°．

【点睛】

本题考查了平行线的判定和性质，解二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21．(1)g(－1)＝2

g(－2)＝－1

(2)a＝－4

(3)a＝【解析】

【分析】（1）将x=-1和x=-2分别代入可得出答案；

13，b＝－4.

21（2）将x=代入可得关于a的一元一次方程，解出即可；

2（3）由f(1)＝0，把x=1代入可得关于a、b、k的方程，根据无论k为何值时，都成立就可求出a、b的值． 【详解】（1）由题意得：g（-1）=-2×（-1）2-3×（-1）+1=2；

g（-2）=-2×（-2）2-3×（-2）+1=-1；

111（2）由题意得：aa6a，

822解得：a=-4；

（3）∵k无论为何值，总有f(1)＝0，

∴2ka1bk2=0，

362a1b2036则当k=1、k=0时，可得方程组，

a1203613a2.

解得：b4【点睛】本题考查了代数式求值、解一元一次方程、一元一次方程的解、解二元一次方程组等，读懂新定义是解题的关键.

x1x222．（1）方程的正整数解是或．（只要写出其中的一组即可）；（2）满足y3y1条件x的值有4个：x=3或x=4或x=5或x=8；（3）有两种购买方案：即购买单价为3元的笔记本5本，单价为5元的钢笔4支；

或购买单价为3元的笔记本10本，单价为5元的钢笔1支．

【解析】

（1）{y3或{y1(任写一组即可）

---------------------------．

（2） C

（3）解：设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，

由题意得： 3x+5y=35

此方程的正整数解为有两种购买方案:

x1x2

方案一：购买单价为3元的笔记本5个，购买单价为5元的钢笔4支．

方案二：购买单价为3元的笔记本10个，购买单价为5元的钢笔1支

（1）只要使等式成立即可

（2）x-2必须是6的约数

（3）设购买单价为3元的笔记本x个，购买单价5元的钢笔y个，根据题意列二元一次方程，去正整数解求值

23．（1）∠C+∠BAD=90°，理由见解析；（2）9°

【分析】

（1）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C，可得∠C+∠BAD=90°；

（2）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°．

【详解】

解：（1）如图2，过点B作BG∥DM，

∵BD⊥AM，

∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，

又∵AB⊥BC，

∴∠CBG+∠ABG=90°，

∴∠ABD=∠CBG，

∵AM∥CN，BG∥AM，

∴CN∥BG，

∴∠C=∠CBG，

∴∠ABD=∠C，

∴∠C+∠BAD=90°；

（2）如图3，过点B作BG∥DM，

BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，

∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，

由（1）可得∠ABD=∠CBG，

∴∠ABF=∠GBF，

设∠DBE=α，∠ABF=β，则

∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α，

∴∠AFC=5α+β，

∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，

∴∠FCB=∠AFC=5α+β，

△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得

（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，①

由AB⊥BC，可得

β+β+2α=90°，②

由①②联立方程组，解得α=9°，

∴∠ABE=9°． 【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．

24．（1）A的单价30元，B的单价15元（2）购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少

【分析】

3x2y120（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，根据题意列出方程组，即可求5x4y210解；

（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30z)个，购买奖品的花费为W元，根据题意1得到由题意可知，z(30z)，W30z15(30z)45015z，根据一次函数的性质，3即可求解；

【详解】

解：（1）设A的单价为x元，B的单价为y元，

根据题意，得

3x2y120，

5x4y210x30，

y15A的单价30元，B的单价15元；

（2）设购买A奖品z个，则购买B奖品为(30z)个，购买奖品的花费为W元，

1由题意可知，z(30z)，

3z15，

2W30z15(30z)45015z，

当z=8时，W有最小值为570元，

即购买A奖品8个，购买B奖品22个，花费最少；

【点睛】

本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用；能够根据条件列出方程组，将最优方案转化为一次函数性质解题是关键．

25．（1）新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元；（2）一共2种建造方案；（3）当地上建39个车位地下建21个车位投资最少，金额为14.4万元.

【分析】

（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案．

（2）设新建地上停车位m个，则地下停车位（60-m）个，根据投资金额超过14万元而不超过15万元，可得出不等式组，解出即可得出答案．

（3）将m=38和m=39分别求得投资金额，然后比较大小即可得到答案．

【详解】

解：（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，

2x3y1.7由题意得：，

4x2y1.4x0.1解得，

y0.5故新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.5万元.

（2）设新建m个地上停车位，

由题意得：140.1m0.560m15，

解得37.5m40，因为m为整数，所以m38或39，

对应的60m22或21，故一共2种建造方案．

（3）当m38时，投资0.1380.52214.8（万元），

当m39时，投资0.1390.52114.4（万元），

故当地上建39个车位地下建21个车位投资最少，金额为14.4万元.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解，有一定难度．

26．（1）P3，P4；（2）（-0.5，3）或（-0.5，-1）；（3）3n7；（4）m6或m2

【分析】

（1）根据题意分析，即可得到答案；

（2）结合题意，首先求得线段AB中点C坐标，再根据题意分析，即可得到答案；

（3）过点A作AD//x轴，过点C作CD//y轴，AD交CD于点D，过点A作AN1AC，交y轴于点N1，过点C作CN2AC，交y轴于点N2，根据三角形和直角坐标系的性质，得DACDCA45；再根据直角坐标系和等腰直角三角形性质，得N10,3，N20,7，从而得到答案；

（4）根据题意，得线段DE中点坐标；再结合题意列不等式并求解，即可得到答案．

【详解】

（1）根据题意，点P1（2，3）、P2（﹣5，0）、P3（﹣1，﹣2），P4（﹣2，4）中，线段AB的内垂点为P3（﹣1，﹣2），P4（﹣2，4）

11故答案为：P3，P4；

（2）∵A（﹣2，1），B（1，1）

21，1，即0.51，∴线段AB中点C坐标为：

2∵点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2

，2或M0.51，2，即当M0.5，3或M0.5，1时，|AQ-BQ|=0，为最∴当M0.51小值

故答案为：（-0.5，3）或（-0.5，-1）；

（3）如图，过点A作AD//x轴，过点C作CD//y轴，AD交CD于点D，过点A作AN1AC，交y轴于点N1，过点C作CN2AC，交y轴于点N2，

∵点A（﹣2，1），C（﹣4，3）

∴AD2，CD2，

∴DACDCA45

∴N10,12，N20,34，即N10,3，N20,7

∴3n7

故答案为：3n7；

（4）∵点D（m，0），E（m+4，0）

∴线段DE中点坐标为mm4m2

2根据题意，得：当m0时，2mm2；

当m0时，2mm24；

∴m2或m6．

【点睛】 本题考查了直角坐标系、一元一次不等式知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、一元一次不等式、坐标的性质，从而完成求解．

3327．（1）a2，b3，c4；（2）,0或,0；（3）m的范围5m1；P的22坐标是6,1．

【分析】

（1）根据乘方、算术平方根的性质，通过列二元一次方程组并求解，得a和b的值；根据绝对值的性质，列一元一次方程并求解，从而得到答案；

（2）设Mt,0，根据题意列方程，结合绝对值的性质求解，得t的值；再根据坐标的性质分析，即可得到答案

（3）P在第二象限以及AOP的面积不大于ABC的面积，通过列一元一次不等式并求解，即可得到m的范围，再根据S△APOm1的变化规律计算，即可得到答案．

【详解】

（1）∵3a2bab10，

2ab10∴

3a2b0a2解得：

b3∵c40

∴c40

∴c4；

（2）根据题意，设Mt,0

1∵SABC436

2∴S△CMO∴2t3

∴t321t42t

2

33∴M点坐标为,0或,0；

22（3）S△APO∴m10

∴S△APO1m

∵B、C的横坐标相同，

∴BC//y轴

11AOm12m1m1

22∵P在第二象限 S△ABC11BCOB436

22SABC∵SAOP

∴1m6

m5

∵P点在第二象限

∴m10

∴m1

∴m的范围为5m1

∵当m1时，S△APO随m的增大而减小；

∴当m5时，SAOP的最大值为6

∴P的坐标是6,1．

【点睛】

本题考查了算术平方根、乘方、二元一次方程组、一元一次方程、一元一次不等式、直角坐标系、绝对值的知识；解题的关键是熟练以上知识，从而完成求解．

28．（1）0a2；（2）-17

【分析】

（1）解方程组求出x、y的值，根据x0,y1列不等式组求出答案；

（2）将两个方程相加，求得6x+3y=-9，即可得到答案．

【详解】

xa2解：（1）解方程组得，

y12a∵x0,y1，

a20∴,

12a1解得0a2；

（2）由①+②得2x+y=-3，

∴3（2x+y）=-9，即6x+3y=-9，

∴6x3y8=-9-8=-17．

【点睛】

此题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知式子的值求代数式的值，正确解方程组是解题的关键．

29．（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.

【分析】

（1）利用在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8求解即可；

（2）先求出|x2|3的解，再求出|x2|3的解集即可；

（3）先在数轴上找出x4x28的解，即可得出x4x28的解集.

【详解】 解：（1）∵在数轴上到-3对应的点的距离等于5的点的对应的数为2或-8

∴方程x35的解为x=2或x=-8

（2）∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点的对应的数为-1或5

∴方程|x2|3的解为x=-1或x=5

∴|x2|3的解集为-1≤x≤5.

（3）由绝对值的几何意义可知，方程x4x28就是求在数轴上到4和-2对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值.

∵在数轴上4和-2对应的点的距离是6

∴满足方程的x的点在4的右边或-2的左边

若x对应的点在4的右边，可得x=5；若x对应的点在-2的左边，可得x=-3

∴方程x4x28的解为x=5或x=-3

∴x4x28的解集为x＞5或x＜-3.

故答案为（1）x=2或x=-8；（2）-1≤x≤5；（3）x＞5或x＜-3.

【点睛】

本题考查了绝对值及不等式的知识.

解题的关键是理解|x1x2|表示在数轴上数x1与数x2对应的点之间的距离.

30．-3 -4 6

【解析】

分析：（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据等角的余角相等解答即可；

（3）首先证明∠ACD=∠ACE，推出∠DCE=2∠ACD，再证明∠ACD=∠BCO，∠BEC=∠DCE=2∠ACD即可解决问题；

详解：（1）解：如图1中，

∵|a+3|+（b-a+1）2=0，

∴a=-3，b=4，

∵点C（0，-3），D（-4，-3），

∴CD=4，且CD∥x轴，

∴△BCD的面积=1212×4×3=6；

故答案为-3，-4，6．

（2）证明：如图2中， ∵∠CPQ=∠CQP=∠OPB，AC⊥BC，

∴∠CBQ+∠CQP=90°，

又∵∠ABQ+∠CPQ=90°，

∴∠ABQ=∠CBQ，

∴BQ平分∠CBA．

（3）解：如图3中，结论：BEC =定值=2．

BCO

理由：∵AC⊥BC，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCF=90°，

∵CB平分∠ECF，

∴∠ECB=∠BCF，

∴∠ACD+∠ECB=90°，

∵∠ACE+∠ECB=90°，

∴∠ACD=∠ACE，

∴∠DCE=2∠ACD，

∵∠ACD+∠ACO=90°，∠BCO+∠ACO=90°，

∴∠ACD=∠BCO，

∵C（0，-3），D（-4，-3），

∴CD∥AB，

∠BEC=∠DCE=2∠ACD，

∴∠BEC=2∠BCO，

∴BEC=2．

BCO点睛：本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识，熟记性质并准确识图是解题的关键．