九九表初探

2024年1月11日发(作者：初二新乡数学试卷)

九九表初探

（辽宁师范大学数学学院09级研究生 孙嘉欣 科学技术史）

摘要：九九表，在古代又称“九九歌”、“九因数”，是中国古代算筹中进行乘法、除法、开方等运算中的基本规则；大约在公元5～10世纪间，“九九口诀”才扩充到“一一如一”。大约在宋朝（公元11、12世纪），“九九口诀”的顺序才变成和现代用的一样，即从“一一如一”起到“九九八十一”止。元朱世杰著《算学启蒙》一书所载的45句口诀，已是从一一如一”到“九九八十一”，并称为“九数法”。，我们现今的 “小九九”，小学初年级的学生以及一些学龄儿童都会背诵。现在的“小九九”是从“一一得一”开始，到“九九八十一”结束；而在古代却是反过来的，从“九九八十一”开始到“二二得四”结束，因此口诀表开头的两个字是“九九”，人们就称它为“九九表”。本文根据原始文献，论述了九九表的起源、世界闻名古国的乘法表比较、九九表的特点以及九九表的作用等。

一、九九表的起源

据说春秋时期齐桓公曾经专门设了一个“招贤馆”来征招各方面有才干的人，但是等了很久也没有人前来应招。一年之后，才来了一个热，就个人把九九表献给齐桓公作为进见的礼物。齐桓公觉得很好笑，对他说：“九九表能做见面礼吗？”这个人回答说：“九九表确实够不上拿来做见面礼，但是如果您对我这个懂‘九九’的人都能重视的话，那么害怕比我高明的人会不接连而来吗！”齐桓公认为他是对的，就把他接近了“招贤馆”，隆重的招待他。果然不到一个月，许多有才干的人从四面八方接连不断地前来应招了。从这个故事，可见在春秋时期，九九表就已经被大家知晓了。在许多流传下来的古书以及考古发现的木简或竹简上也有关于九九表的记载。

1．古代书籍中的九九表。中国使用九九表的时间比较早，大约在春秋、战国时期已经开始流行了。在《荀子》、《管子》、《战国策》等书中能找到“九九八十一”、“八九七十二”、 “六六三十六”等语句。《韩诗外传》卷三：“齐桓公设庭燎为便人欲造见者，期年而士不至。于是东野鄙人有以九九见者。桓公使戏之曰：“九九足以见乎？”鄙人对曰：“„„夫九九薄能耳，而君犹礼之，况贤于九九者乎？”„„桓公曰：“善！”乃因礼之。期月，四方之士相导而至矣此事《说苑·尊贤》、《汉书·梅福传》亦有称引。在宋洪迈著《容斋随笔》续笔卷七《俗语算数》中有：“三三如九，三四十二，二八十六，四四十六，三九二十七，四九三十六，六六三十六，五八四十，五九四十五，七九六十三，八九七十二，九九八十一，皆俗语算数，然《淮南子》中有之。三七二十一，苏秦说期望之辞也。《汉书·律历志》刘歆典领钟律，奏其辞，亦云八八六十四。杜预住《左传》“天子用八”云八八六十四人，又六六三十六人，四四十六人。如淳、孟康、晋灼注《汉书》，亦有二八十六，三四十二，六八四十八，八八六十四等语。”[1]在《管子·轻重戊》中也有记载：“ 虙戏 作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”《汉书·梅福传》：“臣闻 齐桓 之时，有以九九见者， 桓公 不逆，欲以致大也。”《孙子算经》乘法载此四十五句，亦起九九而讫一一，末言从九九至一一，总成一千一百五十五，是古法始九九之证。以木简及《孙子算经》证之，九九盖即乘法。其术始於九九，故称九九之术。”

2．考古中的九九表

从十九世纪以来，陆续在我国西北发掘出来的许多“竹木简”，也有些记录着九九表。但是这些竹木简由于在地下埋藏了过久，上面的九九表已经不全了，有的只剩下了十几句，甚至有的只剩下了几句。

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十九世纪末在中国新疆发现的汉简，经王国维考证，其中一片出土于流沙的汉件，是一个九九表的残简，从九乘九开始，读曰九九八十一，八九七十二，七九六十三，八八六十四、七八五十六、六八四十八„„ 二二而四共1110个字。人们推测之所以以九开始，可能和中国古代《易经》中的崇拜“九”的观念有关，所以以九九开始为由，称为九九歌、九因歌、九九表。

2002年，中国考古学家在湖南一座距今二千多年前的春秋战国时期的遗址内，发现之今最早的九九歌木简残片，我们现在成为里耶秦简。简上有四八三十二、五八四十、六八四十八等字样[5]，奇特的是，每个关于“八”的乘法运算排列也很有规则，它们排成一个横行，而且乘以八的数字从左到右依次递增。此次出土的战国简是中国九九表的最早事物证明，印证了文献中所记载的春秋战国时期乘法和乘法口诀已被运用。[2]

考古发现及传世典籍中的九九表，如下图所示：

名 称 时 代 材质 备 注

里耶秦简九九表（全） 秦 木牍 2002年出土。始于“九九八十一”。参《考古》2003年第1期。

张家界汉简九九表(残) 汉 木简 2002年出土。始于“九九八十一”。参《中国历史文物》2003年第3期。

敦煌汉简九九表(残) 汉 木简 20世纪初发现。始于“九九八十一”。参王国维《流沙坠简》。

居延汉简九九表1(残) 汉 木简 1930年出土。始于“九九八十一”。参劳干《居延汉简考释》。

居延汉简九九表２(残) 汉 木简 1930年出土。始于“九九八十一”。参《居延汉简甲编》。

《孙子算经》九九表 汉 纸张 传世典籍。始于“九九八十一”。

李俨《中国古代数学史料》。

敦煌卷子九九表１（残）

敦煌卷子九九表２（全）

楼兰文书九九表（残）

唐 纸张 20世纪初发现。始于“九九八十一”。参李俨《中国古代数学史料》所录敦煌《算经》。

纸张 20世纪初发现。始于“九九八十一”。参李俨《中国古代数学史料》所录敦煌《立成算经》。

纸张 20世纪初发现。始于“九九八十一”。参孔好古《斯文赫定所获汉文手写文书及零星文物》。

唐

唐

通行乘法口诀表

宋元以后 纸张 始于“一一如一”。参钱宝琮《中国数学史》。

二、世界闻名古国的乘法表比较

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西方文明古国的希腊和巴比伦，也有发明的乘法表，不过比起九九表繁复些。巴比伦发明的希腊乘法表有一千七百多项，而且不够完全[1]。由于在十三世纪之前他们计算乘法、除法十分辛苦，所以能够除一个大数的人，会被人视若数学专家[2]。十三世纪之初，东方的计算方法，通过阿拉伯人传入欧洲，欧洲人发现了他的方便之处，所以学习这个新方法。

古希腊、古埃及、古印度、古罗马没有进位制，原则上需要无限大的乘法表，因此不可能有九九表。例如希腊乘法表必须列出7x8，70x8，700x8，700x8，7000x8„„。相形之下，由于九九表基于十进位制，7x8=56，70x8=560，700x8=5600，7000x8=56000，只需7x8=56一项代表。

古埃及没有乘法表。考古家发现，古埃及人是通过“累次迭加法”来计算乘积的。例如计算53×17，先将53倍乘（乘2）得53×2=106，再将106倍乘得106×2=212=53×4，再将212倍乘得212×2=414=53×8，再将424倍乘得424×2=848=53×16，最后将848与53加起来得901.这中运算说明，当时人们对53×17的意义是明确的。整个过程虽然可以说是对连加运算的一个初步简化，但是没有创立九九表。对乘数是10的运算，古埃及人采用的是将被乘数的单位符号扩大（升级）。这与我们现在采用在被乘数后面加零或将小数点以为得做法本质是一致的。对乘5的运算，则采取乘10后再除以2的办法。值得注意的是，古埃及人这样的“倍乘迭加法”在许多民族中都先后出现过。例如， 俄罗斯农民在很晚以后，还常用这样“倍乘”、“平分”与加法相结合的方法。[3]

巴比伦的乘法要比古埃及现金。据出土的古巴比伦你办考证，大约在公元前2000年以前，巴比伦人已经开始乘法表来运算了。巴比伦算术采用60进位制，原则上一个“59x59”乘法表需要59*60/2=1770项；由于“59x59”乘法表太庞大，巴比伦人从来不用类似于九九表的“乘法表”。考古学家也从来没有发现类似于九九表的“59x59”乘法表。不过，考古学家发现巴比伦人用独特的1x1=1，2x2=4，3x3=9„„7x7=49„„9x9=81„„16x16=256„„59x59=3481乘法表，乘法表记录了某个数从1乘起，分别到60的全部答案。只要所求算式中的树木在表中能够查得，那么通过查表和适当的加法运算是不难得到结果的，但是这种表不如九九表那样具有普遍性，也不如九九表那样便于诵读。

古玛雅人用20进位制，跟现代世界通用的十进位制最接近。一个19x19乘法表有190项，比九九表的45项虽然大三倍多，但比巴比伦方法还是简便得多。可是考古学家至今还没有发现任何玛雅乘法表。比较图，如下：

古文明 进位制 乘法表项 九九表 考古文物

古希腊 无 无限大 无 370项不全乘法表

古罗马 无 无限大 无

古埃及 无 无限大 无

古印度 无 无限大 无

巴比伦 60 1770 无 平方表

玛雅 20 190 无

春秋战国 10 45 有 九九表竹简

用乘法表进行乘法运算，并非进位制的必然结果。巴比伦有进位制，但它们并没有发明或使用九九表式的乘法表，而是发明用平方表法计算乘积。玛雅人的数学是西方古文明中最先进的，用20进位制，但也没有发明乘法表。可见从进 3

位制到乘法表是一个不少的进步。

中国春秋战国时代不但发明了十进位制，对九九表的使用已经成为了流行。后来东传入高丽、日本，经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。十进位制和九九表是古代中国对世界文化的一项重要的贡献。今日世界各国较少使用希腊等国的乘法。

三、里耶秦简九九表中的易学观念

在人类科技史的研究中，数学史是颇为成功的一门学科。近年来，数学文化史的研究成果，尤堪注目。通过对远去的古代文明抑或现存的原始部落的考察，学者们业已发现：原始的数学都具有数量性与神秘性的双重复合特征。例如，印度的宗教文化就带有数学的神秘色彩。在古希腊，原始数学的神秘性通过毕达哥拉斯“万物皆数”的思想亦融入了柏拉图的唯心主义哲之中。罗素在论述西方哲学时曾经指出：“数学与神学的结合开始于毕达哥拉斯，它代表了古希腊、中世纪的以及直迄康德为止的近代宗教哲学的特征。”[4]中国文化史研究表明，《周易》筮法及卦爻就是原始数学神秘性与数量性双重复合的典型。《左传·僖十五》：“筮，数也。”《汉书·律历志》：“伏羲画八卦，由数起。”——这是卦、筮源于数学的代表性文献。同时，作为六经之首的《周易》也深刻地影响着古代数学的发展。一方面，自刘辉《九章算术注》以后，古代数学家大都将《周易》视为数学发展的源头。另一方面，甄鸾、秦九韶、朱世杰、程大位等闻名数学家无不采用《周易》观念来表达数学问题。

“九九”是古代数学的代名词，前人将它比附于《周易》，由来已久。《管子·轻重戊》：“宓戏作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”刘辉《九章算术注》：“昔包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。暨于黄帝，神而化之，引而申之，于是建历纪、协律吕，用稽道源，然后两仪四象精微之气可得而效焉。”[5]里耶秦简九九表，也渗透着某些易学观念。

1．太极、两仪：“二半而一、一一而二”。[7]

在里耶秦简九九表38句口诀中，“二半而一、一一而二”两句的非凡性最为引人注目：前者涉及分数，后者纯为加法。律之以数学的严谨性、逻辑性，它们与其余36句“整数乘法运算”的统一体例殊不相当。二者被人为地添进九九表，是古人将数学比附于易学的结果。

《易·系辞》：“易有太极，是生两仪，两仪生四象。”在古代文献中，太极、太乙、太始、太一、大一、天一异名同实，其数量性的表达，都是“一”。显然，“太极”，“两仪”，“四象”的生成关系可以转换为一个等比数列：1，2，4。九九表“二半而一、一一而二、二二而四”三句的得数便与它构成了形式上的对应。

2．乾卦：“九九八十一”。

《素问》中说：“天地之至数，始于一，终于九焉。”一为数之始，九为数之极。古九九表始于“九九八十一”似乎有悖常理。对此，有学者认为，九九表最初的顺序本来是由“二二如四”到“九九八十一”，后来人为地进行了改变。改变的根据是来自标准律管的长度和直径，即律管长九寸，径九分，“九九八十一”，此种律管既定为标准，乘法口诀也就随之倒了过来。[7]作为一种推测，此说知音甚少。基于文化史的考察，我们认为，古九九口诀的顺序其实是易学观念影响的结果。首先，我们要改变一个由来已久的熟悉：与其说古九九表始于“九九八十一”，不如说古九九表始于因数为九的运算。敦煌《立成算经》九九表，把“九九八十一”至“一九如九”共九句的乘积逐一合计，作为第一单元而置诸表首就是最好的例证。再次，上文述及，九九诀源出筹算，而《周易》筮法与筹算又极 4

为相似。[8]所以，基于《周易》象数与数学的复杂关系，古人将二者互相比附，实在不足为奇。《管子》：“宓戏作造六峜以迎阴阳；作九九之数以合天道。”《九章算术注》：“昔包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情；作九九之数，以合六爻之变。”这两种说法提示我们：古九九口诀的排列顺序，当由《周易》卦象求之。

按《周易》以乾卦居首，其卦象为，即六条阳爻的重叠。众所周知，《周易》阳爻称“九”，重卦由单卦叠加而成[9]，就此而言，乾卦谓之“九”的演算似亦无不可。乘法口诀既然比附于周易的“六爻之变”，以因数为“九”的运算开始也就意味着与乾卦的对应了。这正是古九九表始于“九九八十一”的原因。或谓因数为九的运算中，“六九五十四”跟乾卦不是更加吻合吗？乘法口诀何以不以此句开头呢？我们说过，九九表与《周易》卦序只是一种比附关系，它当然不能违反数学自身的逻辑前提。换言之，古九九表始于“九九八十一”或“二九一十八”都可以理解，始于中间的“六九五十四”就未免太过牵强了。

四、九九表的特点

1．九九表一般只用一到九这9个数字。例如里耶秦简九九表，全文如下：[10]

九九八十一八九七十二七九六十三六九五十四五九四十五

四九卅六三九廿七二九十八八八六十四七八五十六

六八四十八五八四十四八卅二三八廿四二八十六

七七四十九六七四十二五七卅五四七廿八三七廿一

二七十四六六卅六五六卅四六廿四三六十八

二六十二五五廿五四五廿三五十五二五而十

四四十六三四十二二四而八三三而九二三而六

二二而四一一而二二半而一

凡千一百一十三字

2．九九表包含乘法的可交换性。

例如，里耶秦简九九表中有“八九七十二”而无“九八七十二”；有“三七二十一”而无“七三二十一”。结合《管子》《战国策》《荀子》等传世古文献所引九九口诀亦全属九九表的事实，我们推断：最迟不晚于春秋战国时代，中国人就已经把握了乘法交换律。不言而喻，里耶秦简九九表为这一推论提供了最早的实物证实。

3．古代世界最短的乘法表。

玛雅乘法表须190项，巴比伦乘法表须1770项，埃及、希腊、罗马、印度等国的乘法表须无穷多项；九九表只需45/81项。

五、九九表的作用

“九九表”即“中国九九乘法口诀表”，是第一学段数学学习的重要内容。自古至今，它一直作为一种数学学习的“基础”和日常生活、工作中的“基础工具”，受到人们的普遍重视。在古代“九九”既作为乘法口诀的简称，又作为当时实用算术的代名词。汉末三国时期的赵爽在注释《周髀算经》时就指出“九九者，乘除之原也”。九九表在几千年的发展演变和使用中，已数学文化传统和数学启蒙教育的重要内容，影响着“九九表”的学习和教学。

九九表为我国儿童学习乘法创造了条件，国外一些学校尊重学生的个性发展，讲究实用，不让背诵进入教学课堂，使得学习速度很慢，从小事看东西方教育的差异。九九表是中国古代劳动人民长期计算经验的总结，是他们智慧的结晶。正是有九九表在乘法计算上做支撑，才使得我们的乘法计算比国外都要快。在此， 5

我们不得不佩服中国古代劳动的伟大，也应该感谢他们为后人所做出的贡献。我们要带带相传，实现中华文化的复兴。

参考文献

[1]宋洪迈著，《容斋随笔》续笔卷七《俗语算数》

[2]湖南长沙新闻稿：湖南战国遗址出土2200多年前的木牍

[3]胡小明编著，《数学史话》，山东教育出版社

[4]罗素，西方哲学史，北京：商务印书馆，1989年

[5]李俨,中国古代数学史料，上海：上海科学技术出版社，1963年

[6]王焕林，里耶秦简九九表初探

[7]中外数学简史编写组，中国数学简史，济南，山东教育出版社，1986年

[8]张善文，象数与易理，辽宁教育出版社，1993年

[9]谭戒甫，周易卦爻新论，文哲，1936，5

[10]湖南省文物考古研究所,湖南龙山里耶战国－秦代古城一号井发掘简，文物，2003年

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