高二数学解三角形试题答案及解析

2024年4月4日发(作者：宁夏特岗中学数学试卷)

高二数学解三角形试题答案及解析

1. 在

A．

中，，AB=2，且

B．3

的面积为

C．

，则BC的长为( )

D．7

【答案】C

【解析】因为在中，

.所以求得

，AB=2，且

.由余弦定理可得

的面积为，所以可得

.故

选C.本小题主要考查余弦定理的使用.

【考点】1.三角形的面积公式.2.余弦定理.3.解方程的能力.

2. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】在处理含有边和角的等式时，一般是使用正、余弦定理把边转化为角或把角转化为边，

如果都化为角的形式，则问题会转化为三角形内的三角恒等变换；若果都化为边的形式，则问题

会转化为代数变形：通分、分解因式等．方法一：边化角：

由正弦定理

，再由倍角公式得：

得：

．

，代入

，或

得：

即或

,所以△ABC为等腰或直角三角形．

方法二：角化边：

由余弦定理，原式可化为：

即，或，

所以△ABC为等腰或直角三角形．

【考点】1．正弦定理和余弦定理；2．三角恒等变换；3．解简单的三角方程．

3. 在中，角A，B，C所对边分别为a,b,c，且，面积，则等于

A．

，整理得 ，

B．5

C．

D．25

【答案】B

【解析】根据题意，由于角A，B，C所对边分别为a,b,c，且

,所以

【考点】解三角形

点评：主要是考查了解三角形中正弦定理的运用，属于基础题。

4. △ABC中，若，则△ABC的形状为（ ）

A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等边三角形

，面积

,故选B.

，

D．锐角三角形

【答案】B

【解析】因为，△ABC中， ，所以由余弦定理得，，三

角形为等腰三角形，故选B。

【考点】正弦定理、余弦定理的应用。

点评：简单题，判定三角形的形状，一般有两种思路，一是转化成角的关系，二是转化成边的关

系。

5. 在中，，则三角形的形状为（ ）

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形

【答案】C

【解析】，

,三角形是等腰三角形

【考点】正余弦定理解三角形

点评：要判定三角形形状，一般转化出三边的长度关系或找到三个内角的大小关系，常借助于正

余弦定理实现边与角的互相转化

6. 在中，内角，，所对的边分别是，已知，，则（ ）

A．

C．

B．

D．

【答案】A

【解析】

【考点】解三角形及三角函数基本公式的考查

点评：本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化与同角间的三角函数关系及倍角公式，

如，，这要求学生对基本公式要熟练掌握

7. 在中，分别为内角的对边，且，

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，试判断的形状。

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）是等腰的钝角三角形。

【解析】（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得即

由余弦定理得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

又，得

,故

,由正弦定理得

因为，

故

所以是等腰的钝角三角形。

【考点】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用。

点评：中档题，三角形中求角，一般利用余弦定理，求角的余弦，以避免讨论。判定三角形的形

状，一般有两种思路，一是确定角的关系，二是确定边的关系。

8. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为

A．不能作出这样的三角形

C．作出一个直角三角形

，则此人能( )

B．作出一个锐角三角形

D．作出一个钝角三角形

【答案】D

【解析】设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知,

，所以角A为钝角,故选D.

【考点】解三角形

点评：根据三角形的三边的关系式，以及余弦定理来判定，属于基础题。

9. 一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转，爬行10 cm捕捉到另一只小

虫，这时它向右转爬行回它的出发点，那么x=_______.

【答案】

,由余弦定理得

【解析】先画出简图，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案。解：由题意可得简图如下，可

知∠BAC=75°，∠ACB=45°，∠B=60°，根据正弦定理可得，

为

，故答案

【考点】正弦定理

点评：本题主要考查正弦定理的应用，关键在于能够画出简图．属基础题

10. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积( )

A．9

C．18

B．9

D．

【答案】B

【解析】∵∠A＝30°，∠B＝120°，∴∠C＝30°，故BC=6，，∴

故选B

【考点】本题考查了三角形的面积公式的运用

点评：求三角形面积时常用到公式：

11. 在中，，，则_______________.

，

【答案】

【解析】由正弦定理得，，又b>a，∴

【考点】本题考查了正弦定理的运用

点评：先由正弦定理求另一边的对角（可能有两解、一解或无解），再由内角和定理与正弦定理

求其余的边与角．注意，此类型的题求解三角形内角时，容易丢解或产生增解．

12. （本小题满分12分）

如图,在△ABC中,,.

（1）求；

（2）设的中点为,求中线

【答案】（1）

的长.

；

。 （2）

【解析】（1）由

得

,是三角形内角，

………2分

………6分

（2）在△ABC中，由正弦定理，

， ………9分

， 又在△ADC中，

由余弦定理得，

………12分

【考点】本题主要考查三角函数诱导公式及和差倍半公式，正弦定理、余弦定理的应用。

点评：典型题，在利用三角函数恒等变换解题过程中，“变角、变号、变名”是常用技巧，为研究

三角函数的性质，往往要先将函数“化一”。（2）小题综合应用正弦定理、余弦定理，体现运用数

学知识的灵活性。

13. （本小题满分10分） 在中，角的对边分别为，且满足

（1）求角的大小；

（2）若为钝角三角形，求实数的取值范围。

【答案】（1）

【解析】1）因为

所以

因为

因为

2）（因为

，所以

由余弦定理得：

因为

所以

-----------------8分

，所以

，所以

；（2）。

由正弦定理得：

。。。。。。。3分

-----------------4分

-----------------5分

，由正弦定理得：

。

，且三角形为钝角三角形，所以

，

所以-----------------10分

【考点】本题主要考查三角形内角和定理，两角和的三角函数，正弦定理，余弦定理。

点评：典型题，本题较全面地考查三角知识内容。研究三角形问题，要注意挖掘运用三角形中的

“隐含条件”。（2）中由“为钝角三角形，求实数的取值范围”易错。

14. (本题满分14分)

已知△

(1) 若

(2) 若△

的内角

, 求的值;

的面积

所对的边分别为

求

, 且

.

，

.

.

，

,

的值.

且.

【答案】(1) (2)

【解析】(1)∵

∴

由正弦定理得

∴

(2)∵

∴

∴ .

由余弦定理得

∴

【考点】正余弦定理解三角形

点评：利用正余弦定理可实现三角形中边与角的互化

15. 本题满分10分)

一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏

东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔和轮船原来的距离为多少？

【答案】5海里。

【解析】如图：已知AB=10，BM=，

设AM=x，在中，

，

即 所以

【考点】解三角形的实际应用；余弦定理。

点评：本题考查三角形模型的建立及解决实际问题的能力，同时也考查学生的计算能力，属于基

础题型。

16. （本小题12分）

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若角

【答案】（Ⅰ）

【解析】（Ⅰ）∵

，边上的中线

（Ⅱ）

，

的长为，求的面积．

∴

即

∴

则

（Ⅱ）由（1）知

设

在

即

故

，则

，∴

．

．

． …… 3分

，因为

，所以

，又

……8分

解得

，

则

，

． …… 6分

中由余弦定理得

……12分

【考点】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和两角和与差的三角函数以及三角形

面积公式的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力.

点评：一般在解答题中要综合应用正弦定理和余弦定理解三角形，还要用到三角函数中的关系式，

要灵活选用公式或定理进行运算.

17. (本小题12分) a，b，c为△ABC的三边，其面积S

△

ABC

＝12，bc＝48，b－c＝2，求a；

【答案】当A＝60°时，a

2

＝52，a＝2 ，当A＝120°时，a

2

＝148，a＝2 。

【解析】利用三角形的面积公式列出关于sinA的等式，求出sinA的值，通过解已知条件中关于

b，c的方程求出b，c的值，分两种情况，利用余弦定理求出边a的值．

解：由S

△ABC

＝bcsinA，得12

∴ sinA＝

＝×48×sinA

2分

∴ A＝60°或A＝120° 2分

222

a＝b＋c-2bccosA

＝(b-c)

2

＋2bc(1-cosA)

＝4＋2×48×(1-cosA) 4分

当A＝60°时，a

2

＝52，a＝2 2分

当A＝120°时，a

2

＝148，a＝2 2分

【考点】本题主要考查运用正弦面积公式和余弦定理解三角形问题。

点评：解决该试题的关键是求三角形的题目，一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式

列方程解决

18. （本题满分12分）在

（1）求值；（2）若

中，角

面积为

所对的边为

，且

；（Ⅱ）

已知

，求

．

值．

。 【答案】（Ⅰ）

【解析】 （1）根据二倍角公式来得到角C的余弦值。

（2）在第二问中，结合三角形的面积公式，以及正弦定理，化角为边，然后得到边的关系，结

合角C的余弦定理得到ab的值，进而解得。

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）∵

由（Ⅰ）可知

……………………4分

，由正弦定理可得：

．

，

得ab=6………………………………………………8分

由余弦定理

可得

…………………………………………10分

由……………12分

【考点】本题主要考查解三角形中正弦定理和余弦定理的运用，以及三角形的面积公式的综合运

用问题。

点评：解决该试题的关键是就已知中关系式利用二倍角公式化简得到交C的余弦值，进而结合正

弦定理得到a,b,c的平方关系，和余弦定理得到a,b的值。

19. 中，，则A等于

【答案】

【解析】本试题主要是考查了解三角形中余弦定理的运用，考查了基本运算能力。

因为

根据余弦定理可知

解决该试题的关键是结合得到A的值。

20. 边长为５，７，８的三角形中，最大角与最小角之和为 （ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】设最大角与最小角分别为A，B，中间角为C，则由余弦定理可知

21. 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为,则的取值范围是（ ）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】设三边为解：设三边：a、qa、q

2

a、q＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，

即

（1）当q≥1时a+qa＞q

2

a，等价于解二次不等式：q

2

-q-1＜0，由于方程q

2

-q-1=0两根为：

故可知且q≥1，得到结论

且q＞ （2）当q＜1时，a为最大边，qa+q

2

a＞a即得q

2

+q-1＞0，解之得

得到，综上可知结论选D

22. (12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。

求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。

【答案】（1）C＝120°；（2）

【解析】此题的综合性比较强，注意数形结合的思想，能够把根与系数的关系与勾股定理有机地

结合起来．要熟练对完全平方公式进行变形．

（1）根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，求得C的值，进而求得AC、BC的长．

（2）运用余弦定理得到AB的长度的求解。